341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 7
Текст из файла (страница 7)
г г 2 2 3 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 1. Криволинейные коорлинаты. Основные соотношения. В пространстве задана система координат, если каждой точке Р поставлена в соответствие тройка чисел дг, дг, гуз, причем различным тройкам чисел отвечают различные точки пространства. Числа дг дг, дз называют коордвиатаии (или криеолинебнылгв координапгалгв) точки Р = Р(цг, дг, дз).
Наиболее употребительными являются следующие системы координат: 1) Декартова прямоугольная система координат. Здесь цг — — х— абсцисса точки Р, дг = у — ордината и дз — — л — аппликата. 2) Нилинлрнческая система координат. Здесь за дг принимается расстояние т от точки Р ло оси л, ггг —— т (О ( т < +со), ог = гр — — угол, составленный проекцией ралиус-вектора ОР на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох (О < уг < 2п), а дз — — л — аппликата точки Р.
При этом цилиндрические коорпинаты связаны с лекартовыми прямоугольнымн координатами при помощи формул х = тсоазг, гу = тагпуг, л = л и, обратно, у т = х/х~+ уз., слчг = —. х 3) Сферическая система координат. Зпесь дг = т --- длина радиус- вектора точки Р(0 ( т < +со), уг —— 0 — угол мсжлу положительным направлением оси Ол и рапиус-вектором ОР тачки Р(0 ( д < и) '), ) Иногла за координату уг сферической системы принимают угол между ралкус-пектором ОР к плоскостью Осу (см.
Часть 2, гл. 9, 1 2). Гл. 11. Векторный анализ 42 Чз = у — угол между положительным направлением оси Ох и проекцией радиус-вектора ОР на плоскость Оху (О < у ( 2х). Имеют место формулы: х = гз!пйсоадд, у = га!пуз!пЧд, г = гсоай и, обратно, г — »у», д= ': у Линия, вдоль которой изменяется только одна координата Чы называется координатной Чылинией, а единичный касательный вектор к этой линии, направленный в сторону возрастания, Чз — единичным ноординатнььм оргпом ед, в точке Р (Чоы Чг, Чз). Аналогично определяются Чг- и Чз-пинии и единйчные орты е „е,. Если векторы ед,, е„, е„попарно ортогонадьны в любой точке простРанства, то соответствУющаЯ система кРиволинейных кооРдинат Чм Чг, Чз называется ортогональной.
Пусть Р (Чы Чг, Чз) — произвольная точка пространства, Р (Чз + ЬЧы Чг, Чз) — точка, лежащая на Чмпинии точки Р, и ~ РР, !— длина дуги РР,. Тогда число !РР,! Хд = !пп дд1-~о |зЧ, называется коэффициентом Ламе координаты Чд в точке Р. Анадогично опРеделЯютсЯ коэффициенты Ламе Ьг и Ьз кооРдинат Чг и Чз. Если точка Р(х, У, г) имеет кРиволинейные кооРдинаты Чд = Чд(х у~ г), Чг = Чг(х, у|а)~ Чз = Чз(х, у, з), то дифференциалы радиус-векторов Йгд„координатных линий и дифференциалы их дуг Йзд„ опредедяются с помощью равенств .Вх,ду дг Йгд„— — 'д — ЙЧ, + ! — ЙЧ„+ !г — ЙЧ„= |,„ед„ЙЧ„, ВЧ„ВЧ»» В1„ ЙЧ» = В» ЙЧ» (о = 1, 2, 3), где |, — коэффициенты Ламе.
Множество точек Р(Чм Чг, Чз), длЯ котоРых одна из кооРдинат постоянна, называется координатной яоверхностпью. Дифференциалы площадей координатных поверхностей определяются по формулам Йод, = |э| зЙЧгйЧз Йод~ |п|зйЧзЙЧЗ Лодд = | д|гйЧдЙЧг а дифференциал объема Йо = | з|г|зйЧдЙЧгйЧз. З 5. Применение криво.цинсйных координат в векторном анализе 43 Найти вид координатных линий и координатных поверхностей и построить их в произвольной точке для следующих случаев: 11.158. Для декартовой прямоугольной системы координат.
11.159. Для цилиндрической системы координат. 11.160. Для сферической системы координат. Вычислить козффициснты Ламе: 11.161. В декартовой прямоугольной системс координат. 11.162. В цилиндрической системе координат. 11.168. В сферической системе координат. Найти дифференциалы дуг координатных линий, дифференциалы площадей координатных поверхностей и дифференциал объема: 11.164. В декартовой прпмоугольной системс координат. 11.165. В цилиндрической системс координат. 11.166.
В сферической системе координат. 2, Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. Указанные операции определнются следующими формулами: 1 ди 1 ди 1 ди ради = — — ец, + — — е, + — — ец„ г',1 дцй ц' 12 дЧЗ ц' Аз доз 1 г д д д айка = ( — (г гг Зац,) + — (Агйзац,) + — (Е~г Зацц) ц1 дЧ ' цц дЧз (здесь а = ацнец, + ац,ец, +а„,е„), 1 ггд ГО1а — ( (г Зац ) (г Зац )) Ец + ( (г!ац ) 1213 дЧЗ дЧ3 У!13 дЧ3 д — — (г За )) Е + — ( (г.за ) — — (г.га, ) Е ., д .
цц ) цц ц У ( д м д е цц~ Для цилиндрических координат т, Чз и 2 найти выражения: 11.167. 8гац) и. 11.168. гзи. 11.169. йиа. 11.170. го1 а. Гл. 11. Векторный анализ Для сферических координат г, д, у найти выражения: 11.171. Пгаг( и. 11.172. Ьи. 11.173. Жч а. 11.174. го1 а. П р и м с р 1. Перейти к цилиндрическим координатам в выражении а 6 цз — *) — Йг Ю г ° т...., ° ,.. .
у - *~ ~ М = .,*. ге„— ге, а= ~/г~ + з' По формулам, полученным при решении задач 11.169 н 11.170, находим: 1 / д(га„) да„да,'1 Йча= — ( + — +г — ) г (, дг д~р дз ) 1 ( 2г(гт + гз) — гз (г2 + зз) — зх '1 2зт (гз + зз)зуг (гг + гр!я ) (гг + г)з!з ' ' 1 /д(га„) да„'1 2гз + — ( — ~ — — )е,=— ее. ~> ° (, д. др) ' (гз+.т)Ю ' 11.175. Вывести формулы: 1 д(АзУ,„) 1 а) дЫе, = ~; б) тосе„= — (Пгаг(Ь„е ).
1 2 3 Чг Ь, 11.176. Используя формулы, выведенные при решении задачи 11.175, найти Жч а и гое а для единичных координатных векторов цилиндрической системы координат: а) а=е,;б) а=е„;в) а=е,. 11.177. Решить задачу, аналогичную 11.176, длп сферической системы координат: а) а=е„;6) а=ее;в) а=е„. 11.178. Найти все гармонические функции вида: а) и = у (г); б) и = у'(~р); в) и = у"(з) (г, ~а, з — цилиндрические координаты). 11.179. Найти все гармонические функции вида: а) и = ~(г); 6) и = ДО); в) и = У'(у) (г, д, ш сферические координаты).
5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 45 11.180. Перейти к сферическим координатам в выражении ска2жу(зг — тг — у') дярного поля и = ' 2 2 и найти и, Егв(1 и и 'ь)ги. г+,г 11.181. Перейти к цилиндрическим координатам в выражении 2т.уз+ гтг уг) скалярного полн и = ' ' и найти и, Егас)и и '72и. (т2 + у2 11.182. Перейти к сферическим координатам в выражении вск) юр = й*,ы ' .~- У' .~ *' 1ь183. П Р й* Р"" "'" """Рд" " 'Р векторного поля а = тл + уз1 — зх/тг + уЪ и найти а, еП)та и го1 а. 3.
Центральные, осевые и осесимметрические скалярные поля. Скалярное поле называется центральным, (сли функция поля и = и(Р) аависит только от расстояния точки Р поля от некоторой постоянной точки — его центра. Если начало координат поместить в центр поля, то функция и примет внд При исследовании таких полей целесообразно пользоватьсн сферическими координатами. Поверхностлми уровня такого поля будут сферы с центром в центре поля, и потому эти поля часто называют с(рери (ескими. Скалярное поле называют осевым, если функция поля и(Р) зависит только от расстояния точки поля Р от некоторой оси.
Если приннть эту ось за ось Оз и обозначить расстояние от точки Р до нее через г, то функция и примет вид и = и(г) = и1.,/х~ + уг). При исследовании таких полей целесообразно пользоватьсн цилиндрическими координатами. Поверхностями уровня таких полей являются круговые цилиндры, оси которых совпадают с осью полн. Эти поля называют также цилиндрическими. Если функцин и(Р) скалярного поля принимает одни и те же значения в соответствуюших точках всех полуплоскостей, проходлших через одну и ту же прямую (ось полл), то такое поле называют осесимметрическим.
Поверхности уровня такого поля — поверхности врашеннн, оси которых совпадают с осью поля. Если ось поля принять за ось Ох, то при исследовании таких полей целесообразно пользоваться либо сферическими, либо цилиндрическими координатами. Функцик) и = и(Р) можно в этом случае представить либо в виде и = и(г, д) Гл. 11. Векторный анализ (в сферических координатах), либо в виде и = и(т, х) (в пилиндрических координатах). Замечание. Градиенты центральных, осевых и осссимметрических полей образуют векторныс поля того же характера -- цснтральныс, осевые и осесимметрические.
Найти градиенты и лапласианы следуюших полей: 11.184. = ~( ), = ~/Р+ р' ~ 11.185. и = у (т), т = ~/хз + уз 11.186. и = Р(т, В) (т, Π— сферические координаты). 11.187. и = Р(т, л) (т, л — цилиндрические координаты). Глава 12 РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 2 1. Числовые ряды 1. Сходимость ряда. Критерий Коши. Выражение иг+ иг+ +и»+ = ~~~,и», »ея где (иь)ген — заданная числовая действительная или комплексная по- следовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы Кг = иг Кг = иг+иг,,5» -— иг+ из+ . +и,... (2) называются частичными суммами ряда (1). Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) о = !пп 5„, то ряд (1) называется сходящимся, а число о— »-+со суммой ряда (1). Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовало Ф = Ф(е) такое, иао для всех н > Ф и р = 1, 2, ...