Главная » Просмотр файлов » 341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с

341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 7

Файл №987779 341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике) 7 страница341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779) страница 72015-08-02СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

г г 2 2 3 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 1. Криволинейные коорлинаты. Основные соотношения. В пространстве задана система координат, если каждой точке Р поставлена в соответствие тройка чисел дг, дг, гуз, причем различным тройкам чисел отвечают различные точки пространства. Числа дг дг, дз называют коордвиатаии (или криеолинебнылгв координапгалгв) точки Р = Р(цг, дг, дз).

Наиболее употребительными являются следующие системы координат: 1) Декартова прямоугольная система координат. Здесь цг — — х— абсцисса точки Р, дг = у — ордината и дз — — л — аппликата. 2) Нилинлрнческая система координат. Здесь за дг принимается расстояние т от точки Р ло оси л, ггг —— т (О ( т < +со), ог = гр — — угол, составленный проекцией ралиус-вектора ОР на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох (О < уг < 2п), а дз — — л — аппликата точки Р.

При этом цилиндрические коорпинаты связаны с лекартовыми прямоугольнымн координатами при помощи формул х = тсоазг, гу = тагпуг, л = л и, обратно, у т = х/х~+ уз., слчг = —. х 3) Сферическая система координат. Зпесь дг = т --- длина радиус- вектора точки Р(0 ( т < +со), уг —— 0 — угол мсжлу положительным направлением оси Ол и рапиус-вектором ОР тачки Р(0 ( д < и) '), ) Иногла за координату уг сферической системы принимают угол между ралкус-пектором ОР к плоскостью Осу (см.

Часть 2, гл. 9, 1 2). Гл. 11. Векторный анализ 42 Чз = у — угол между положительным направлением оси Ох и проекцией радиус-вектора ОР на плоскость Оху (О < у ( 2х). Имеют место формулы: х = гз!пйсоадд, у = га!пуз!пЧд, г = гсоай и, обратно, г — »у», д= ': у Линия, вдоль которой изменяется только одна координата Чы называется координатной Чылинией, а единичный касательный вектор к этой линии, направленный в сторону возрастания, Чз — единичным ноординатнььм оргпом ед, в точке Р (Чоы Чг, Чз). Аналогично определяются Чг- и Чз-пинии и единйчные орты е „е,. Если векторы ед,, е„, е„попарно ортогонадьны в любой точке простРанства, то соответствУющаЯ система кРиволинейных кооРдинат Чм Чг, Чз называется ортогональной.

Пусть Р (Чы Чг, Чз) — произвольная точка пространства, Р (Чз + ЬЧы Чг, Чз) — точка, лежащая на Чмпинии точки Р, и ~ РР, !— длина дуги РР,. Тогда число !РР,! Хд = !пп дд1-~о |зЧ, называется коэффициентом Ламе координаты Чд в точке Р. Анадогично опРеделЯютсЯ коэффициенты Ламе Ьг и Ьз кооРдинат Чг и Чз. Если точка Р(х, У, г) имеет кРиволинейные кооРдинаты Чд = Чд(х у~ г), Чг = Чг(х, у|а)~ Чз = Чз(х, у, з), то дифференциалы радиус-векторов Йгд„координатных линий и дифференциалы их дуг Йзд„ опредедяются с помощью равенств .Вх,ду дг Йгд„— — 'д — ЙЧ, + ! — ЙЧ„+ !г — ЙЧ„= |,„ед„ЙЧ„, ВЧ„ВЧ»» В1„ ЙЧ» = В» ЙЧ» (о = 1, 2, 3), где |, — коэффициенты Ламе.

Множество точек Р(Чм Чг, Чз), длЯ котоРых одна из кооРдинат постоянна, называется координатной яоверхностпью. Дифференциалы площадей координатных поверхностей определяются по формулам Йод, = |э| зЙЧгйЧз Йод~ |п|зйЧзЙЧЗ Лодд = | д|гйЧдЙЧг а дифференциал объема Йо = | з|г|зйЧдЙЧгйЧз. З 5. Применение криво.цинсйных координат в векторном анализе 43 Найти вид координатных линий и координатных поверхностей и построить их в произвольной точке для следующих случаев: 11.158. Для декартовой прямоугольной системы координат.

11.159. Для цилиндрической системы координат. 11.160. Для сферической системы координат. Вычислить козффициснты Ламе: 11.161. В декартовой прямоугольной системс координат. 11.162. В цилиндрической системе координат. 11.168. В сферической системе координат. Найти дифференциалы дуг координатных линий, дифференциалы площадей координатных поверхностей и дифференциал объема: 11.164. В декартовой прпмоугольной системс координат. 11.165. В цилиндрической системс координат. 11.166.

В сферической системе координат. 2, Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. Указанные операции определнются следующими формулами: 1 ди 1 ди 1 ди ради = — — ец, + — — е, + — — ец„ г',1 дцй ц' 12 дЧЗ ц' Аз доз 1 г д д д айка = ( — (г гг Зац,) + — (Агйзац,) + — (Е~г Зацц) ц1 дЧ ' цц дЧз (здесь а = ацнец, + ац,ец, +а„,е„), 1 ггд ГО1а — ( (г Зац ) (г Зац )) Ец + ( (г!ац ) 1213 дЧЗ дЧ3 У!13 дЧ3 д — — (г За )) Е + — ( (г.за ) — — (г.га, ) Е ., д .

цц ) цц ц У ( д м д е цц~ Для цилиндрических координат т, Чз и 2 найти выражения: 11.167. 8гац) и. 11.168. гзи. 11.169. йиа. 11.170. го1 а. Гл. 11. Векторный анализ Для сферических координат г, д, у найти выражения: 11.171. Пгаг( и. 11.172. Ьи. 11.173. Жч а. 11.174. го1 а. П р и м с р 1. Перейти к цилиндрическим координатам в выражении а 6 цз — *) — Йг Ю г ° т...., ° ,.. .

у - *~ ~ М = .,*. ге„— ге, а= ~/г~ + з' По формулам, полученным при решении задач 11.169 н 11.170, находим: 1 / д(га„) да„да,'1 Йча= — ( + — +г — ) г (, дг д~р дз ) 1 ( 2г(гт + гз) — гз (г2 + зз) — зх '1 2зт (гз + зз)зуг (гг + гр!я ) (гг + г)з!з ' ' 1 /д(га„) да„'1 2гз + — ( — ~ — — )е,=— ее. ~> ° (, д. др) ' (гз+.т)Ю ' 11.175. Вывести формулы: 1 д(АзУ,„) 1 а) дЫе, = ~; б) тосе„= — (Пгаг(Ь„е ).

1 2 3 Чг Ь, 11.176. Используя формулы, выведенные при решении задачи 11.175, найти Жч а и гое а для единичных координатных векторов цилиндрической системы координат: а) а=е,;б) а=е„;в) а=е,. 11.177. Решить задачу, аналогичную 11.176, длп сферической системы координат: а) а=е„;6) а=ее;в) а=е„. 11.178. Найти все гармонические функции вида: а) и = у (г); б) и = у'(~р); в) и = у"(з) (г, ~а, з — цилиндрические координаты). 11.179. Найти все гармонические функции вида: а) и = ~(г); 6) и = ДО); в) и = У'(у) (г, д, ш сферические координаты).

5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 45 11.180. Перейти к сферическим координатам в выражении ска2жу(зг — тг — у') дярного поля и = ' 2 2 и найти и, Егв(1 и и 'ь)ги. г+,г 11.181. Перейти к цилиндрическим координатам в выражении 2т.уз+ гтг уг) скалярного полн и = ' ' и найти и, Егас)и и '72и. (т2 + у2 11.182. Перейти к сферическим координатам в выражении вск) юр = й*,ы ' .~- У' .~ *' 1ь183. П Р й* Р"" "'" """Рд" " 'Р векторного поля а = тл + уз1 — зх/тг + уЪ и найти а, еП)та и го1 а. 3.

Центральные, осевые и осесимметрические скалярные поля. Скалярное поле называется центральным, (сли функция поля и = и(Р) аависит только от расстояния точки Р поля от некоторой постоянной точки — его центра. Если начало координат поместить в центр поля, то функция и примет внд При исследовании таких полей целесообразно пользоватьсн сферическими координатами. Поверхностлми уровня такого поля будут сферы с центром в центре поля, и потому эти поля часто называют с(рери (ескими. Скалярное поле называют осевым, если функция поля и(Р) зависит только от расстояния точки поля Р от некоторой оси.

Если приннть эту ось за ось Оз и обозначить расстояние от точки Р до нее через г, то функция и примет вид и = и(г) = и1.,/х~ + уг). При исследовании таких полей целесообразно пользоватьсн цилиндрическими координатами. Поверхностями уровня таких полей являются круговые цилиндры, оси которых совпадают с осью полн. Эти поля называют также цилиндрическими. Если функцин и(Р) скалярного поля принимает одни и те же значения в соответствуюших точках всех полуплоскостей, проходлших через одну и ту же прямую (ось полл), то такое поле называют осесимметрическим.

Поверхности уровня такого поля — поверхности врашеннн, оси которых совпадают с осью поля. Если ось поля принять за ось Ох, то при исследовании таких полей целесообразно пользоваться либо сферическими, либо цилиндрическими координатами. Функцик) и = и(Р) можно в этом случае представить либо в виде и = и(г, д) Гл. 11. Векторный анализ (в сферических координатах), либо в виде и = и(т, х) (в пилиндрических координатах). Замечание. Градиенты центральных, осевых и осссимметрических полей образуют векторныс поля того же характера -- цснтральныс, осевые и осесимметрические.

Найти градиенты и лапласианы следуюших полей: 11.184. = ~( ), = ~/Р+ р' ~ 11.185. и = у (т), т = ~/хз + уз 11.186. и = Р(т, В) (т, Π— сферические координаты). 11.187. и = Р(т, л) (т, л — цилиндрические координаты). Глава 12 РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 2 1. Числовые ряды 1. Сходимость ряда. Критерий Коши. Выражение иг+ иг+ +и»+ = ~~~,и», »ея где (иь)ген — заданная числовая действительная или комплексная по- следовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы Кг = иг Кг = иг+иг,,5» -— иг+ из+ . +и,... (2) называются частичными суммами ряда (1). Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) о = !пп 5„, то ряд (1) называется сходящимся, а число о— »-+со суммой ряда (1). Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовало Ф = Ф(е) такое, иао для всех н > Ф и р = 1, 2, ...

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,98 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6447
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее