341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда из (1) следует, что Я1 = ~~ к(ЛУ)(бгас( и, ио) Ьй Обозначим От количество тепла, выделяемого или поглошасмого в объеме 1' за промежуток (Г, Г+ ЬГ) вследствие имеюшихсл в атом объеме источников (илн стоков), плотность которых, т.е. количество поглощаемого или выделяемого тепла за единицу времени в единице объема, Гл. 16. Уравнения в частных производных 268 обозначим Г(х, у, г, г). Ясно что Р'(х, у, г, г) г(с д с, Цг+11т = Йч(йбгаби)бс.ЛС+ г'(х, у, г,1) ИоЬЕ (2) С другой стороны, на изменение температуры объема тела У за время (г, С + Ь1) на величину Аи = и(х, у, г, г' + Ьг) — и(х, у, г, 1) ю ди(М, 1) Ьг необходимо затратить следуюшее количество тепла: д1 Яз — — ~о ]и(х, у, г+ ЬС) — и(х, у, х, С)] у(х, у, г) р(х, у, г) Й> ур — Но Ы, (3) где у = у(М) — тсплосмкость вешсства, а р = р(М) — его плотность.
но сг1 + 1гт = 1гз, а потому из (2) и (3) следует соотношение Так как объем 1т произволен, а подынтсгральная функция непрерывна, то отсюда следует, что в любой момент времени 1 должно выполняться соотношение ди ур — = с(1т ((с пгаг) и) + г (М, г). дс (4) Это уравнение (4) называется ураекенвем тсплояроеодности неоднородного изогяропкого тели. Если тело однородно, то у, р и в постоянныс и уравнение (4) запишется в виде ди . /дгп дти дги'1 — =а ( — + + —,]+у(х,у,г,с), дс ~,д*' дуг дсг ) (5) где ]~ 1 а = ~ —, у(х, у, г, г) = — г'(х, у., г, С). ~> уР 'ур а тогда, используя формулу Гаусса-Остроградского, для обшсго количе- ства тепла, приходящего в объем У за промежуток времени (С, г'+ Ьг), получаем выражение З 1. Основныс задачи и уравнения математической физики 269 Длп вычисления температуры тела и(х, у, г, Г) в любой точке тела и в любой момент времени Г недостаточно решении уравнения (4) или (5). Из физических соотношений следует, что необходимо знать сщс распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальнос условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).
Точно так же и длп решснип других задач математической физьики требустсп знание начальных (если процесс нестационарный) и граничных условий. Поэтому под постановкой зада ьи в дальнейшем подразумевастсп выбор функции, характеризующей исследуемый физический процесс, вывод (или выбор) соответствующего этому процессу уравнении, установление граничных условий и формулировка начальных условий. Пример 2. Поставить задачу об определении температуры однородного изотропного стержня 0 < х < 1 с тсплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура есть некоторая функция х, а на концы стержня подастся извне заданный тепловой поток. а Температура стержня зависит только ст координаты точки х Е (О, 1) и времени 1, т.е. и = и(х, 1).
Внутри стержня источники тепла отсутствуют, т.е. г'(х, у, г, С) = О. Поэтому уравнение (5) принимает вид ди(х, Г) дги(х, ь) . ьс = аэ,', где аг = —. Начальное условие записываетсп в дг дг виде и(х, 0) = уь(х), 0 < х < 1, где ьР(х) — заданнап функция. Граничные условия имеют вид 1 1 ,(О, 1) = — — дь(Г), и',(1, ь) = — д (ь), 0 < ь' < ььо * Йо где а — площадь поперечного сечения стержни, дь(8) и уг(ь) — тепловые потоки (количество тепла, поступающего в единицу времени) в стержень через его концы.
Таким образом, имеем задачу: уьайти решение и(х, Г) ураапеппл ди(х, Г) г дги(х, 1) г Л; =аг ', аг= —, 0<х<1, 0<в<ос, (б) д1 дхэ ' ур' удовлетворяющее условиям: и(х, 0) = ьр(х) (кача ьное условие), 1 иь.(0, 1) = — — Уь(Г), 1 (ераничпые, или краевые, условия). с (7) и (1 г) = — фг(ь) Ьт Рассмотренная в примере 2 задача относится п так называемым смеШаппььм за0ачам, в которых участвуют как начальные, так и граничные условия. Граничные условия (7), наложенные на значение производной и',(х, ь), называют услоаььлми второго рода. Рассматриваются также 270 Гл. 16. Уравнения в частных производных задачи с рслоеияли первого рода, наложенными на значения функции и(х, 1), и(0, 1) = уоь(1), и(1, 1) = ~ра(1) (8) и с услоеияни третьего рода, наложенными как на значения функции и(х, 1), так н на значения производной и'„(х, 1), ди где — + Ои/ = уУь(1), ( — + би ~ = фа(1).
(9) дх / Условна (9) означает упругое закрепление в точках х = 0 и х = б Кроме смешанной задачи достаточно часто встречается задача Коши, состояшая в отыскании решения и(х, 1) в области — ос < х < ю, 0 < 1 < < ос, уцовлетворяюшего только начальным условиям (например, условию и(х, 0) = ~р(х) для уравнения (6)). 16.1". Вывести уравнение малых колебаний закрепленной на концах х = 0 и х = 1 натянутой струны, т.е.
свободно изгибающейся в плоскости горизонтальной тонкой нити. Действующая на струну сила натяжения Т значительно больше силы тяжести, т. е. действием силы тяжести можно пренебречь. 16.2. Используя уравнение задачи 16,1, поставить задачу о вынужденных колебаниях закрепленной на концах х = 0 и х = 1 горизонтальной однородной струны, если в момент 1 = 0 струна имела форму ьо(х), 0 < х < (, и скорость струны в каждой ее точке задается функцией ьо(х). 16.3*. Используя уравнение задачи 16.1, поставить задачу о свободных колебаниях закрепленной на конце х = ь' горизонтальной однородной струны, левый конец которой (при х = 0) движется так, что касательная в этом конде (при х -+ +0) в любой момент времени горизонтальна, В момент 1 = 0 струна имела формулу р(х), а скорость каждой точки равна нулю.
16.4'*. Рассматривая однородную двухпроводную линию равномерно распределенных индуктивностей, сопротивлений, емкостей и утечки, вывести волновое уравнение, называемое также уравнением длинной линии. (Ввести величины: Š— индуктивность, С вЂ” емкость, Л вЂ” сопротивление, С вЂ” коэффициент утечки, которые считать отнесенными к единице длины.) 16.5. Используя уравнение задачи 16.4, поставить задачу об отыскании закона изменения напряжения и силы тока в длинной линии (О < х < сс) без потерь (т.е. Л = С = 0), если известны начальные напряжение ~р(х), сила тока уу(х), а напряжение в точке х = 0 постоянно и равно Ео. 17.6*. Воспользовавшись уравнение (6) примера 2, поставить задачу о распределении температуры внутри однородного изотропного стержня, начальная температура которого равна ио, при свободном внутреннем теплообмене, если в левом конце его (при З 1. Основные задачи и урзвненил математической физики 271 2.
Приведение уравнений к каноническому виду. Обшес уравнение второго порядка относительно функции и(хг, хг, ..., х„) неизвестных х!, хг, ..., хп имеет вид д д ди / ди д '1 ад(хг,...,х„) +у~х!,...,х„,и,—,...,— ! =О, с!=! (10) Методы решении таких уравнений и характер описываемых этими урав- нениями процессов зависит от вида квадратичной формы ч Е а, (х, ..., х„)йс ,о о с !=! (11) в каждой точке Мо(хо„..., хо) некоторой области 0 и-мсрного пространства. Как известно, выбором линейного преобразования матрица (аз(хо„..., хо)),",, квадратичной формы (11) может быть приведена к каноническому (диагональному) виду, причем согласно закону инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов канонического вида матрицы нс зависит от способа диагонализации.
В соответствии с этим уравнение (10) в точке Мо (в области 11) называетсл уравнением эллиптического типа, если все и коэффициентов канонического вида квадратичной формы одного знака, т. е. квадратичная форма (11) является положительно либо отрицательно определенной в точке Мо (соответственно в области В). К уравнениям эллиптического типа обычно приводят задачи о стационарных тепловых процессах, об отыскании гарлгонических в области 11 функций. Уравнение (10) имеет гиперболический тип в точке Мо (в области 11), если в точке Мо (соответствснно в области гО) п — 1 коэффициент канонического вида квадратичной формы (11) имеет один знак, а один коэффициент противоположен им по знаку.
К уравнениям гиперболического типа приводит различные задачи о колебательных процессах. В более обшем случае уравнение (10) имеет ультрагиперболичсский тип, если т коэффициентов канонического вида квадратичной формы одного знака, а остальные п — т — — противоположного. х = О) поддерживаетсн постоянная температура ио, а через правый конец (при х = 1 ) О) происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой задана функцией р(1).
16.7. На граниде бесконечного изотропного однородного цилиндра, направлиюшап которого -- кривая Ь вЂ” лежит в плоскости, перпендикулярной образу!ошей, поддсрживаетсп температура, зависнщая только от полоз;ения точки на г . Используя уравнение (5) примера 1, поставить задачу об установившемся стационарном распределении температуры внутри цилиндра (плоская задача Дирихлс). Гл.
16. Уравнения в частных производных 272 д и дги дги / ди д|г1 а(х, у) — +2Ь(х, у) +с(х, у) — г+~ '(х, у, и, —, — ) = О. (12) дхг ' дхду ' дуг (, ' ' ' дх' ду) Соответствующая ему квадратичная форма имеет вид а(х, у) сг + 2Ь(х, у) с, Яг + с(х, у)1гг. Тип уравнения (12) может быть определен и без приведения квадратичной формы к каноническому виду. Именно: уравнение (12) имеет в точке Мо(хо, уо) (в области Р) эллиптический тип, если ас — Ьг ) О, гиперболический тип, если ас — Ьг < О, параболический тип, если ас — Ьг = 0 в точке Мо (соответственно в области Р). Уравнение а(х, у) с(уг — 2Ь(х, у) с(х с(у + с(х, у) ахг = 0 (13) называетсл характеристическим для уравнения (12), а его общие интегралы ~р(х, у) =С, Р(х,у) =С вЂ” характеристиками.
Характеристики линейного уравнения в частных производных второго порядка (12) используются длл приведения его к каноническому зилу. Длп уравнения гиперболического типа (ас — Ьг < 0) характеристики действительны и различны. Полагая ~ = Чг(х, у) и г1 = ф(х, у), приводим уравнение (12) к виду дги 1' ди ди) дбдц+ (,~" "' дб' дн) (14) или да да — — — +Ф~ о,д, дог ддг 1 2 (14') 1 если положить дополнительно о = -(( 2 Наконец, уравнение (10) имеет в точке Луо (в области Р) параболический тии, если в точке ЛУо (соответственно в области Р) хотн бы один из коэффициентов канонического вила квадратичной формы (11) равен нулю.
Такие уравнения описывают процессы распространения тепла, диффузии и некоторые другие. В случае двух независимых переменных х и у уравнение (10) обычно записывается следующим образом; З 1. Основные задачи и уравнения математической физики 273 Для уравнения эллиптического типа (ас — Ьг > 0) характеристики компзексныс и комплексно сопряжены (чг(х, у) = чЬ(х, у)). Полагая 1 1 ~ = -(у(х, у) + ф(х у)) = Йечг(х, у) и г1 = — (д(х, у) — гР(х, у)) = 2г = 1ш чг(х, у), уравнение (12) приводим к виду дги дги / ди ди1 — + — + Фг ~(, я, и, —, — ) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
