341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 25
Текст из файла (страница 25)
14.125. хп — х = ес-$-3 1 14.126. хн — х' = —. 14.127. хи+ х = 1+с' 2 14.128. хи+ х = е ~ решения следую- 1 + е~ 1 + сов1 Найти общие решения систем дифференциальных уравнений 14.129. хн + д' = 1, 14.130. хн + д' = зЫ вЂ” з1п1, дн — х' = О. дн + х' = сЬ1 — сов 1. Найти решения систем дифференциальных уравнений прн за- данных начальных условиях. 14131. '+д= О, х(О) =, (О) =-1. 14.132. 2хн+ х — д' = — Зэ1п1, х+ д' = — з1п1; х(0) = О, х'(0) = 1, д(0) = О.
14.133. хп — д' = О, х — дп = 2зш х(0) = — 1, х'(0) = д(0) = д'(0) = 1. 14.134. хп — д' = О, х' — дн = 2соз1; х(0) = д'(0) = О, х'(0) = д(0) = 2. 14.135. хн — д' = е', х'+дп — д=О; х(0) = 1, д(0) = — 1, х'(0) = д'(0) = О. (у (г) — произвольный оригинал). Замечание. Результат задачи 14.123 позволяет находить решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения. Гл.
14. Операционное исчисление 184 сов(г — т)х(т) г1т = 1 соей о ° з Пусть х(г) ы Х(р); так как ,г гсозг = совГ ы р рт+1' сов(à — т)х(т) дт,=' —, , рх(р) р'+1 о (по теореме свертывания), то приходим к операторному уравнению рх(р) »'+1 (рт+ 1)е ' откуда Х( )— рт — 1 2р 1 р(р' + 1) р' + 1 Таким образом, х(Г) = 2 сов г — 1. Г> 14.136. хо+ у' = 2згпг; до+ з' = 2 соз1, зн — ж = 0; ж(0) = з(0) = р'(0) = О, х'(0) = р(0) = — 1, з'(0) = 1. Проинтегрировать при нулевых начальных условинх системы дифференциальных уравнений: 14.137. жн — р' = у'г(1), г 1 при О < 1 <,лгде уг(1) = ~ р +х=Я1) 0 при 1>.л, при 0 <1< гг/2, )т(1) = л — 1 при и/2 <1< и, 0 при 1 > л.
14.138. хо — д = О, ( 1 при 0<1< л, где г"(1) = ~ — 1 при х < 1 < 2л, 0 при 1>2я. 2. Решение линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Используя теорему свертывания, можно легко найти изобра- жения решений интегральных уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода (а в простейших случаях по найденному изображению найти и само решс- ние) в том случае, когда ядром в соответствуюшем уравнении служит функция вида К(à — т), где К(Г) — оригинал.
Этот метод применим и к интегро-дифференциальным уравнениям с таким вге ядром. Пример 4. Найти решение уравнения Вольтерра 1-го рода а 3. Применения операционного ис сисления 135 Пример 5. Найти решение уравнения х + х = япС+ яп(С вЂ” т)х(т) сСт о цри начальных условиях х(0) = О, х'(О) = 1. 0 Полагая х(С) Ф Х(р), имеем 1 яп с;-' рв+1' х" (С),=' р~Х(р) — 1, яп (с — т)х(т) сст,=' , Л'(р) ,г+1' о Получаем операторное уравнение (р +1)Х(р) — 1= — + 2 1 Х(р) рт + 1 ра + 1' ((р~ + 1) — 1) Л (р) = р~ + 2. х(0) = х'(О) = 1.
14.142. аЬ(1 — т)х(т) гст = ха — х'+ 11еЬ1; 2 о х'(0) = 0. х(0) = 1, Отсюда находим х(р) = 1/р и х(с) = с. с> Решить следующие интегральные и интегро-дифференциальные уравнения: 14.139. сЬ(1 — т)х(т) Йт = сЬ1 — соа1. о 14.140. 3 а!с (1 — т)х(т) с(т = х(1) — е о с 14.141. ес ' яп (1 — т) х(т) сст = х" — хс + е'(1 — соа 1); о Гл.
14. Операционное исчисление 186 Проинтегрировать уравнения Абеля: 14.143. / = л. Г х(т) Йт .l ~/Г т о 14.144. / Г х(т) с)т = 1Р, 0 < ст < 1, ~3 ) — 1. l(1- ) о 3. Интегрирование линейных уравнений в частных производных. Применение операционных методов для интегрирования линейных уравнений в частных производных рассмотрим на примере.
П р и м е р 6. Найти решение уравнения дтпл — + а = а1пхсозу, дх ду удовлетворяюшее условиям х(0, у) = зшу, х(х, 0) = 0 (х е [О, +ос), у Е [О, +ос)). < Переходим к операторному уравнению относительно аргумента у, полагая а(х, у) ы Я(х, Р). Отсюда —,='РЯ(х, Р) — а(х, 0) = РЛ(х, р), дг ду ' д~х д = — (Рг(, ~)) = ~г.'(*, Р) дудх ' дх (по теореме о дифференцировании операторных соотношений по параметру). Получаем операторное уравнение; Рсйпх / РЕ,'(х, Р) + Я(х, Р) = [ так как сову,= Рт+ 1 а+1у Интегрируя полученное дифференциальное уравнение по аргументу х, на хОдим Я(х, р) = С (р)е ° + а1пх —,, созх.
Р . Р (Рт + 1)г ( з + 1 е В силу начального условия х(х, 0) = 0 и теоремы о связи начального значения оригинала и конечного значения изображения мы должны иметь 1цп РЛ(х, Р) = х(х, 0) = О, откуда находим 1пп РС1(р) = О, причем е->00 е->Об если С1(р) ее д(у), то у(0) = 0 (в силу той же теоремы). Запишем теперь Я(х, Р) в следуюшем виде: Е(х~ Р) РС1(Р) е ~ + т т 51пх — 2 т 1 ~ соах. Р 1 (Р' + 1) + (Р' — 1) 3 3. Применения операционного исчисления 187 Но так как рС) (р);-' )))' (у), (см. решение примера 4 из э 2), 1 — е Э =' Уо(2т/хуу) р = ) соч1 (рэ + 1)г р 1), .— 2У У, то находим: х(х, У) — | )Р (1)уо(2т/х(у — 1)) Щ+ о 1 + -у в)п у в) и х — — (ейп у + у сов у) сов х = 2 2 а 1 1 )))'(1)1в(2 т/х(у — С)) )М вЂ” — в1п у сов х — -у сов (х + у) 2 2 в 1, 1 1, 1 В(0, у) = ( ))/(1) Й вЂ” — яп у — -у сову = )р(у) — — а(п у — -у сову = сйп у 2 2 2 2 е 3, 1 (по начальным условиям); поэтому )))(у) = — в(ау + -усову, ~о'(у) 1 2 2 = 2 сов у — -у вш у, и окончательно находим 2 е 1 1 — — в1пусовх — — усов(х+ у).
)> 2 2 Проинтегрировать следуюшие линейные уравнения в частных производных: да дв 14.145. — — — + в = сов х; х(0, у) = у, х,(0, у) = О дхт ду дтв дх 14.146. — — — — ива = Дх); в(0, у) = — у, в'(О, у) = О. ' дхг ду (первое слагаемое получено по теореме свертывания оригиналов). Так как /о(0) = 1, то, полагая х = О, находим: Гл. 14. Операционное исчисление 188 14.147*'. Уравнения длинной линии в случае отсутствия потерь (линейное сопротивление Л и утечка С равны нулю) имеют вид: ди(х, !) д((х, 1) дх дг (3) д!(х, !) ди(х, !) дх д! где и(х, $) — напряжение, 1(х, !) — ток в точках линии в момент времени 1, Ь вЂ” индуктивность и С вЂ” емкость, отнесенные к единице длины. Найти решения уравнений (3), удовлетворяющие начальным условиям и(х, 0) = 1(х, 0) = 0 (4) и граничному условию и(0, Х) = <у(1) = Ез!по<!.
14.148. В уравнениях длинной линии ди(х, 1) дб(х, г) (5) д<(х, !) ди(х, 1) в случае линии без искажений, величины Л, Ь, С и С связаны Л С соотношениями — = — = и. Найти решения уравнений (5), Ь С удовлетворяющие начальным условиям (4) и граничному условию и(0, 1) = <у(!) = Е(г!(!) — »!(! — т)), т > О. 4. Вычисление несобственных интегралов. Один из способов вычисления несобственных интегралов вида <( Д!) г!! основан на примео ненни теоремы операционного исчисления о свяан «конечного» значения оригинала н <начального» значения изображения: если у(Г) и Ф(!) и существует конечный предел !пп о<(!) = !о(+со), то !пп ~р(!) = »-<-<ОО < — <-»о« = о<(+ос) = !!щ рФ(р) (см.
задачу 14.15). <о Из этой теоремы и соотношения 3. Применения операционного исчисления 189 +00 при условии сходимости интеграла у(1) Й следует соотношение о у(1) о1 = г (0). 1 о (6) -ь Оо У а1п1 П р и м е р 7. Вычислить интеграл уу — й. о 1 а Так как 1,=', то по теореме интегрирования изображения имеем рэ + 1 э(пг, у с(д х = — — агссб р, / ~э+1 Р поэтому по формуле (1) находим э!ос .г — ~Й= —. > 2 а Пусть функции у(1, и) и Я1) = ~р(и)Д1, и)Ни о Ф(1) ы Ф(р) = ~р(и)г'(р, и) ди. а Поэтому, если интеграл, определяюший Ф(р), можно вычислить, то для отыскания интеграла у(и)у(1, и) ои достаточно найти оригинал для о Ф(р), т.е. (7) являются оригиналами и у(1, и) Ф г'(р, и). Тогда, применяя теорему об интегрировании по параметру, будем иметь Гл.
14. Операционное исчисление 190 Г соз1ггди П р и м е р 8. Вычислить интеграл у гг +и о 2 ог Имеем созуи =' „. Поэтому (по формуле (7)) рг+иг Еоо Ево соз 1и ди /' рди от+ цг / (рг+ из)(сгг+ цг) о о р2 ггг / ( сгг + ц2 рг + ц2 о 1 Но — =' е '. Отсюда о+ сг сов 1и Йи г = — е". 2ь сгг+ иг 2о Еще один способ вычисления несобственных интегралов при помощи операционного исчисления дает Т е о р е и а П а р с е в а л я. Если Г1 (1) =' Е1 (р), Гг (1) ы Рг (р) и фуиииигг с1(р) и гг(р) аполитичны при Пер > О, то Гг(и)рг(и) ди = Рг(п)Г2(о) Й~. 1 о о (8) Еоо Г е "з1пДгг Пример 9.
Вычислить ~ дц, и > О. и ог Имеем е 'а1п)уь',=' 'Р гу(1) =' —. Полагая Гг (и) (,ч, )г+ чг' = с о" з1п ~3и, Рг(и) = —, имеем Е1(о) =,, Гг(п) = гу(п). ц (и+ *)2+Р' ) если лля одной из функций г1(р) или гг(р) условие внвлитичности выполнено лишь лри Ве р > О, то сходимость одного из интегралов может нс иметь места. При этом иэ сходимости одного иэ этих иигпегралоо следует схода- мость другого 2). 191 з 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
