341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 40
Текст из файла (страница 40)
й=! Подставив зто выражение в неоднородное уравнение, получим бесконеч- ную систему уравнений 2 С,".(г)+ ( — ) Сй(!) =Ай(г), йе И, г'Ыа! (24) ! 2 г ттаз(1 — х) паГ, пйх 2пат !го! где Ай(г) = — / вш — вгп — г)х = —,, яп —, причем 1,/ 1 1 1 (ай о из начальных условий имеем следующие условия на Сй(0) и Сй(0): Ых о(х, 0) = ~~ Сй(0)яп — = О, т.с. Сй(0) = 0 для всех 1с Е И, и й=! и/сх гга(1 — х) о,(х, 0) = ~~ Сг (0) Яп — = —, т е (з й=! 2 Р па(1 — х), пггх 2а С.(0) = — — /, аш — г!х = — — для всех й Е И. й = 1) (т о При гс = 1 в уравнении (24) имеет место резонанс (см. указание к задаче 16.93), поэтому частное решение игцется в форме С! (Г) = па1, па1 '! А! сов — + В! яп — ); подставив его в уравнение найдем что 1) Гл. 16.
Уравнения в частных производных 298 а2 яа2 Сг(2) = — — сов —. Используя затем условия Сг(0) = 0 и С,'(О) 2а — — находим, что 1, та 2 а1 яа1 С,(г) = — — зщ — — — сок —. и 2а Далее, используя условия Сь(0) = 0 и С' (О) = — —, при й > 2 получаем следующие решения уравнений (24); 2, тйа2 2 ха2 Сь(2) = — згп — + вп —. х(й2 — 1) ) тй(йт — 1) Подставив зги козффипиенты в рнд для о(х, 2), получим искомое решение à — х наг и(х, 2) = — вп — +о(х, С).
с» У Х 16.96. В области 0 < х < ( и 1 > 0 найти решение уравнения и', = ази" при начальном условии и(х, 0) = х/1 и граничных условиях и(0, г) = 0 и и(1, 1) = е '. Указание. Для приведения неоднородных граничных условий к однородным произвести замену и(х, 1) = в(х, 2) + хе 'г~. 16.9г. В области 0 < х < 1 и 1 > 0 найти решение уравнения иг — — и" при начальном условии и(х, 0) = 1 и граничных ди(1, г) условиях и(0, 1) = е йт и ' = О.
дх У к а за н и е. Длн приведения неоднородных граничных условий к однородным произвести замену и(х, г) = п(х, 1) + е ат. 16.98. Найти закон свободных колебаний горизонтальной струны, левый конец которой при х = 0 закреплен, а правый движется на1 по закону и(1, 1) = в1п —. Начальные уклонения и скорости 2( равны нулю. У к а з а н и е. Для приведения неоднородных граничных условий к однох ха2 родным произвести замену и(х, 1) = о(х, 2) + — вп —. 21 16.99.
В области 0 < х < 1, 1 > 0 найти решение уравнения г 2 н =х и, = а и при начальном условии и(х, 0) = — и граничных условиях и(0, г) = е г, и(1, г) = О. з 2. Аналитические методы решения уравнений 299 ди ., д~и — = а —, — оо < х < +ос, 0 < 1 < +сю, (25) д1 дхз ' удовлетворяющее начальному условию и(х,О)=у(х)=е ". Предполагаем, что оо(х) абсолютно интегрирусма на оси (-оо, оо).
Ишем решение в виде произведения и(х, 1) = Х(х)Т(1), поэтому уравнение (25) преобразуетсп к виду Т' Л'" 2 азт Л (27) причем отношение отрицательно в силу того, что при 1 — > со функция 2 2~ Т(1) = с ' ' не должна воарастать до бесконечности. Правое из отношений (27) приводит к уравнению Хо + ытХ = О, решениями которого являются функции Х (х) = А(ы) сов ых + В(ы) о1п ых, а потому решениями уравнения (25) являются функции и„(х, 1) = е ' "' '(А(ы) сов ых + В(ы) о!и ых). Если А(ы) и В(ы) абсолютно интегрируемы для ы б [О, +ос), то инте- грал и(х,1) = ( и„(х,с)ды = / е ' '(А(и)сооых+В(ы)з1пых)ды о о (28) 16.100. П области О < х < 1, 1 ) О найти решение и', = и". при начальном условии и(х, О) = 1 и граничшох их(О, 1) = О, „(1 1) — -~В' При ршцснии задачи 1(оши (в этом случае краевые тсловпя заменены ограниченностью решения на бесконечности) метод Фурье приводит к использованию интеграла Фурье.
П ример 6. Найти закон распределения температуры и(х, 1) в длинном однородном стсрзшс, боковая поверхность которого тсплопзолирована и иавсстно начальное распределение температуры и(х, 0) = д(х) = = е т а Пренебрегая влиянием температурных условий на концах длинного стержня, будем считать его бесконечным. Поэтому мы имеем следующую задачу 11оши: найти решение уравнения Гл. 16. Ц~авненин в частных производных ЗОО ыолчно дифференцировать по параметрам 1 и х и мы имеем и',(х, 1) = — а~ ыте '" " '(А(ы) сояых+ В(ы) яших)савв, о и", (х, М) = — е " Я(А(ы) сояых. + В(ьз) я1пых) сМы. о Следовательно, определяемая интегралом (28) функция и(х, 1) является решением уравнения (26), поэтому, если мы выберем 1 Г А(ы) = — / ~р(т) сояытдт 1 Г В(ы) = — / р(т) зш ыт дт, то определяемая интегралом (28) функция и(х, Г) будет удовлетворять и условию (26).
Таким образом, искомым решением является функция и(х, 1) = — / е ' г(м / р(т)(сояьзхсояыт+я1пьзхяшьзт)Ит = 1 Г Г 2 2я = — / Чл(т) г(т / е "" совы(х — т) г(ы. Используя формулу (см, задачу 9.192) ч- х 1 1л й е ™ сояйог!ы = -~( — е 2 у/.г о вычисляем внутренний интеграл =Г— -алел~ 1 )л и-Р е ' сояы(х — т) Ны = -~/ — е Ы 2 у' азг о 3 3. Лрнближенныс методы решения уравнений 301 а потому 1 и(х, 1) = / ~р(г)е ' Й.. 2атггй / г В нашем случае уг(т) = с ', поэтому 2ат/л1,/ В задачах 16.101 — 16.104 найти решение задачи Коши 11и г32 и — — — со < х < +со 0 < 1 < +со 01 Дхт при указанном начальном условии и(х, 0): '3 3.
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 1. Основные понятия метода сеток. В большинстве случаев получить решение дифференциального уравнения в частных производных с помошью злемснтарных или специальных функций невозможно. В связи с втим важное значение приобретают приближенные методы его решения. Нигкс мы ограничимся рассмотрением краевых задач для уравнений математической физики с двумя независимыми переменными в области Р с границей у, т.е. Ьи = а(х, у)и,", + 2б(х, у)и",„+ с(х, у)и'„', + Н(х, у)и', + + е(х, у)и'„+ у(х, у)и = Дх, у), (х, у) Е Р, (1) Ги=чг(х,у), (х,у)с у, (2) где а(х, у), Ь(х, у), с(х, у), а(х, у), е(х, у), д(х, у), у(х, у) — известные функции переменных х и у, определенные в области Р, à — некоторый линейный (в обшсм случае дифференциальный) оператор граничных условий и уг(х, у) — известная функция, заданная на границе .у. 16.101.
и(х, 16.102. и(х, 16.103. и(х, 16.104. и(х, )' А, )х(<6, '1 О, )х!>Ь. 0) = е ~*~. / /х!, )х! < )г, 1 О, !х! > а. ) х, !х! < 6, ~, О, !х! > я. Гл. 16. Уравнения в частных производных 302 Наиболее часто используегаым методом численного решении краевой задачи (1), (2) пвлпстсл метод сеток (метод конечных разностей) В методе сеток замкнутап область Р = РОТ замснлстсп конечным множеством точек — сеткой Рь = Рь 0 уь. Точки этого множества называютсп узлами естли. Параметр Ь = (6, т), шаг сетки, характеризует ес плотность в области Р. Обычно при !Ь! = ьес6'+ т' — ь 0 последовательность сеток Рь стремится заполнить всю область Р. Производныс.
входлшис в левые части соотношений (1) и (2), заменпютгп на сетке Рь соотвстгтвуюшими разностными отношениями. В результате получаетсп система линейных алгебраических уравнений Сьиь = уь(хы, ун), (хы, уп) б Рь, Гьиь — — рь(хт ун), (хы: уп) б Уь, (3) ььиь = уь(х„„у„), (х„„у„) б Рь (4) где — ( то ° (х и у~) и Рь, — ( Хь Хь — — ~ Уь=~ Гь, (х~„ун) Е ~ь, 'уь, (хы ун) б Рсн (хп1 ун) ч еь. Построение разностной схемы (3) или (4) длл красвой задачи (1), (2) начинаетсп с выбора сетки, т.е. указываетсл правило замены области Р и границы у сеточной областью Рь. Чаше всего сетка выбираетсп прнмоугольной и равномерной. Длл этого проводлтсн два семейства параллельных прлмых: т = хо+ т6 и у = уо+пт и рассматриваютгп вгевозможные точки попарных пересечений прнлсых из этих семейств, т.
с. точки вида (х„„ув) = (хо + т6, ус+ пт). Точки (х„,, у„), которые принадлежат замкнутой облагти Р, образуют сетку Рь, являясь ее узлами. У каждого узла (х,„, ун) имеетсн четыре соседних точки: (х,„ы у„), (хт„ы у„), (х„„у„1), (х, 1ьг~ы).
Если все эти соседние точки также принадлежат сетке Рь, то узел (х, ун) называется внутренним, в противном случае узел (х, у„) называется грани ейным. Совокупность внутренних узлов образует множество Рь, а граничных — множество уь где иь(х„„у„), (х, у„) б Рь — искомая сеточная Уэункиия, уь(хо,, у„), рь(х, у„) — гсточныс функции, заданные на множествах Рь и уь соответственно, и Сь, Гь — разностныс операторы. Ссточнан функция йт явлнюшапся решением системы уравнений (3), называется приближенным рсшенисм красной задачи (1), (2) на сетке Рь. Ее значении й „= йь(х, у„) приближенно заменяют в узлах гетки .Рь соотвстствуюшие значения точного решения й(х „у„) пгходной краевой задачи с некоторой погрешностью б „= й, „— й(хы у„).
Семейство систем уравнений (3), зависящее от парал1етра Ь = (6, т), называется розностной схемой. Разностную схему (3) иногда удобно записывать в виде 3 3. Приближенные методы рюнення уравнений 303 (так что Рь = Рь 0'уь). Следует отметить, что множество граничных узлов уь нс обяаательно является подмножеством точек границы у, что приводит к погрешностям при построении сеточной функции дь из (3). Ца рис. 13 приведен пример прямоугольной и равномерной сетки Рь, Ряс. 13 построенной для заданной области Р (внутреннис узлы сетки здесь отмечены символом *, а граничные — символом ° ). После выбора сетки Рь проводится построение сеточной функции (уь, уь) и разностного оператора Хь = (Аь, Гь) из (4). Длн определения уь в узлах сетки Рь полагают уь(х, у„) = г(хн„у„), если (х„„у„) Е Рь, уь(х,„, у„) = р(х,„, у„), если (х„„у„) Е уь и (х, у„) Е у, если же граничный узел (х, у„) ~ у, то в качестве ,У(х, у„) выбираетгя значение функции д(х, у) в произвольной точке (х, у) Е у, отстояшей от узла (х„„у„) на величину, меньшую ~б~.
Для построения разностного оператора Хь все известные функции, участвующие в явной записи операторов Ь и Г (например, а(х, у), 6(х, у) и т.д.), заменяются своими значениями в узлах сетки Рь и обозначаются соотве~ственно через а „, Ь„, „и т, д., а частные производные 1-го и 2-го порядков неизвестной функции и(х, у) приближенно заменяютгя соответствуюшими разностными отношениями. В результате получаем разностную схему (4), соответствующуи> краевой задаче (1), (2). Пример 1. Построить разностную схему для краевой задачи распространении тепла в конечном стержне (О ( х (1) и', — а и" = у(х, г), и(х, О) = фх), и(О~ 1) = чч(1) и(1~ 1) ч2($)' Гл. 16. Урввненив в частных производных 304 Рь=((хп„сп)!т=0,1,...,т, и=0,1,...,я), (5) где целое г выбирастсл так, чтобы интервал 0 < 1 < та перекрывал тот временной диапазон, в котором изучается распространение тепла в стержне. Множество внутренних узлов имеет вид Рл —— ((хп„1п)(ти = 1, 2, ..., т — 1; и = 1, 2, ..., а.
В это множество входах и узлы вида (х, 1,), т = 1, 2, ..., т — 1, которые мы считаем внутренними, так как наше ограничение 1 < вт нвллетсл искусственным! Соответственно 7ь = = Рь'~Рь или в явном виде уь = ((хп„О)(т = О, 1, ..., т) О((0, 1„)(и = = 1, 2, ..., в) 1.1 ((х„, 1„) /, и = 1, 2,..., а). Далее полагаем иь = (и„,,п), /(хп~ ~ 1п) ~ й(хп~) Фл (Сп), д,(1„), (хш, 1п) 6 Рь., и=О; т=0,1, (6) т = 0; и = 1, 2, ..., а, ./ь(хоп~ Сп) = лл = т; и = 1, 2, ..., ж Отметим, что в случае, когда 1/6 не лвллетсл целым числом, т.е. т = = (1/6] < 1/6, уалы (х„, Сп), тл = 1, 2, ..., э, не приналлеллат граничной полупрямой х = 1, р > О. Вместе с тем эти узлы лвллются граничными, поэтому значенил сеточной функции /л в них перенесены с границы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
