341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 29
Текст из файла (страница 29)
о х2 15.26. у(х) = — + х — у(1) й, 2 о .2 а) уо(х) = 1, б) уо(х) = — + х. 2 15.27. у(х) = 1 — хг+ хд(1) й о а) уо(х) = 1 — х2, б) до(х) = 1. х 15.28. у(х) = 1+ хд(~) й, уо(х) = 1. о х 15.29. у(х) = 1+ 1у(1) й, уо(х) = 1. о 15.30. у(х) =1+ 1гу(1)й, уо(х) =1, р=О, 1,2, ... о 15.31. у(х) = х — (х — 1) д(1) й, уо(х) = О. о 15.32. у(х) = 1 + (х — 1) у(1) й, уо(х) = О. о х 15.33. у(х) = 2*+ 2 ~у(~) й уо(х) = О.
о 1 Г 1+х2 15.34. у(х) = 1 + х2 — — / — у(1)й, уо(х) = О. 2/ 1+12 о 3 1. Интегральные уравнения Вольтерра 219 В задачах 15.35-15.37 методом последовательных приближений найти для заданных нелинейных уравнений Вольтерра второе приближение уз(х); в качестве нулевого приближения взять уо(х) = О 15.35. у1х) = 1г~ — у~(г)) й.
о 15.36. у(х) = х — н+ 1а)ну(1) й. о 15.37. у(х) = 1е ))(') й. о Часто вместо одного уравнения рассматривают семейство уравнений у(х) = Дх) +Л К(х, Г)у(1) й, а (18) и (*) = Л*) -'-" / ~(*, ') ЛО ь - у(*) + " ) К(*, б ХХ ~~, а а где К)(х, 1) = К(х, 1); у,1х) = у(х)+Л К(х, 1) щй+Л' К1х, а) К) 1а, 1) у<г) й )а = й а а = у(*) ' ~ ( к (* Й) ~(Й) й + ~ ) ) к(* ) ес ( Й) ь~ дЙ) ь = а а х у = Дх)+Л К)(х, С)Д1)й+ Л~ К (х, ~) Д~)й, а а соответствующих различным значениям числового параметра Л. Пред- полагая, что Л фиксировано, будем решать уравнение (18) методом по- следовательных приближений, взяв в качестве нулевого приближения уо(х) = Дх).
Тогда получим Гл. 15. Интегральные уравнения 220 где с Кт(х, С) = К(х, е) Кь(з, С) с(з. с Вообше, с„с,!=я,ь-~т'с С ссь,,сьесьсс= у=! = я*!'-сСс у'с'-'к,с*, г!) соьсь ос! ,ь=! где Ку(х, С) = К(х, е)К, ь(о, С)с(е, у' = 2, 3,..., (20) с Кь(х С) = К(х, С). Ядра Ку(х, С) назььваются повторными или итерирооинкььми. Если ядро К(х, С) непрерывно, то ряд Н(х, С, Л) = у Л! 'К„(х, С) 3=! (21) при любых фиксированных значениях Л сходится (равномерно относительно х Е [а, 6) и С Е (О, х)) к функции А(х, С, Л), называемой резольвентой ядра К(х, С).
Следовательно, соотношение (19) в пределе при и -+ оо переходит в формулу р(х) = Дх) + Л Н(х, С, Л)У(С)с(С, а (22) 1 р(х) = х — — / хр(С) сСС. 2„с о з Из рекуррентных соотношений (20) получаем Кь(х, С) = х, выражаюшую решение интегрального уравнения через резольвенту. Пример 7. Найти резольвенту Н(х, С, Л) ядра К(х, С) = х и, используя ее, решить интегральное уравнение 221 3 1. Интегральные уравнения Вольтерра й х хг — гг Кг(х, С) = К(х, в) Кг(в, С) 4в = хаев = х х у . г Г вг — гг 1 Ухг — СгЛ Кэ(х, г) = К(х, С) Кг(в, С) йв = / хв — 4в = х ° — ~ ) 2 2 [, 2 с Вообще, можно проверить (например, методом математической индук- ции), что 1 /хг — ГгЛ г-~ К,(х, С) = х — 1 ) , у = 1, 2, (-1) ~ ) Подставляя это выражение для итернрованных ядер в формулу (21), най- дем резольвенту ЛВ /хг — гг~ У г а В(х, г, Л) = х ~~~ (З вЂ” 1).
'г, 2 ) в=1 Найдем теперь решение заданного интегрального уравнения. В рассма- 1 триваемом случае Л = — — и у'(х) = х, поэтому на основании (22) получаем Х х у(х) =х — — ) хе 1сх=х — хе / гг(е4) =хе 2,/ О о Найти резольвенты для следующих ядер: 15.38. К(х, 1) = 1. 15.39. К(х, в) = в. 15.40. К(х, С) = хг, 15.41. К(х, 1) = х1. 15.42. К(х, г) = хгг. 15.43.
К(х, 1) = е* '. 15.44. К(х, 1) = 2'"* '"' 15.45. К(х, 1) = 1+х 1+гг' с~ — 1+ 1 сЬх 15.46. К(х, 1) = . 15.47. К(х, 1) = —. хг — х+ 1 сЬ1 15.48. Показать, что для произвольного ядра вида К(х, 1) = = хвгч, где р и о — некоторые положительные целые числа, резольвента имеет вид „в+в+1 ,в+в+~ Я(х, с, Л) = х~1че в+в+' 222 Гл. 15. Интегральные уравнения 15.49. Показать, что для произвольного ядра вида К(х, 1) К(х) К(1) ' , К(1) ~ О, резольвента имеет вид Д(х 1 Л) = )е (х ~).
К(х) К(1) Найти с помосцью резольвенты решения следующих интегральных уравнений; 15.50. у(х) = 1 — 1у(1) й. о х 15.51. у(х) = х + х1уЯ й. о х 15.52. у(х) = з1пх+2 ех ~у(~) й. о х Г с!ах 15.53. у(х) = сЬх+ ( — у(1) й. / .и о 1 Г 1+В 15.54. у(х) = + / у(1) й. х2 / 1+х2 о 3. Уравнения Вольтерра 2-го рода типа свертки. Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода вида (23) у(х) = У(х) + К(х — с) у(Ц й, а в котором ядро К(х, с) = К(х — 1) зависит лишь от разности аргументов, называется уравнением типа свертки. Если в (23) а — конечное число, то, не ограничивая общности (см.
задачу 15.65), можно считать а = О, гго мы и будем предполагать в дальнейшем. Для решения уравнений типа свертки используется преобразование Лапласа. Предположим, что функции у(х) и К(и) -- оригиналы (см. гл. 17, 3 1, и. 1). Можно показать, что в атом случае решение у(х) также будет оригиналом и, следовательно, к обеим частим уравнения (23) можно применить преобразование Лапласа. Полагая у(х) =' 1'(р), У(х) =' г'(р), К(и) .=' К(р) З 1. Интегральные уравнения Вольтерра 223 и используя теорему о свертке, согласно которой К(х — 1) у(1)й,=' а -' К(р) У(р), получим )'(Р) = ~(Р) + К(р) )'(Р) откуда Оригинал у(х) длп У(р) будет решением интегрального уравнения.
П р и и е р 8. Используя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение у(х) = 1 + сЬ (х — 1) у(1) й. о 1 з Так как 1 =' — и ей и = —,, то, применяя к обеим частям задан- Р з 'ного уравнения преобразование Лапласа и используя теорему о свсртке, получим 1 (Р) = + 1 (Р) 1 р Р Р~ Отсюда г 1 2 Р(Р Р 1) Р 1 ) 5 2) 4 Д и, следовательно, у(х) = 1+ — е'втаб — х. 1> тУ5 2 С помощью преобразовании Лапласа найти решения заданных уравнений типа свертки: 15.55.
у(х) = ех — х — 1+ у(1) Й. о ,,2 15.56. у(х) = — + / (х — 1) у(1) гй. 2 о Гл. 15. Интегральные уравнения 224 хе'х — ет(х-')у(1) й. о якх+ сов (х — г) у(1) й. о е*+ з(п(х — 1) у(1) й. о е1 их — аЬ (х — 1) у(1) й. о х х~ 1 У вЂ” + — (х — 1)з у(1) й. 2 2./ о х ехх + (х — г)ех ~ у(1) й, о х 1+ сов (х — г) з1п(х — 1> у(1) й. о 15.5Т. у(х) = 15.58. у(х) = 15.59. у(х) = 15.60. у(х) = 15.61.
у(х) = 15.62. у(х) = 15.63. у(х) = 15.64. у(х) = 1+хсозх — зшх+ (х — 1)е4п(х — 1) у(8) й. о 15.65. Показать, что если у(х) — решение уравнения (23) с а ~ О, то функция у*(х) = у(х+ а) удовлетворяет уравнению у*(х) = у'*(х) + К(х — 1) у*(1) й, о Решение уравнений типа свертки можно провести и несколько иным способом, а именно — путем использования преобразования Лапласа для нахождения резольвенты. В самом леле, резольвента ядра Х(х, Ц = = К(х — 1) зависит лишь от разности аргументов (см. задачу 15.66) и, где у*(х) = у(х+ а).
15.66. Показать, что для ядра К(х, 1) = К(х — 1) все итерированные ядра, а следовательно, и резольвента также зависят лишь ог разности аргументов х — 1. 3 1. Интегральные уравнения Вольтерра 225 следовательно, решение уравнения у(х) = у(х) + К(х — 1) у(1) й о (24) можно записать в виде р(х) = у(х) + В(х — 1) Д1) сй, о (25) где В(х — 1) = Я(х, С, 1), а В(х, Е, Л) — резольвента ядра К(х, 1) = = К(х — 1). Применяя к обеим частям уравнений (24) и (25) преобразо- вание Лаштаса, получим 1'(р) = г'(р) + К(р) У(р), )'(р) = Г(р) + А(р) г'(р), откуда Л()- К(р) 1 — К(р) (26) р(С) = 1+ — / е '~ в1п — (х — г) у(С) й. г ., Д ~/3 2 о 2 в т ~ГЗ ° а В рассматриваемом случае К(и) = — е вУ~ гйп — и и ~/3 2 1 1 / 11 3 р +Р+1 ~р+ -) +— 2) 4 1 1 1 Из (26) получим Л(р)— — — — '1 е ", т.е.
В(х — 1) = р(р+1) р р+1' = 1 — е ~* й. Учитывая, что у(х) = 1, с помощью (25) находим решение р(х)=1+ (1 — е ~' й)й=х+е *. с о Оригинал тс(и) Ф Й(р) определяет резольвенту гс(х — 1), зная которую, из (25) найдем и решение уравнения. Пример 9. С помощью резольвенты пай*и решение уравнения Гл.
15. Интегральные уравнения 226 Найдя резольвенту с помощью преобразования Лапласа, решить следующие интегральные уравнения: 15.67. у(х) =1.ь е-з(х-0 уфй о х 15.68. у(х) = 2+ — (х — 1)з у(1) й. 6/ о 15.69. у(х) = е *+ е ~~ 0 а1п(х — 1) у(1) й. о 15.70. у(х) = е ' -Ф- (1 — е (* ))у(1)й. о 15.71. у(х) = 1+ / е 2 соа — (х — й) у(1) й.
г .../3 2 о Используя преобразование Лапласа, решить систему уравнений типа свертки: х х 15.72. уь(х) = — 1 + уз(1)й, ут(х) = х — у1(1) й. о о х 15.73. у1(х) = -х+ уз(~) й, о я х уз(х) = — Зх~+ х — 5 у1(1) й+ 2 уз(1) й. о о х 15.74. у1(х) = х+ ут(1) й, о з уз(х) = — + 2х — 1 — (х — 1) у1(1) й. 6 о о 1. Интегральные уравнения Вольтерра 227 15.75.
у~(х) = е — у~(1) й + 4 е~ ' уз(1)Ж, о о х х ут(х) = 1 — е (* ')у~(1) й + ут(1) й. о о 15.76. у~(х) = х+ ут(1) й, ут(х) = 1 — у~(б) й, о о 1 уз(х) = з(их+ — / (х — 1) уо(1) й. 2./ о 4. Уравнения Вольтерра 1-го рода. Линейным интегральным урав- нением Вольтаерра 1-го рода называется уравнение вида К(х, 1) у(1) й = Дх), 1 а (27) где у(х) — искомая функция, а К(х, 1) и у(х) — заданные функции, определенные соответственно в треугольнике а < х, 1 < 5, 1 < х и на отрезке (а, Ь). Классическим примером уравнения этого типа является уравнение Абеля й=Дх), у(1) о у(1) = / д(1, т) х(т) дт, (28) где д(с, т) — весовая функция, опрелеляемая свойствами системы.
Если в частности, выполнено условие физической реализуемости (т.е. 1 а также его обобщение с ядром вида К(х, 1) =, 0 < а < 1, (х — 1)" имеющим интегрируемую особенность при х = й В настоящем пункте ограничимся рассмотрением уравнений, для которых ядро К(х, г) и свободный член у(х) непрерывны всюду в своей области определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
