341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 43
Текст из файла (страница 43)
По условию Л < 1, поэтому 1 — Л ) О. В этом случае справедлива оценка И1 — л)ц ь + л,„( < (1 — л)(н,„(+Л(н 1,„( < < (1 — Л) п1ах((и,„(), Погрешность аппроксимации е7п, „= Хь(й(хпм уп)) — т" „, следовательно, принимает вид Гл. 16. Уравнения в частных производных 316 (!ип,+ц в!) + Лтах (!ит, и! !ит+ця!) = = таХ(!и,„„!, !и,„ак„!) < |наХ !ит,„!. -м«лг Используя эту оценку, из (16) находим: !и„„„+1! ( !(1 — Л)и,„„+ Ли,„+~ „! + ЛЬ! Ут „! ( < тах !и „! + ЛЬ!!ул!!, (17) -М<т(ЛГ где !!ул!! = шах!У „!. Правая часть неравенства (17) от т не зависит, т,я поэтому выполняется неравенство тах !ит,в+1! < тах !и„„! + ЛЬ!!ул!! (18) для любого и = О, 1, ..., (Т/(ЛЬ)! — 1.
Используя неравенство (18) для оценки первого слагаемого в его правой части, последовательно находим п1ах !и э 1!+ 2ЛЬ!!ул!! ( -м<п1<м п1ах !и,„„л !+ (Ь+ 1)ЛЬ!!Хл!! ( -М<т<ЛХ тах !и,а!+(и+1)ЛЬ!!Ул!! = -М<т<М тах !юв,/+ (и+ 1)ЛЬ!!ул!!, (19) -ЛХ<т<ЛХ тах !и „,.1! < -М<т<М ( так как и„, о = сэ из (16). Теперь заметим, что гпах !1э„,! < !!ул!! — ЛХ<т<ЛГ и !!Я! < !!Ул!!.
Полставляя эти неравенства в (19), получим тах !и,„л,! < (1+(и+1)ЛЬ)!!ул!! < -м«м ( (1 + (Т/ЛЬ)ЛЬ)Ял!! ( (1 + Т)!!Ур !!. Правая часть полученного соотношения от Ь не зависит. Следовательно, глах гпах !и,т„л1! < (1+Т)!!7л!!, О<в<(т~<ЛЛП-Э -ЛГ<т<ЛГ т, е. !! л!! < (1+Т)!!Ул!!, и мы получили искомое неравенство (15) (с С = 1+ Т), означаюшее по определению, что разностная схема устойчива при Л < 1.
з 3. Приближенные методы решения уравнений 317 Так как заданная разностная схема аппроксимирует ка решении исходную краевую задачу и устойчива, то при Л < 1 она является сходя!кейса и скорость сходимости по теореме 1 имеет первый порядок. !> 16.120. Доказать теорему 1. 16.121. Показать, что рассмотренная в примере 3 разностная схема неустойчива при Л > 1. 16.122**.
В области Р = ((х, у))0 < х < 1, 0 < у < 1') построить разностную схему первого порядка, аппроксимирующую первую краевую залачу для уравнения гиперболического типа д и д и ди ди уиь а — — б — +с —,+!1 — +Уи=у', а>0, 6>0, дхз дуз дх ду и~ = р(х)., — = !р(х), и~ = Ф(у), и! = г'(у) ди л=о 16.123*. В области Р из задачи 16.122 построить разностную схему второго порядка, аппроксимирующую первую краевую задачу. 16.124*.
В области Р построить разностную схему первого порядка, аппроксимирующую третью краевую задачу ди Ти=~, и~,,= (х), — =Фх), У в=о с ди /ди — + б!(У)и) = Ф(У), 1 — + бз(у)и = Р(у). дх ), ' '!,д* / х=1 16.125**. Построить разностную схему второго порядка, аппроксимирующую третью краевую задачу.
16.126*. Определить порядок аппроксимации разностной схемы задачи 16.117. В задачах 16.127 — 1б.129 для заданных задач Коши и соответствующих им разностных схем выполнить следующие задания: 1) Выписать разностный оператор Хь и правую часть 7"ь, возникающие при записи втой схемы в виде (4). 2) Нарисовать шаблон для разностного оператора Ьь. 3) Показать, что разностная схема аппроксимируег соответствующую краевую задачу с первым относительно Ь порядком на решении й(х, 1), имеющем ограниченные вторые производные. 4) Исследовать разностную схему на устойчивость в зависимости от значений параметра Л: т = Лб.
Гл. 16. Уравнения в частных производных 318 16.127.и', — и' = 1'(х, 1), — со < х < +со, 0 < 1 < Т, и(х, 0) = = р(х); 1 1 (ит, и-1-1 ит, и) я (игп, и ит-1, и) т т, п~ т т=О,х1,...,хМ, и о=!р, и=0,1,...,(Т/т) — 1. 16.128. и~~ + и'„. = у (х, 1), — со < х < +со, 0 < 1 < Т, и(х, 0) = = Ю(х); 1 1 (ит,пЧ-1 ит,п) + ~ (ит,п ит-!,п) — !т,1и т й т=О, х1, ..., хМ, и о=!р, и=0,1,...,(Т(т) — 1.
16.129. и', + и' = у(х, 1), †< х < +со, 0 < 1 < Т,и(т,, 0) = = !р(х); ит,п.!.! ит,п ит+!,п игпоп) 1т,п т= О, х1, ..., хМ, и, о = рт, и = О, 1, ..., (Тут) — 1. 16.130. Исследовать устойчивость разностной схемы из примера 1. 16.131. Исследовать устойчивость 11азностной схемы из задачи 16.112. 16.132.
Исследовать устойчивость разностной схемы из задачи 16.116. 16.133. Исследовать устойчивость разностной схемы 1 1 2т (ит,п1-! ит,п — 1) З(ит — 1,п 2иттп + ит1-1,п)1 т=0,1,...,М вЂ” 1, и=0,1,...,Л вЂ” 1, ипЬО ='Рт ит,1 = Фт, ис,п = им,п = О. 2. Численное решение краевых задач методом сеток. Все разностные схемы, применяемые при решении краевых задач математической физики, делятся на два больших класса — явных и неявных схем. Под слоем разностной схемы понимается совокупность точек сетки З, лежащих на некоторой горизонтальной (или вертикальной) прямой. з 3.
Приближенные методы решения уравнений 319 Ясли значения сеточной функции и пеы заданные на (и+ 1)-м слое, выражаются в явном виде через значения этой же функции на слоях с меньшими номерами, то такая схема называется леной. В противном случае схема называется неявной. Например, разностиая схема, полученная в примере 1, является явной, так как может быть записана следующим образом (см. выраже- ние (7)): атт ип1,п~1 = тит,п + — „.
(итэцп — 2ип|,п+ ит-цп) + утин и = О, 1, ..., я — 1; гп = 1, ..., т — 1, ипь о = рт, тп = О, 1, ..., т, иоп — — Я(1п), та=1,2,...,в, и„п —— фт(1п), гп т 1, 2, ..., ж Решение получающейся системы линейных алгебраических уравнений трудностей не представляет и осуществляется последовательно, переходом от слоя к слою. Сложнее обстоит дело с неявными схемами (как в задаче 16.112,например). Для решения соответствующих им систем уравнений удобно применять гзетод прогонки, т.е. модифицированный метод исключения для решения системы линейных уравнений. Суть этого метода разберем на основе неявной разностной схемы для уравнения теплопроводности (см. задачу 16.112).
Введем обозначения атт 2атт ат,п+1 = бт,п+1 = 1+ —, дпп,+1~ = ип, 1+ т)т,п+Г. (20) 62 ьт Разностную схему из задачи 16.112 перепишем в виде ио,п = Ф~,п, ат, пт1 ит ц и+ г + бт, пипп пью + ат, пЧ т итз ц пьг — дт, и+ ы (21) иь птуухп, п=О,...,я — 1, ит,о = уэт, Система уравнений (21) при каждом фиксированном значении и совпа- дает с системой апи,, + Ьпип+ с„и.ьг —— дп, п = 1, ..., Ж вЂ” 1, (22) интф, для которой справедлива следующая 320 Гл. 16. Уравнения в частных производных Лемма. Система уравнений (22), коэуьдьициентьь которой удовлетворяют неравенстоам )Ь„) > 1+ )а„!+ (с„), разрешима при любьж правых часпьлх, и длл ее решенил справедлива оценка )и( < шах()эв(, (дь(, ..., (д„ь(, ф).
Для системы (21) условия леммы выполнены. Систему уравнения (21) удобно решать с помощью метода, который называется методоль прогонки. Будем искать решение системы уравнений (21) при каждом фиксированном и в виде иьи-! и!.! = ььььл п!.1ит,лв1 + Ни ив! ь т = ьь ... ь 2. (23) Исключая и,„! иэ! из системы (21), получим а,п иь! ит, п.гь— ипь-Ы, М-1 + аль, ив1ьгт, пь1 + бт, и-ь-! + дьл, и-!.1 аьл, и-ь-1Нт, и-1-1 аини~ЫЯ,„~Ы + б„п„.гь ' СООТНОШЕНИЕ (24) СВЯЗЫВаЕт ЗиаЧЕНИЯ фУНКЦИй и,и иэь, и ~1 иЫ, ПО- этому можно записать и,„,и.„! = Сд +ь,пь.ьи .~ь,пч.ь + Н.„, „,, (25) Сравнивая соотношения (24) и (25), имеем ат,пеь Ят-11, и-ь-1 = ььт, иэ1 ьгль, и ! 1 + бт, и ! ! (26) д„, иь! — О п.ььН т-ь-ь, и-ь-! ат, л-гьЬиЬт, иьь + бпь, и-1-1 Соотношения (26) определяют значения всех прогоночных коэффициентов Я,„, Н,„,и.
С помошью этих соотношений сетка проходится вверх по т от значения 1 до значения Й вЂ” 1 при фиксированном значении и. ПРи этом опРсделЯютсн все значеннЯ Сдт „, Нилл на сспье (пРЯмаЯ прогонка). Определив все прогоночные коэффициенты Я „, Ни, „, проходят сетку вниз от значения й до 2, последовательно определяя значения ип,,и из уравнения (23) (обратнал прогонка). Граничное условие прн т = 0 определяет начальные значения Яь „.ы, Н! иеь, а граничное условие при т = Й в обшем случае определяет первое значение ия. Метод прогонки обладает тем свойством, что ошибки округления, получаемые на каждом шаге, не нарастают. Это свойство служит основанием ее широкого применения. 16.134**.
Определить начальные значения прогоночных коэффициентов и значение иь для решения параболического уравнения З 3. Приояиженные методы решения уравнений 321 в случае граничных условий ь ди 1 / ди с21 — + р1и~ = Фн (аг — + Аи = Фг. В задачах 16.135-16.147, используя разобранные выше разностные схемы, найти приближенное численное решение: дги дги 16.135. 2 —, — 2 — — 1хг = О, Р = ((х, 1)(0 < х < 2, 0 < 1 < дхг <Ц,и~, о — — х, — =зшх,и~ =е — 1,и~ =4соз1. с=о дги дги 16.136. — — — — 8ху = О, Р = ((х, у) )О < х < 1, 0 < у < Ц, дхг дуг ди и(0, х) = х, и(0, у) = у, — (х, О) = О, и(1, у) = 1 — у.
у 16.137. и... — 4и, = ху, Р = ((х, у))0 < х < 2, 0 < у < Ц, .2 и) о= х'+1, и,'.( -о — +6, и~*=о — з1ву+1 и~*=2 — бсоьу. О, Р = ((х у)(0 < х < 1 0 < 16.138. и „вЂ” 4脄— ху = <у<Ц,и~ =хг, и=о ду /ди = 8х — 2, ( — +уи~ = уг, (,дх з ди — +уги~ =5уз+4у 16.139. и — 4и,„= е*", Р = ди Ц,и~ =4х+5, — =1, и=о ' ду и=о ((х, у))0 < х < 2, 0 < у < с ди — + зшуи = 5у, дх ' /,о — + узи = сову. д2,и — 2 —,г — х = О, Р = ((х, у))0 < х < 2, 0 < у < Ц, д г и~ = сову, и~ = з1пу.
~т=е ' ~х.=г 16.140.— ди ду ! -о Задачи 16.140-16.143 решить, используя явную или неявную схемы: 322 Гл. 16. Уравнения в частных производных ди ди 16.141. — — 2 — + 1 = О, Р = ((х, у))0 ( х ( 1, 0 ( у ( Ц, х у /ди и1х, 0) =хч,и~ =еЯ", ~ — +и =О. / =о 16142. 4ил — 2и +хй = О, Р = 11х, С))0 < х < 2, 0 < 1 < Ц, ~4.=, ди д2и 16.143. — = — + 8х214, Р = ((х, 1))0 < х < 1, 0 < 1 < Ц, ' д1 дхз и~, о — — з1пнх, ~ — — 0,5и) = О, ~ — +0,5и = О. Решить следующие задачи Дирихле: 16.144.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
