341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 39
Текст из файла (страница 39)
На концах однородного изотропного стержня длиной 1 поддерживается нулевая температура. Предполагая, что стенки стержня теплоизолированы от окружающей среды, найти закон распределения температуры в стержне, если известно, что в начальный момент имелось следующее распределение температуры: х(1 — х) и(х., 0) = ио , где ио = сопз1. х2 Указание. Решить уравнение распространения тепла и', = а~и",,.
16.83. Один конец стержня (при х = 0) поддерживается при постоянной нулевой температуре, а второй (при х = 1) теплоизолирован от окружающей среды (т.е. производная от и(х, 1) по х З 2. Аналитические методы решения уравнений 291 на этом конце равна нулю: и'.(1, !) = 0). Найти закон распредедения температуры внутри стерлкня, если начальная температура задана функцией 0 при 0<х<(/2, и(х, 0) = ~р(х) = ио при !/2 < х < !.
Указание. Системой собственных функций является система л(2Й вЂ” 1)х 16.84**. Однородная прямоугольная мембрана (О < х < 1, О < < у < тя), аакрепленная вдоль всего контура, лежащсто в гори- зонтальной плоскости, и имеющая в начальный момент форму и(х, у, 0) = ~р(х, у), начала колебаться с начальной скоростью и',(х, у, 0) = ф(х, у). Найти закон свободных колебаний мемЗих 8 ту браны.
Получить решение в случае ел(х, у) = яп — яп —, т ' 1(л(х, у) = О, если натяжение мембраны То равно ее поверхност- 2 0 ной плотности р, т. е. а = — = 1. р 16.85*. Точкам закрепленной по контуру однородной квадрат- ной мембраны со стороной !. находящейся в начальный момент в положении равновесия, придали начальные скорости и',(х, у, 0) = пх 2яу = яп — вш —. Найти закон свободных колебаний мембраны.
16.86'. Закрепленной по контуру однородной квадратной мемпх , пу бране со стороной 1 придали форму и(х, у, 0) =- яп — в1п —. 'Найти закон свободных колебаний, если начальная скорость точек мембраны постоянна и равна а/1, где а — - входящая в уравнение колебаний постоянная. 16.87"*.
Найти стационарное распределение температуры в пря- моугольнике Й = ((х, у)~0 < х < а, 0 < у < Ь), если на границе Прямоугольника поддерживается заданная температура: и(х, 0) = и(х, Ь) = О, х Е (О, а), пу и(0, у) = р(у) = у(Ь вЂ” у), и(а, у) = ф(у) = вш уЕ (О, Ь). Гл. 16.
Уравнения а ластных производных 292 16.88*. Найти решение и(х, 9) уравнении Лапласа 11и = и" + + и'„', = 0 в прямоугольнике Р = ((х, 11))0 < х < и, 0 ~ <9 <~ Ь) удовлетворяющее следующим краевым условиям: ди(х, 0) ди(х, Ь) и(0, 9) =9(Ь вЂ” р), и(а,р) = ' = ' =О. дя дд 16.89. Найти решение и(х, 9) уравнения Лапласа 11и = 0 в прямоугольнике Р = ((х, р)/О < х < а, 0 < у < Ь), удовлетворяющее условиям ди(х, 0) ди(х, Ь) и(0, у) = гг, и(оэ у) = лгу, = = О. дц др 16.90"". Найти свободные колебанил закрепленной по краю однородной круглой мембраны радиуса 1, если в начальный момент отклонение в каждой точке определялось равенством и(г, ~р, 0) = Уэллс'~ = сг1а ( — ), в котором улл — первый положительный корень, ~1) 1о(х), а начальная скорость мембраны равна со, где а — - постопннап, входящая в уравнение колебаний мембраны.
16.91**. Найти закон стационарного распределения температуры внутри бесконечного кругового цилиндра радиуса лт, если на его поверхности поддерживается заданная температура; и(г, ~р) )„-л = у'(р) = аш р. тд лл 2 +р( 1) д12 дхэ а Р (12) удовлетворяющее граничным условном ди(1, 1) дх (13) =О В случае, когда исходное уравнение в частных производных являетсц неоднородным, т.е. в характеризуемолл этим уравнением физическом процессе имеютсн внешние силы и источники, предварительна находится система собственных функций соответствующего однородного уравненип и решение ищется в виде ряда по этим собственным функциям с переменными коэффициентами.
Пример 4. Найти форму и(х, 1) (отклонение от положенил равновесия) закрепленной на конце х = О однородной струны, правый конец которой имеет горизонтальную касательну.ю и на которую действует внешняя сила с плотностью Г(х, 1) ф О. В начальный момент 1 = О струна имела форму ~р(х) и каждая тачка имела скорость ф(х). Найти и(х, 1) при условии, что ло(х) = лр(х) = О, а Е(х, 1) = ал = То/р.
а Предполагая, что струна совершает малые колебания, иьлеем следующую первую краевую задачу: найти решение и(х, Л) уравненип вынув- ленных колебаний струны з 2. Аналитические методы решения уравнений 293 и начальным условиям и(х, 0) = ~й(х), = ф(х). дн(х, О) д/ (14) Чтобы найти собственные функции однородного уравнения и,", = ази,", с граничными условиями (13), положим и(х, /) = Х(х)Т(1) и после разделения переменных получим уравнения Тн Хн — = — =Л азТ Х (15) с граничными условиями Х(0) = Х'(/) = О. (16) а (2/с — 1)х Хь(х) = яп 2/ /с 6 г( (17) (см.
задачу 16.63). Рассматриван г как параметр, разложим функцию Е(х, /) в ряд по л(21 — 1)х) системе яп у 2/ г'(х, /) = ~ ~Ал(/)яп л(2Й вЂ” 1)х л=1 где ! 2 Г, л(2/г — 1)ц Ае(/) = — / Г(и, /)яп г/и, о Будем исьать решение уравнения (12) в виде рида л(21 — 1) х я(х, /) = ~ сл(/) яп л=1 2/ (18) подставляя который в (12) (считаем, что сь(/) таковы, что возможно двукратное почленное дифференцирование по х и по г) и сравнивая коаффициенты при одинаковых гармониках, получаем бесконечную систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций с„(/): ттот(21 1)2 сг.(/) + т сь(/) = Ал(/), /с Е И. (19) Решая уравнение Хн — ЛЛ" = 0 с краевыми условиями (16), находим соб- Г я(2Й вЂ” 1) '~ ственные числа Ль —— — ~ 2/ ( н соответствующие собственные функции Гл, 16.
Уравнснил в частных производных 294 о(2/с — 1)х и(х, 0) = ггэ(гс) = " сь(0) эш 21 о(2гг — 1) х и'(х, 0) = ггг(х) = у сь(0) эш 21 Пусть 2 У п(2й — 1)о сь(0) = — ( д(о) эш 1/ 21 Ж о (20) 2 Г х(21 — 1)о с~(0) = — / го(о)эш г(о, Л Е Ы, 1/ 21 о (21) т. е. сь (0) и от~, (О) являются коэффициентами Фурье соотвстствснно функций гд(х) и 4г(х) по системс (17). Найдсм тспгрь рсшсния сь(1) уравнений (19), удовлетворякэщие условинм (20) и (21), и, подставляя их в ряд (18), получим искомое решение и(х, $).
По условию го(х) = 1гг(х) = О, поэтому сг„.(0) = с',,(0) = 0 для вссх 1 б г4. Далее, так нак Г(х, г) = а, то 2 г' э . л(21' — 1)о Ав(1) = Аг, = — / аэгйп гЬ = с,/ 21 о 2аэ 21 х(2й — 1)о 4иэ п(2" 1) 21 „а л(2гг — 1) Поатому требуется найти решения диффсрснцнальных уравнений птггэ(21 — 1)э 4от ~.'~. (1) + сь(1) =, Й б М, (22) удовлетворяющие условиям сь(0) = с1(0) = О. (23) Из начальных условий (14) слсдуст, что функции сь(1) должны удовле- творять условиям 3 2. Аналитические методы решения уравнений 295 Корни характеристического уравнения для уравнения (22) мнимые, поэтому частные решения уравнений (22) ищем в виде сс(/) = уь.
Подставив эти значения в (22), найдем, что 16/з пз(2Й 1)з' а поэтому. общее решение ссаасдого из уравнений (22) запишется в виде па(2Й вЂ” 1)/, ла(2/с — 1)/ 16/г са(/) = азсоз +Д,з/п + з, з, Й е Р/, 2/ и из условий (23) получим 16/г сь(0) =аз+ з(2Й )з =О, та(2Й вЂ” 1) сс.(0) = //ь + 2/ =О, 16/з т.е. /уь = 0 и аз = —, Й 6 р/.
Таким образом, 1Яг /с па(2Й вЂ” 1)/ 1 "')-, (2Й-1)з ~' '" 2/,/- 32/г з сса(2/с — 1)8 „з(2Й цз ьш и искомое решение имеет вид 32Р с- 1, г ха(2Й вЂ” 1)/ х(2/с — 1)х и(х, /) = — ~ з/п (2Й вЂ” 1) з 4/ 2/ з/п . /> 16.92*. Для 0 < х < / и 1 ) 0 решить уравнение дги дги — = — + х(х — /) д/г дхг при нулевых начальных и краевых условиях и(х, 0) = и,(х, 0) = и(0, 1) = и((, 8) = О. 16.93*. Для 0 < х < / и 1 ) 0 решить уравнение дги дги пг, ссп/ — =о, — + — аш— д/г ' дхг /г 296 Гл. 16. Уравнения в частных производных при нулевых начальных и краевых условиях и(х, 0) = и,'(х, 0) = и(0, 1) = и(1, 1) = О.
16.94. Найти температуру стержня при 0 < х < 1 с теплоизолнрованной боковой поверхностью, если начальная температура его концов равна нулю, а в точке хо Е (О, 1) находится сосредоточенный источник с постоянной мощностью Я. Указание. Требуется найти решение уравнения ди,д и — =а — + Г(х,1) д1 дхт с нулевыми начальными и граничными условиями и(х, 0) = и(0, 1) = = и(1, 1) = О, в котором Г(х, 1) = Яб(х — хо) Гор, Б(х) — дельта-функция Дирака, с — удельная теплоемкость и р — удельная плотносп.
При 2 Г ы~о вычислении коэффициентов Аь(1) = — 1 Г(о, 1) ьбп — Ыо использовать 1/ о следующее свойство б-функции: если Г(х) определена и непрерывна в точке хо, то Г(х) б(х — хо) Их = Г(хо). 16.95. Для 0 < х < 2 и 1 > 0 найти решение уравнения ди д и , ях — = — + з(ц —, д1 дхз 4 ' удовлетворяющее начальному условии> и(х, 0) = 0 и граничным условиям и(0, 1) = 0 и и' (2, 1) = О. В примерах 3 и 4 краевые условия являлись однородными (см, определение задачи Штурма-Лиувилля перед задачей 16.61). Если же рассматривается задача с неоднородными краевыми условиями, то с помощью замены и = о + 1Г путем надлев.ашего выбора функции 1Г задача сводится к решению уравнения относительно функции о уже с однородными краевыми условиями. Выбор функции Н опрепеляется видом заданных краевых условий. П р н и е р 5.
Найти закон свободных колебаний горизонтальной струны, правый конец которой при х = 1 закреплен, а левый при х = 0 ва1 двнжстсп по закону и(0 1) = сйп —. Начальные скорость и отклонение равны нулю. з 2. Аналитические методы решения уравнений 297 с1 Имеем уравнение ин — — а н,",, с начальнымп условиямц и(:г, 0) = и',(х, 0) = 0 и неоднороднымн граничными услооияйш ц(0, г) паг 1 — х пас = яп —, и(1, !) = О. Произведем замену н(х, г) = ь(т, г)+ — вш 1 Тогда относительно функции о(х, Г) получим неоднородное уравяснис г т(1 ггп(1 — х) с нд'гдльными условиями у(х, 0) = 0 ог(х, 0) 12 и однородными граничными условиями о(0, Г) = о(1, 1) = О. Однородное уравнение о,", = ото,"., с зтими граничными условиями имеет систему собпйх) ственных функций яп — у, позтому ищем решение нсоднород- 1 ~йен ного уравнения в виде ггйх о(х, Г) = ~~! Сй(1) яп —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
