341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Э 2. Аналитические функции. Условия Коши-Римана 139 П р и м е р 5. Проверить, что функция и = х2 — у2 — 5х+ у+ 2 является действительной частью некоторой аналитической функции 1(2) и найти У(2) о Так как д ц д ц — + — =2 †2 дх2 ду2 во всей плоскости, то и(х, у) — гармоническая функция, а тогда Оь я) аа = 2ху — х — 5у + 5уо + хо — 2хоуо, т. е. е(х, у) = 2ху — х — 5у + С Г(2) = х2 — у2 — 5х+ у+ 2+ 7(2ху — х — 5у+ С) = = (х — 27ху — у2) — 5(х+7у)+( — х7+у)+2+С7 = 22 — 52 — 72+2+С71 С П р и м е р 6. Показать, что функция вида ц(х, у) = и(х + у ) + Ьх + су + 71, и ф О, не является действительной (или мнимой) частью никакой аналитиче- ской функции.
0 Действительно, это следует иа соотношения д ц д и — + — = 4и з~ О. с дх2 ду2 Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях н найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части; 13.131. ц(х, у) = хэ — Зхуэ, 0 < )2( < +ос. 13.132. о(х, у) = 2е*в)пу, О < )х! < +со. 13.133. и(х, у) = 2ху+ 3, О < )х! < +оо.
13.134. о(т, у) = агсГП вЂ”, О < ф < +оо. у о(х, у) = 1яо, Ро) я + (2х (2у — 1) 7(х + (2х — 5) 7)у = (2уа — 1) Йх + ХΠ— 5) ду = (2уо — 1)(х — хо) + (2х — 5)(у — уо) = 140 Гл. 13. Теория ункций комплексной переменной х 13.135.
и(х, у) = г г — 2у, 0 < ~4 <+оо г+ г 13.136. и(х, у) = хг — у + ху, О < ф < +со. 13.137. и(х, у) = ху, 0 < )з! < +оо. 3 3. Кпнфпрмные отображения 1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть ю = 1(с) — аналитическая в точке со функция и 1'(со) ~ О. Тогда Й = )('(зо)! геометрически равен коэффициенту растяжения в точке зо при отображении ю = 1(я) (точнее, при к > 1 имеет место растяжение, а при А < 1 — сжатие). Аргумент производной ы = агб~'(зо) геометрически равен углу, иа который нужно повернуть касательную в точке со к любой гладкой кривой Ь, проходящей через точку со, ггобы получить касательную в точке юо —— 1 (яо) к образу Г этой кривой при отображении ю = у(з).
При этом, если у > О, то поворот происходит против часовой стрелки, а если ьг < О, то по часовой. Таким образом, геометрический смысл модуля и аргумента производной состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию 1'(яо) ф О, А = ф(зо)! определяет коэффициент преобразования подобия бесконечно малого линейного элемента в точке зо, а у = агд у'(зо) — угол поворота этого элемента. Пример 1. Найти коэффициент растяжения А и угол поворота ы в точке зо — — 1 — 1 при отображении ю = сг — ж з Так как ю' = 2з — 1 и ю'~,-~; — — 1 — 21, то й = ~1 — 21! = Л и ~р = агц(1 — 21) = — агсгц2.
Г> Найти коэффициент растяжения А и угол поворота р для заданных отображений ю = 1'(з) в указанных точках: 13.138. ю = з~, зо = ~/2(1+ 1). 13.139. ю = зг, зо = 1. 13140 ю яз за=1+с. 13141 ю яз з 1 13.142. ю = а)п з, зо = О. 13.143. ю = сег', з = 2л1. Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая сжимается при следующих отображениях: 13.144. ю = 1/ж 13.145. ю = е' 13.146. ю = 1п (з + 1). 13.147.
ю = хг + 2з. Найти множества всех тех точек зо, в которых при следующих отображениях коэффициент растяжения 1с = 1: 13148 ю = (з — 1)г 13 149 ю зг св 1+ са 13 150 ю = 13 151 ю зз 1 — ся з 3. Конформные отображения 141 Найти множества всех тех точек го, в которых при следующих отображениях угол поворота со = 0: 1+ гг 13.152. и = --. 13.153*. и = г 1 — Ьг 13.154. и = гг + 1г. 13.155. и = г~ — 2г.
2. Конформные отображения. Линейная н дробно-линейная функции. Взаимно однозначное отображение области Р плоскости (г) на область С плоскости (ю) называется конформным, если в каждой точке области Р оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. Критерий конформности отображения. Длл того чтобы отобразкение области Р, задаваемое функцией ю = /(г), было конформным, необходимо и достаточно, чтобы /(г) была однолистной и аналитической в области Р функцией, примем /'(г) ф О всюду в .Р.
В дальнейшем образ области Р при отображении функцией |о = /(г) обозначается через Е либо череа /(Р). П р и м е р 2. Показать, что отображение, осуществляемое функцией ю = гз, конформно в области Р = (г(1 < ф < 2, О < агбг < 2к/3). 0 Необходимо проверить, что заданная функция является аналитической, однолистной в Р и что всюду в Р /'(г) ~ О. Аналитичность функции ю = гз показана выше (см. пример 2 З 2), соотношение ю' = Згг ф О для любого г Е Р очевидно. Однолистность следует из того, что область Р содержится в угле с вершиной в начале координат и величиной 2т/3 (см.
аадачу 13.31). г Выяснить, какие нз заданных функций и = Пг) определяют конформные отображения указанных областей Р: 13.158. и = (г+1), Р = (г(1 < (г+1! < 3, 0 < агб г < З|г/2). 13157. и = (г(~, Р = Ц (г! < 1). 13.158. и = е', Р = (г(О < 1ш г < 2к). 13.159. и = —, ~г + — ), Р = ~г — < )г! < 1 13180 = ( — 1)3 Р = ( () — Ц 1) Отображение, осуществляемое линейной функцией ю = ах + Ь, рассмотрено выше (см, пример 3 З 1). Оно представляет собой композицию растяжения (ю1 = )а(г), поворота (юг = е""з'ю,) и параллельного переноса (юз = юг + Ь).
Обратная к линейной функции также есть линейная 1 Ь функция г = — ю — —. Так как ю' = а ф О, то отображение ю конформно а а во всей расширенной плоскости, причем имеет две неподвижные точки Ь г1= — (приаф1) нет=со. 1 — а 142 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной Пример 3. Выяснить, сушествует ли линейная функция, отображающая треугольник с вершинами О, 1, 1 в плоскости (г) на треугольник с вершинами О, 2, 1+1 в плоскости (в).
а Заметим, чта треугольник с вершинами О, 1, 1 подобен треугольнику с вершинами О, 2, 1+ 1, причем вершина в точке г~ — — 0 соответствует вершине в точке ю~ — — 1+1, вершина в точке гг = 1 — вершине в тачке юг = О и вершина в точке гз — — 1 — вершине в точке вз = 2.
Выполним последовательно преобразования; а) ю~ — — е'ь ~"г — поворот около начала координат на угол о = 5к/4 против часовой стрелки; б) юг = ~/2ю~ — гамотетия с коэффициентом й = чг2; в) юз = юг + (1+ 1) — параллельный перенос на вектор, изображающий комплексное число 1 + 1. В результате треугольник с вершинами О, 1, 1 отображается на треугольник с вершинами О, 2, 1+ 1, а асушествляюшая это отображение целая линейная функция имеет вид ю = юз о юг о в~ — — т/2е' ' г+ (1+ 1) = ( ~/2 .~/2) = 1/2 — — — 1 — г+ 1+1 = (1+г)(1 — г).
~> 2 2) 13.161. Доказать, что отображение, осуществляемое целой линейной функцией, имеет две неподвижные точки (совпадающие, если а = 1). Для указанных ниже отображений найти конечную неподвижную точку га (если она существует), угол поворота у и коэффициент гомотетии Й: 13.162.
в = 2г+ 1. 13.163. в =(г+4. 13.164. ю = е'4г — е '4. 13.165. в = аг+5. Дробно-линейная функция ах+ 5 ю= —, а4 — ЬсфО, сфО, сг+й осушествляст канфармное отображение расширенной плоскости (г) на расширенную плоскость (в). При этом под углом между кривыми в точке г = ао понимается угол в точке г" = 0 между образами этих кривых, 1 полученных путем отображения г' = —. Простейшей дробно-линейной 1 функцией (отличной от линейной) является функция ю = —, которая маг жет быть представлена в виде композиции инверсии относительно еди- 1 пичной окружности ю~ — — — и комплексного сопряжения юг — — иц, Пра- 4 стейшая дробна-линейная функция отображает окружности цла скости (г) 3.
Конформнгяе отображения 143 в окружности плоскости (ю) (прямая линия считается окружностью бесконечного радиуса). Так как общая дробно-линейная функция представлнется в виде композиции линейной функции ю1 — — с»+ д, простейшей 1 бс — ад а дробно-линейной юз = — и снова линейной юз = юз+ —, то она ю1 с с также отображает окружность в окружность. Дробно-линейная функция ю = ю(») вполне определяется заданием образов трех точек. Именно, если»з — > юы»з -з юз и»з -з юз, то ю — юз юз — юз» вЂ” »з «з — »з ю — ю» и'з — юз» вЂ” »з»з — »1 3 а меча ние.
Если одна из точек»ы»з или»з либо юы юз или юз является бесконечно удаленной, то в формуле (1) все разности, содержащие зту точку, следует заменить единицами. П р и м е р 4. Найти образ окружности х» + уз = 2х при отображении 1 ю = 1 1 з Полагая» = х+ зу, имеем х = — (» + й), у = —,(» — »). Подставив эти 2 ' 2з значения в уравнение окружности, находим хз + у — 2х = »» — (» + й) = О, 1 и после замены» = — имеем ю 1 1 1 — — — — — =О, юю ю ю т.е. ю+ ю = 1. Если ю = и+ мб то ю+ ю = 2и. Таким образом, окружность хз + уз — 2х = О преобразуется в прямую и = 1/2, параллельную мнимой оси. 1> П р н м е р 5. Найти дробно-линейное отображение, переводяшее точки — 1, з, з + 1 в точки О, 2г, 1 — з'.
З Используя формулу (1), имеем ю — О 1 — 4 — 2з' »+1 1+1 — з' ю — 2г' 1 — г — О» — 4 1+1+1' откуда ю 1»+1 ю — 21 5» — г' 21(» + 1) ю= — . ~> 4» — 51 — 1 144 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной 1 Найти образы следуюших линий при отображении ю = —: 13.166.
Окружности хе + уэ = у/3. 13.167. Прямой у = — х/2. 13.168. Прямой у = х — 1. 13.169, Окружности хе+ уз + 2х — 2у+ 1 = О. 13.170. Доказать, что проходящая через начало координат окружность А(хэ + уэ) + 2Вх + 2Су = О преобразуется функцией ю = 1/г в прямую, а любая прямая Вх+ Су+ В = Π— в окружность, проходящую через начало координат. Найти дробно-линейное преобрааование по заданным условиям: 13.171. Точки г, 1, 1+ 1 переходят в точки О, аа, 1. 13.172.
Точки 1 и 1 неподвижны, а точка О переходит в ао. 1 5 3, 13.173. Точки — и 2 неподвижны, а — + -1 переходит в оа. 2 4 4 13.174. Доказать, что дробно-линейное преобразование ш = па+ 5 имеет две неподвижные точки. При каком условии эти се+ д точки совпадают? Когда бесконечно удаленная точка является неподвижной? Точки г1 н сэ называются симметричными относительно прямой, если ани лежат на перпендикуляре к этой прямой па разные стороны от нее и на равных расстояниях.
Тачки е1 и сэ называются симметричными относительно онрулсности, если ани лежат на одном луче, выходяшем из центра этой окружности, па разные стороны ат нее и так, чта произведение расстояний ат этих тачек до центра равно квадрату радиуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
