341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Более общим способом построения разностных операторов, приближающих заданный дифференциальный, явллетсп метод неопределенных коэффициептиоа. Этот метод состоит в том, что приближается не каждая производная в отдельности, а сразу весь оператор. Длл замены дифференпиального оператора разностным в узле (х„„уп) рассмотрим йс соседних узлов. Узел (х, уп) обозначим индексом О, а остальные рассматриваемые узлы занумеруем числами 1, 2, ..., Х. Составим ли- М нейную комбинацию ~ ~опия с неопределенными коэффициентами сы я=о где иь — значение и(х, у) в узле /с.
Предполагая функцию и(х, у) дифференцируемой п + 1 раз, разложим иь по формуле Тейлора в окрестности узла О, Считая сетку квадратной (г = Ь), имеем Гл. 16. Уравнения в частных производных 310 Рис. 1б 2 Построим квадратную сетку Рв, т. е, выбираем шаг как по переменной х, так и по переменной у равным 6. В качестве соседних берем 8 узлов 8 (см. рис. 16), т.е. )у" = 8. Имеем линейную комбинацию ~ су42ь = ь=о (Си)о.
Разлагая иу по формуле Тейлора в окрестности узла О, будем иметь в 1и + УУ 62 + ~ххх 63 + 0(64) О /О УУ62 + УУУ 68 + 0(64) 2! 3) в /П + — **62 — — '*'68 + 0(64) У П/ + †"" 6 — †"" 68 + 0(6") и, = и(хо + 6, уо) = ив+ и',6 и2 = и(хо уо + 6) = ио + иУ6 из = и(хо — 6, Уо) = ио — и,' 6 и4 = и(хе, уо — 6) = ио — иу6 6.' иь — — и(хо + 6, уо + 6) = ио + и',6 + их 6 + — >(и,", + 2и,"У + и'„'У) + 2! 68 Учитываа, что 61 выРаа4аютсн чеРез су, имеем систсмУ УРавнений относительно сь, решив которую,мы получим приближение оператора Ьи а узле (гп, п): суиь = (2 и)о+ 0(6' 4).
у=о Система уравнений (10) относительно сь может иметь несколько решений, однако достаточно взять одно из них. Используя в случае необходимости достаточно большое число уалов 22', можно получить хорошее приближение Ьи в узле (тв, и). В задачах 16.118 и 16.119 построить соответствующие разностные операторы методом неопределенных коэффициентов. 16 118. Ьи = и", + 2и", + 5и,"„. Порядок приближения равен двум (шаблон указан на рис. 16). 3 3.
Приближенные методы решения уравнений 311 г ив — — и(хо —, Ро + 6) = ио — и' 6+ идЬ+ —,(и" — 2и"„+ и'„'„) + Ьз Ьг иг = и(хо — ", уо — 6) = ио — и',Ь вЂ” и'„6 + †,(и,", + 2и,"„ + и'„'„)— з Лг ив = и(хо + 6, уо — Ь) = ио + и~ Ь вЂ” и'„6+ —, (и,", — 2и,"„+ и„"„) + Ьз Додставим эти выраженин в (Ьи)о.. (Ьи)о Е ио(со + с~ + сг + сз + св + сз + св + сг + св) + + и'6(с, — сз + сз — св — сг+ св) + и'„6(сг — св + со + св — сч — св) + „Ь' Ьг +и (сг+сз+сз+со+со+св)+и (сг+с4+со+со+сг+св)+ 2и",, Ьз + — д6г(сз — св + сг — св) + — 'иии (сг — сз) + 2! 3( *** з з 3! Ьз з Ьз Гл. 16.
Уравнения в частных производных 312 Сравнивая коэффициенты при соответствующих производных, получим систему линейных уравнений длн нахождения сл, выбирая прн этом г + +у =3: со + с1 + с2 + сэ + с4 + С1 — Сэ + С2 — С4 + Сь+ Са С5 — Са + ст + сэ — от+ са С5 + Сэ С7 СН С4 + СЗ + С5 + С6 + Ст + Сэ С2 + С4 + Сэ + Са + Ст + Сз С5 — Св — Ст + СЕ С! — Сз + С4 + — от+ са Са — Са С5 + Сс Св — Сэ С5 + Са — с7 — са — Ст+ СВ С2 — С4 + — Ст — СЭ Систему уравнений (11) решаем 54етодом исключения.
Из последних четырех уравнений получим сэ — — ст, ст = с4. Используя эти равенства. из второго и третьего уравнения системы установим, что сэ = сэ, С4 = сз. Можно переписать систему уравнений (11) в следующем виде: со + 2сг + 2сэ + 2сь + 2св 2сг + 2с5+ 2са 2ст + 2са + 2са 2сэ — 2сэ С4 С2 — О, 2/Ь2 10/Ь2, 2/Ь2, О, О.
(12) Решая систему (12), получим следующие значения дчя искомых посто- янных: со — — — 2/Ь2 с4 = — 4/Ь2 с2 = О, сэ — — — 4/Ь2 С4 — — О, сэ — — 3/Ь2, са = 2/Ь2, С7 = 3/Ьт, сэ — — 2/Ь2. Окончательно длл узла 0 получим (ЕС7)о ( — 2ио — 4и4 — 4иэ + Зиэ + 2иэ + Зит + 2иэ), т.е. длп всех внутренних узлов сетки .05 имеет место формула (Елил)~,л = 2ит,л+4ит~цл+4ию цл— — Зил1ь4, лег — 2ит-К ль4 — Зи,л — ц л-4 — 2и„ь л.~-4 Порндо74 аппроксимации второй: т — 1 = и — 1 = 2. О, О, О, 2 Ь2' 10 Ьт' (11) 2 Ь2 ' О, О, О, О. 3 3. Приближенные методы рсшс'ния уравнений 313 16.119. Л!л = и,"„ + и,",. Порндок приближения равен двум (зпаблон указан на рис.
17). Рис. 17 Пусть, как и выше, йь = (йь(гп, п)) — решение разностной схемы, т. е, системы линейных алгебраических уравнений (4). Применение разностной схемы к решению краевой задачи (1), (2) оправдано, если величины йь(т, и) нвлнютсн приближенными значениями сеточной функции й(х„„уа), представляющей собой значения неизвестного решенин й(х, у) задачи (1), (2) в узлах сетки. Будем говорить, что разностнан схема (4) нвлнстсн сходящейся на решении й(х, у) задачи (1), (2), если при Ь вЂ” > О выполннетсн условие') !~~!з(хт, ув) — йь(гп, пП вЂ” > О.
Если дополнительно выполняется неравенство (13) бй(х, у„) — й!,(т, п)б' < АЬ', где А — константа, не зависящая от Ь, то говорит, что скорость сходи- мости имеет порндок а относительно Ь. ьеточнан функция й(х, ув), вообще говори, не нвлнетсн решением разностной схемы. Поэтому при подстановке ее в левую часть (4) получается выра>кение Ть(й(х, у )) = Уь + бУьм где буь называетсн иееязкой или легре!иностыо аппроксимации. Если бб7„'б -з О при Ь -+ О, то говорит, что разностнан схема (4) аппроксисиирует краевую задачу (1), (2) на решении й(х, у).
При вьзполнении дополнительного условии (4) Иь!! ( ВЬ', где С вЂ” константа, не зависящая от Ь, число и > О называетсн порядком аппр оксил!ации. Наконец, не менее вазаным свойством разностных схем нвлнетсн поннтие их устойчивости. Разностнан схема (4) называется устойчивой, ! ) Здесь и в дальнейшем будем считать шаги Ь и т зависимыми, т.е. т = = д(Ь). Гл. 16. Уравнения в частных производных 314 если существует такое !1о, что для всех !! < По и любых уь она имеет единственное решение и |~й~Д < с!1Ул!1, (15) где С вЂ” константа, не зависящая от 11 и правой части уь. Между рассмотренными понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует тесная связь. Теорема 1.
Пусть устойчивая разностная схема (4) аттроксимирует краевую задачу (1), (2) на решении й(х, у) с порядком аппроксимации о > О. Тоеда зта схема явяяетлся сходяи1ейся и порядок ее схвдимости совпадает с порядком аппроксимации. Пример 3. Для задачи Коши и', — и', = у'(х, 1), -оо < х < +со, 0 < 1 < Т, и(х, 0) = !р(х), — оо < х < +со, построена разиостная схема 1 1 т ' ' и (ит,пе1 ит,п) (итт1,п ит,и) Зт,п! т т О, х1,..., хМ; и т О, 1,..., (Т1'т) — 1, ит о —— !рт, т = О, х1, ..., хМ, где т = Л6 и постоянная Л < 1.
Определить порядок аппроксимации этой схемы и исследовать ее на устойчивость. З Сначала покажем, что построеннан разностная схема аппраксимирует исходную краевую задачу и определим порядок аппроксимации. Предполагая, что решение й(х, у) задачи Коши имеет ограниченные вторыс производные, по формуле Тейлора имеем 1 1 Ь ' ' Ь (йт-11,п йпз,п) = — (й(хт + й 1п) — й(хт, 1и)) = ! 11 й, (хт 1п)+ и , (хп!+4 1 ) О < с < !ь„ 1 1 (йт,п+1 йт,п) = (Цх!и, 1и+ т) й(хт 1п)) т т т -! т = й!(т., 1п) + — ип(Хт, Сп + О), 2 0 < и < т. 3 3. Приближенные методы решения уравнений 315 Учитывая соотношение т = Л)1., полу 1аем 1 -(Нт,пь1 Нт,и) (Нтж!,и Нт,и) = т ' ' л = (й,',(Х,„, сп) — й.',(хп„си)) + 11 — й,", (Х,„, 1п + т1) — -й,",(Хп, + С, 1п) '12 ' 2 бу — 11 ( ан(хт 1 + 11) ни (хт + 4, 1п) /Л -и (1 2 йп1, Π— 'Рт.
По йт о — У1 = О дли любого ти в силУ гРаничных Условий. ПоэтомУ норма Дуп, „оценивается следуюшим образом: 1 Л+ 1 (!6(,„„(! < шах — й1(хпм Ги+ и) — -ц,",(х+(, 1и) < ЬМ вЂ”, где М вЂ” максимальное значение вторых производных функции й(х, у) Л+1 в области В. Полагая здесь В = М, приходим к неравенству (14). 2 Следовательно, рассматриваеман разностнал схема аппроксимирует исходную задачу Коши и поридок аппроксимации равен единице.
(Конечно а1е, на решении й(х, у), обладаюшем ограниченными вторыми производными.) Отметим, что метод проверки свойства аппроксимации разностной схемы во многом повторяет метод определения порядка приблил1ения разностным оператором дифференциального. Теперь проведем исследование разностной схемы на устойчивость. Снова использу н соотношение т = Л11, перепишем исходную разностную схему в виде цппп.1.1 = (1 — Л)нт,п + Лнт1-1,п + Л11.1иь и цт,е ~Аи~ (16) где, как и выше, т = О, х1,..., хМ; и = О, 1, ..., (т((Л)1)) — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
