341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для получения разностного уравнения заменим проиаводныс разностнылш отношениями (см. задачи 16.105 и 16.108); 1 и,(хпл 1п) — (и,„,пз.1 — ип, и), т и ипп(хпм 1~) — э(иппы и — 2ипьп+ ипп-ип), где (хп„Сп) 6 Рл. Следовательно, 1 аэ — (и,„,„з.л — и~ и) — — (и,„з.л „вЂ” 2и~ и+ ип, 1 и), т /лэ тп, = 1, ..., т — 1; и = О, 1, ..., а — 1, (7) и ,о, т = О, ..., т, ио и, и = 1, ..., я, и„ „ и = 1, ..., 8. з Заметим, тго область определения ((х, 1)/О < х < 1, 0 < 1 < +со) данной краской задачи лвллстсл неограниченной. Поэтому длл построснил равномерной прлмоугольной сетки Рь (которал всегда лвлнгтсл конечным ллнолюством точек) поступим следуюшим образом.
Проведем два семейства прямых х = т6 и 1 = ит длл некоторых заданных 6 и т. Очевидно, что точка (х,„, 1п) принадлежит области определения исходной зада ш, если пл = О, 1, ..., т, где т = (1/Й)., и и = О, 1, ... Положим 3 3. Приближенные методы решения уравнений 305 Подставляя выражение (6) и (7) в (4), получаем искомую разностную схему, нагорал представллет собой следующую гистему линейных алгебраических уравнений: 1 а — (сс, ьс — с>», ) — —,(и» ьс ° т 1>' и> = 1, ..., т — 1; — 2>> ш, и + ссссс- с, сс) = 1(хт, 1я), л=О,...,а — 1, т=О,...,т, п = 1....., в, п = 1, ..., а. иа,о = ср(х ) с>0, и с»! (1са)с ит,я ср2(йс)с >>(с.и)ь — >'аида!> -> О, >>с( -ь 0 Если, кроме того, выполнлстсл неравенство !! (П~>) ь — Хьиь(( ( С(~й~т+ ~т~а), где С вЂ” константа, не аавислщал от 7>, то порядок приближения разностным оператором равен р по переменной х и д по переменной у. В частном случае, когда шаги сетки связаны соотношением т = д(Ь) (т.е.
не лвллютсл независимыми) и й(Еи)ь — Ь>сс>ьй ( С(Ц", говорлт, что разностный оператор с,>, приближает оператор с' с порлдком приближенна и. Длл определении парилка приближения обычно используетсл формула Тейлора. П р и и е р 2. Определить порядок приблил енин дифференциального оператора Ьи = и', — ази,", разностным оператором из примера 1. Эта система состоит из (а+ 1)(т+1) уравнений. Решив се относительно неизвестных и „, т = О, ..., т; п = О, ..., а, найдем сеточную функцию й>, —— (П„„), значения которой в узлах сетки приближенно замеНлют значенил искомого решения исходной краевой задачи длл уравнении теплопроводности. » Естественно, наибольшие трудности в построении разностной схемы (4) вызывает замена дифференциального оператора Т, исходного дифференциального уравнения в частных производных (1) разностным оператором Т>с из (3).
Пусть с>ь — конечномерное нормированное пространство геточных фУнкций иь, заданных на сетке Рь, с ноРмой биь(! = шах)и,(, где я и„— координаты вектора иь (индекс и последовательно пробегает все пары индексов (т, и), нумерующих узлы сетки). Будем говорить, что разностный оператор Ь>, приближает дифференциальный оператор >'., если длл любой функции и(х, р), дифференцнруемой достаточное число раз, норма сеточной функции (ь",и)ь — 1,ьи>, стремится к нулю при >Ус! -+ О, т.
е. Гл. 16. Уравнения в частных производных 306 а В примере 1 был построен разностный оператор 1 а (Улиь)иьи — (ит,п1-! ит,п) Ьг (ит~ь1,и 2ит,и + ит-1,п). т Используя формулу Тейлора, находим 1 1 (пипи+1 ит,п) = (и(Хит зп+1) и(Хт~ 1п)) = т т т и1(тип ~и) + ии(тт ~ )1 2 где 1т < 1' < $т + т, и 1 1й —,(и Ь1 „— 2и п + ипп 1 п) = — „— (и(Хп + Ь, 1п)— 1 — и(х, 1п)) + — (и(х — гл — Ь, Гп) — и(х, Гп)) — (и',(х„„1п) + -и,",(х„„1п) + — и,'"„(х, 1п) + 6 з 24 ™т* 2 з 6 где х — Ь < хп < х < х' < х +Ь. Приводя подобные члены в правой части последнего выражения, получаем и 2(ит-1-1,п 2ит,п + ип~ — 1,п) = ипп(Хт~ зп) + г 24 Следовательно, (Слил)т,„ = и',(Х , зп) — аги,",(Х , Гп) + -и",,(Х , 1')— а2 2 — — (и',",'„(х', 1п) + и,",п„(х", зп)).
(8) 3 3. Приближенные х>отсды решения уравнений 307 Пспользуп выражение (8), разность между исходным ди>)к(к рснциальным оператором А н заменяющим сто разногтным Ь>, в узлах сетки маяк>х> представить в виде 2 2 24 ( *'*"' ' ' " »*»»( ' ")) для некоторых р(г„< р < Г„+ т) и х', х" (х,„— й < х' < х>в < < х' < х„, + й). Если теперь )и,",(х, г)! < И> и (и',"„'„(х, г)! < Луп то выполнлгтся неравенство (((Ьи)ь — Ь>,и>,(! = шах((йи), „— (1>,и>,)ж „! ( в>, в Следовательно, использованный в примере 1 разностный оператор приближает исходный дифференциальный и порядок приближения по переменкой т равен двум, а по 1 — единице. Отсюда, в частности, следует, что для того, чтобы порндок приближения был равен двум, необходимо шаги 6 и т сетки связать соотношением т = 1>".
Замечание. Для облегчения запоминания построенного разностного оператора полезно поставить в соответствие ему»шаблон» вЂ” геометрическую картинку расположения узлов сетки, значения в которых связывает разностный оператор при некоторых фиксированных значениях тп и п. Длп рааногтного оператора из примерз 1 шаблон изображен на рис. 14 (проверьтс!). с В задачах 16.105-16.107 определить порядок приближении дифференциального оператора частной производной и' указанным разностным оператором Ьь.
1 16.105. (1 ли>,),„в = — (и„, „> „, — и,„„) — оператор правое>по>> ранней разности. 1 (» МЧ>)п>,н = (ип>,п ит — цн) — опера>пор леоосто- 1> ранней разности. 1 16.107. (1ч>>н>)>„„= — (и„,е> „— ию > „) — оператор пен- 26 тпральноб разности. В задачах 16.108 †.111 определить порядок приближения заданного дифференциального оператора Ь второй частной производной указанным разностным оператором Ьь. Гл. 16.
Уравнения в частных производных 308 16.108. Ьи = й, (1.аиь)т п = 1 = —,!ит+1, п — 2ит, п + ит-1,.). 16.109. Ьи = и'„',, !авиа) 1 52 = — З(и~+1, +1 — 2ит+1, и + ит, п 1). 16.110. Ьи = и"д, (г аиа) 1 4Ьт — 1ит+1, и.1-1 ит+1, и-1 ит-!, п+1 + ит-1, п-1) ° (т-1, и а!) Пт л л1) (лт е1, и "-!) ил! т,лл1 !т, л) Рис.
14 Рис. 15 В задачах 16.113 и 16.114 определить, какой дифференциальный оператор и с каким порядком приближается заданным разностным оператором Ьа. 1 16.113. (авиа)т,п = — (ит-~-1,п ит — 1,п) + 2)1 1 + — (2и и+! — и 11,„+ и„, ! и). 2т 16.114.
(авиа) 1 2 (ит-1,п + ит,п-1 + ит-!-1,п + ит,и+1 4ит,п) ° 16.111. Ьи = и"ц, 1,авиа) 1 = — 1,и +1,~4.! — и~Ч.1, + ит,п — илии+1) Ьт 16.112. Построить разностную схему для краевой задачи из примера 1, используя оператор правосторонней разности и оператор, аналогичный приведенному в задаче 16.109. Определить порядок приближении полученного разностного оператора 1 а !шаблон приведен на рис. 15): Э 3.
Приближенные методы решения уравнений 309 16.115. Определить, при каком сг порядок приближения дифференциального оператора Ь: Т,и = и', — и" разностным Ть 1 (),ьиь) „= — (и „+1 — и п)— т 1 ~ з (ст(пт-н,п.ь1 — 2нт,пч-1 — нт 1 и-г1) + 62 Г дс~'и ь=о ььу<п (9) Коэффициенты ч у линейно выражаются через сы Выберем коэффициенты сь так, чтобы правая часть в равенстве (9) отличалась возможно меньше от значения дифференциального выражения Си в узле О, т.е. чтобы коэффициенты при производных в уравнении (1) совпадали с коаффициентами при гоответствуюших производных в правой части (9), а коэффициенты при старших производных порядка г (2 < г < и) в (9) приравнясм нулю, т.е. чм = 0 длл 2 < 1+,у = г < и.
(10) + (1 — сг)(нт.~-1,п — 2нт и — нт-1,п)) будет четвертым по 6 и первым по г. Составить разностные схемы для следующих краевых задач: дти дзи ди 16.116. — = а2 — +у"(х, 1), и(х, 0) = ~о(х), — (х, 0) = Ях), дх2 и(0, 1) = ~1(й), и(Ь, Х) = 4>2(1), ХУ = ((х, 1) !О < х < Ь, 0 < 1 < Т). дти дти 16.117. с — + с( — = у(х, у), с > О, с( > О, и~, = ф(х, у), дх2 ду2 Ю = ((х, у))0 < х < Ь, О < у < У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
