341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 44
Текст из файла (страница 44)
2и + и„, = х~ + 2ху, Р = 11х, у))0 ( х < 2, 0 ( у < < Ц, ~ =1+х, Ч =3 — у', ~ =1+5у ( -,=6 дои д2и 16.145. — + —. = — х~ — у, Р = Цх, у) ~0 ( х ( 1, 0 ( У < дх дуз <Ц,и~ =2у~,и~,=у +4у,и~ =О,и~,=х2+2т,+2.
ди ди 16.146. — +4 — з — — вшху, Р = Их, У)~0 < х < У+1, О < У < дхз ду~ < Ц, и! = х, и(,= ху+ 1, и(,= 5 — х, и( „= 5У. 16.147. 2и +4лл„„+ух = О, Р = 1(х, у)/О < х < 2, 0 < у < Ц, и!.=о= 5У и~ =о= лх и! =л=5 х' и!х=2= ~/ лс 2 Глава 17 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В 1. Численные методы минимизации функций одной переменной 1. Основные панлтил. Прямые методы минимизации. Пусть на множестве (/ с К определена функпил /(х). Под минимизацией функции у(х) на множестве У будем понимать решения следук/щей задачи; найти хотя бы одну точку минимума х" и минимум У'* = /'(х*) этой функции на множестве (/. Задача нахождения точки максимума и максимального значения функции )(х) сводится к задаче минимизации залюной /(х) на — ) (х), поэтому ниже будут рассматриваться талыш задачи на минимизацшо.
Напомним, что число х' е (/ называгтсл точкой абсолютного (глобального),минимума или просто точкой .минимума функции /'(х) на множестве (/', если у (х*) < / (х) длл всех х е (/. Значение /" = шш ) (/с) (/ называется абсолютным (глобальным) минимумом или просто .минимума,м )(/г) на г/. у(ножество всех точек минимума функции )(х) на множестве У будем обозначать (/' . Число х й (/' называетсл то ской локального минимума функции у(х), сели существует такое число б ) О, что )(х) < у'(х) длл всех х е й 1/г = (х]х й (/', ]х — х] < Б).
Значение /'(х) называетсл локальным минимумом г" (///). Вслкал точка глобального ыиних/уыа /'(х) является и точкой локального минимума этой функции. Обратное, вообще говоря, неверно. В задачах 17.1-17.4 найти множество точек минимума (/'* функции у(х) на мнохссствс (/': 17.1. у (х) = а)п~ тгх, с/' = К. 17.2. У(х) = ] — '], (У = [-1; 2]. 17.3. у'(х) = соа —, (/' = (О; 1]. 2' 17.4.Дх)= ]'] ' У=К. 1 при ]х]<1, 17.5. Доказать,что линейная на отрезке [а; Ь] функция у(х) = = Ах+ В, А у~ О, достигает минимума на этом отрезке только в точке х =лили х=б.
324 Гл. 17. ЛГетоды оптимизации Отметим,что миннмугз функции /(х) на множестве ГГ моя<от и не существовать, т.е. множество Г/' может быть пустым. В этом едуча< используют обобщение понлтил минимума - — точную нижнюю грань функции /(х) на множестве ГГ. Пусть /(х) ограничена снизу на ГГ, т, е.
/(х) > .4 > — оо длл всех х б Г/, Числа /, называется точной нижней гранью функции /(х) на множестве ГГ (/, = !пГ/(х)), если /(х) > /„ и при всех х б Г/ и длл любого е > О найдетсл точка х, б ГГ такал, что /(х,) < /. + е. Длл неограниченных снизу функций /(х) полагают /. = — оо, Если ГГ* ~ И, то /. = !пГ/(х) = /" = ш)п /(х).
и и Пример 1. Пусть /(х) = 1/х, ГГ = (1; +со). Показать, что множество ГГ" точек минигиума функции /(х) на множестве ГГ пусто и /. = = ьпГ/(х) = О. и < Предположим, что Г/" ф а, т.с. существует хотл бы одна точка минимума х* б Гг функции /(х) на ГГ. Возьмем произвольное число х > х".
Тогда х Е ГГ и /(х*) = 1/х' > 1/х = /(х), т.с. х* не является точкой минимума /(х) на Г/. Полученное противоречие и доказывает, что множество Г/* тачек минимума пусто. Покажеьб чта /. = !пГ/(х) = О. Очевидна, длл произвольного х б и Е (1; +оо) справедливо неравенство /(х) = 1/х > О. Далее, пусть е > О. Возьмем произвольное х, > шах(1/е, 1). Тогда х, б ГГ и /(х,) < е = = О+ е.
Поэтому /. = О. > П р имер 2. Пусть /(х) =!их, ГГ = (О; 1]. Найти /„= ьпГ/(х). и < Функция /(х) не ограничена снизу на множестве Ь', поэтому по определении~ точной нижней грани полагаем /. = — оо, ~> В случае ГГ* = И под задачей минимизации /(х) на множестве ГГ понимают определение /„= шГ/(х), полагал /" = /,. При этом точка и минимума х' не ищетсл. В задачах 17.6-17.11 убсдитьсл, что множество точек минимума функции /(х), заданной на множестве Г/, пусто, и найти Г, = шГ Г(х): и 17.6.
/'(х) =, Г/ = К. 1 17.7, /'(х) = 2тз — 9хд + 12х + 5, Г/ = ( — оо; 5). 17.8. /(х) = ха)их. Г/ = К. 17.9.,/(х) = вгсГд х, У = ( — оо; — Ц. 17.10. /'(х) = 18 х, Г/ = (-2; 2). 1 17.11. /'(х) = —, а) Г/ = (О; 1); б) Г/ = (1; +со), !цх' 17.12. Показать, что если юш /(х) существует, то !пГ Г(х) = и и = шшу(х).
и 1. Численные ь>етодь> минимизации функций одной пере>исииой 325 Сушествованис локальных минимумов функции х* Е У', отличных от абсолютного, почти всегда затруднлет поиск точек Г" [х), поэтому л>нагие приближенные методы минил>изации применимы талы>о тогда, когда любой локальный минимум > [х) явзпстсп одновременно и глобальным. Один из классов функций, удовлетворяюших атому условию, составллк>т уки,медальные р>фин>1ии. сйупкцип 1'[х) называстсп рпимодольной на отрезке [о; 6], если она непрс1ппвна на [о; Ь] и сушествуют числа а и >>, и < >» < 1> < 1>, такие, что: 1) сели о < о, то на отрезке [а; и] 1'[х) монотонно убывает; 2) если р' < Ь, то на отрезке [р'; Ь] Дх) монотонно возрастает; 3) при х Е [сс: >3] 1[х) = 1* = >и!и Дх). )са Ь! О тмстим, ч то возможно в>зр ождение в точку одного ил и дву х из отр езко в [о; а ], [ьц >>'] и [>3; Ь].
Некоторые варианты расположен и и и вырожден и и в точку от р саков монотонности и постоянства у нимодальной функции показаны н а рис. 1 8 †1 . о=)! Ь х а а ]! Ь х Рис, 18 Рис. 19 а о=б=Ь» а=.а Ь .с Рис. 20 Рис. 21 Инва>ество функций, унпмодальных на отрезке [о; 6], будем обозначать с,>[а; Ь]. 326 Гл. 17. 51стоды оптимизации Длл проверки унимодальностп функции э'(х) на практике обы шо используют слсдунпцис критерии: 1) если функция э"(х) диг(н)Усрсццируссма на отрезке [а: 6] и вроцэводная 1'(х) не убывает но этом отрезке, то 1(х) е Я[а; 6]; 2) ссяи функция т'(х) двансды дифференцирусма на отрезке [а; Ь] и Уо(х) > 0 нро, .т Е [а; Ь]., то У(х) Е Яа; Ь]. Пример 3.
Показвтго что фуш.цпл г"(х) = х' — 10хз + Збха + 5.г унимодвльна на отрезке [3; 5]. ~ Вторал производная ~))ункции г'(х) равна Г"'(х) = 12ха — 60х + 72. Корни полученного квадратного трсхчдсна хз = 2 и хэ = 3. Следовательно, уо(х) > О, ссди х > 3 и, в частности, прп х Е ]3; 5]. Используя второй критерий унимодальносги, получаем, что Г(х) Е Ц[3; 5]. С В задачах 17.13 — 17.16 убедиться в унимодальности функций у (х) на указанных отрезках [а; 6]: 17.13. у(х) = х~ — Зх + х1цх, [1; 2]. 17.14. у (х) = 1п (1+ хд) — зшх, [О; л?'4].
1 17.15. у(х) = †+ хз — 8х + 12,[0; 2]. 2 17.16. 1" (х) = -хт — ашх, [О; Ц. 17.17. Показать, что любая из точек локального минимума функции 1(х) Е 61[а; 6] лвляется и точкой ее глобального минимума. 16.18. Показать, что если )'(х) Е фа; 6] и а < с < П < Ь, то э'(х) Е Я[с; д]. 17.19. Пусть э'(х) Е 1с[а: 6] и а <;гй < хт ( (Ь.
Показать, что а) сели у(х~) > ~(хт), то гэ* с [тц, 6], а если ((х~) < у(хз), то У* С [ац хв],: б) если )(х~) = )(хт), то отрезок [эй, хз] содсрхгит хотя бы одну точку х' Е У*; в) если Дх~) < )(хт), то х" Е [а; хз], з при )'(эц) > Дхт) имеем х' Е [х~', 6], где х" — — одна из точек минимума у(х) на [а; 6]. 17.20. На какие 3 части следует разбить отрезок [ — 1, 2], чтобы на каждой из них функция у'(х) = ]]х(х — 1)] — 1] была унимодальной? 17.21. Найти максимальное значение Ь, при котором функция у(х) = — хт + 5х — б унимодальна на отрезке [ — 5; 6].
17.22. Будет ли функция у(х) = ахз — Зхд — 10 унимодальной на отрезке [1; 2] при а > 3? Большую группу приближенных методов минимизации функций составллют прямые мегподы минимизации, основанные на вычисления 5 1. Численные методы минимизации функций одной переменной 327 только значений минимизируемой функции в некоторых точках и не используюшце значений ес производных.
Метод перебора является простейшим из прлмых методов минимизации. Пусть у'(х) Е фа; Ь] и требуется найти какую-либо из точек минимума х' функции г(х) на отрезке [а; Ь] с абсолютной погрешностью е > О. Разобьем [а; Ь] на и равных частей точками деления х, = а+1(Ь вЂ” о)/и, 1 = О, 1, 2,..., и, где и > (Ь вЂ” а)]е.
Вычислив значения 1(х) в этих точках, путем сравненил найдем тоцэу х,„, длл которой у(х ) = эп1п 1(х;). (1) от<О<а Далее полагаем х" и х„„(* и у(х ), При этом максимальнал погрешность е„ определенил точки х' равна е„ = (Ь вЂ” а)/и. П р и м е р 4. Найти минимальное значение 1* и точку минимума х" функции 1(х) = ха + 8хэ — бхэ — 72х на отрезке [1, 5; 2]. Точку х' найти с погрешностью е = О, 05.
э у(х) е бе[1,5; 2], так как га(х) = 12х~ + 48х — 12 > 0 при х е [1,5; 2] (проверьте!). 2 — 1,5 Выбрав и = ' = 10, вычислим значения У(х;) = 1, 5+ 1 О, 05, 0,05 1 = О, 1, ..., 10, поместив их в таблице 1.1. Таблица 1.1 Из таблицы 1.1 находим х" -1,75, г"* — 92,12. > 17.23. Пусть 7'(х) Е Я[а; Ь], х — точка, найденная из условия (1), х* — одна из точек минимума у'(х) на [а; Ь]. Показать, что если 1 < т < и — 1, то х* Е [х 1;х ,1]; если т = О, то х Е [хо; х1]; если т = и, то х [х -1; х 17.24. Пусть отрезок [а; Ь] разбит на и частей точками х, = = а + (Ь вЂ” а)1]и = а + ех(, г' = О, 1, ..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
