Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981) (977987), страница 24
Текст из файла (страница 24)
10.8). Резонансные частоты такого резонатора 1121 определяют как решения уравнения ' (10.13) С ВрС„ Здесь г., — волновое сопротивление коаксиальной линии передачи; с — скорость света; С вЂ” емкость конденсатора, на который нагружена линия. Если линию передачи свернуть в кольцо, то образуется резонатор бегущей волны. Резонанс здесь наблюдается при условии, что длина резонатора Г равна целому числу длин волн в линии, откуда колебание типа Е„„ е» 1а» К= — ' 4 (10.21) колебание типа Н,О1 К =0,316е, Е',„аЧ, (10.22) колебание типа Н„„ %' = 0,749е, Е,»„»„аЧ.
(10.2Я Добротность обммного резонатора определяют как отношение энергии электромагнитного поля, запасенной в резонаторе, к энергии, теряемой за период собственных колебаний: вр 1» ) 01»»У » ~~о,~ааз (10 24) Для колебаний типа Н„, в прямоугольном резонаторе 1» аЬ1 (а*+ 1») (10 25) 2й» <Р(1+2Ь)+Р(а+2Л) ,Побротность важнейших типов колебаний в цилиндрическом резонаторе рассчитывают по формулам: колебание типа Е„, д ~~~ Ра (10.26) 2йз а+1 колебание типа Е„„ Ир Ра Я= — —, 2йз 2а+1 (10.27) колебание типа Н„, эра» о'р»1»» а» е 1а» (10.28) а» ° 2"з 1»» — +а»вЂ” а 1» 135 где Е,„— максимальная амплитуда напряженности электрического поля в резонаторе. В цилиндрическом объемном резонаторе энергию, запасенную колебаниями различных типов, вычисляют по следующим формулам: колебание типа Е„, К = 0,423е» Е~ваха~1, (10,20) колебание типа Н,п Л 1 — — р'+ (10.29) 2 ц + — + 1 —— Хафиз.% Фв в,г д1 'ви~в 1в г (10.31) В формулах (10.24) — (10.29) учитываются лишь потери в металлических стенках резонаторов.
Если резонатор заполнен диэлектриком с потерями, то результирующая добротность 1 гв (10.30) Ы где ф, — добротность резонатора, облав дающего лишь потерями .в металличе- ских стенках; 1н б, — тангенс угла но- г г терь вещества, заполняющего резона- г тор. гв В оптическом и инфракрасном диаФв назонах применяют открытые резонавв торы, образованные ' двумя плоскими или сферическими зеркалами. В таких резонаторах существуют собственные электромагнитные колебания (моды) ~ в вгв гв ~в Т „д, где индексы и, п, означают число вариаций поля в поперечных направлениях, а индекс р — число вариаций поля вдоль оси резонатора.
Основной является мода Т„р. Добротность открытых резонаторов определяется потерями в зеркалах и дифракционными потерями: 2д1 1 Л„1 — Д+,д„ф ' где Я вЂ” коэффициент отражения от зеркала; ад,ф — относительная потеря мощности сигнала вследствие дифракции за один проход вдоль резонатора. Дифракционные потери характеризуются волновым параметром й = се!(й), (10.32) где а — радиус зеркала; 1 — расстояние между зеркалами. Благодаря меньшим дифракционным потерям наибольшее распространение получили конфокальные резонаторы, образованные зеркалами, радиус кривизны которых равен длине резонатора 1. На рис.
10.9 приведен график зависимости дифракционных потерь для основной моды в резонаторах с плоскими 1 и конфокалъными 3 сферическими зеркалами. При больших У для расчета дифракционных потерь могут быть использованы приближенные выражения: адифтоезой е — для резонатора с плоскими зеркалами, а ф т 10,9.10 (10.34) — для резонатора с конфокальными зеркалами. Резонансные частоты колебаний типа Т „,, в конфокальных резонаторах = — (1 + 2р+2т+ и) (10,35) где с — скорость света. Поперечное распределение поля основной моды Т„р в конфокальном резонаторе описывается гауссовой функцией Е = Ае-~~™ соз ~р, (10.36) ф 40,2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 10.1. Прямоугольный обьемный резонатор имеет следующие размеры: и = 20 мм, Ь = 25 мм, 1 = 30 мм.
Определить резонансную длину волны двух низших типов колебаний. Как они обозначаются Р е ш е н и е. В прямоугольном резонаторе низшими могут быть колебания типов Н„1, Но„и Е„~, у которых один из индексов равен нулю, а два других — единице. Определим резонансную длину волны этих типов колебаний. Запишем формулу для резонансной длины волны: Л = с/~„= с 2я/ар, (10.37) где с = 1/)/ р,е, — скорость света. Подставляя в (10.37) выражение (1О.1) для вр, получим Л— (10.38) Мт/а)'+ (и/ЬР+ (Р/1)' Подставляя численные данные, найдем резонансные длины волн для указанных типов колебаний: Н,щ ЛР = 3,328 см, Н<ц~ Лр = 3>841 см, Е„о Лр = 3,123 см.
Таким образом, основным является колебание Н 1, у которого значение Лр наибольшее, за ним следует колебание Н„. 10.2. Цилиндрический реаонатор диаметром 6 см и длиной 5 см заполнен диэлектриком и параметрами е' 2Д 1еб, = 2 10-'. Материал стенок — медь. $37 где аР = й/и, — на поверхности зеркала; ыР = /Л/2ж — в середине резонатора (в фокальной плоскости). Высшие моды конфокального резонатора имеют значительно большие дифракционные потери, чем основная мода, что приводит к само- фильтрации основной моды. Какой тип колебаний в резонаторе является основными Найти резонансную частоту, добротность и полосу пропускания резонатора на этом типе колебаний.
Р е ш е н и е. Основным колебанием типа Е в цилиндрическом резонаторе является Е„, с резонансной частотой Основным колебанием типа Н вЂ” Нш с резонансной частотой Нетрудно убедиться, что Моь ' ~,рц ' ~~ а или 2 ф — 658 кГц. 10.3. Определить предельную энергию, которая может быть накоплена в коаксиальном резонаторе (см. рис. 10.3) с размерами И = 10 мм, 0 = 40 мм, 1 = 80 мм на основном типе колебаний.
Максимально допустимая напряженность электрического поля 30 кВ/см. Р еш ен и е. Электрическое поле основной волны в коаксиальном резонаторе имеет только радиальную составляющую Е„= — з!и — "' где А — некоторый коэффициент. Подставляя выражение (10.39) в (10.18), найдем энергию, запасенную в резонаторе: (10.39) К= —" е, А~'7 !и —. 2 д Максимальная напряженность электрического поля согласно (10.39) существует в середине резонатора на поверхности внутреннего проводника, т. е. при г = Ю2. Ее значение равно 2А Е тая (10.40) Поэтому основным является колебание типа Е~„„для которого ар — — — ' — — 1,52*10'* рад/с, ! 2,405 Ухаба Й * " =242 ГГц 2л Рассчитав добротность по формулам (10.26) и (10.30), получим 1'! = 3680.
Полоса пропускания резонатора 2 Ьв = врй~ = 4,13. 1У рад/с откуда А= — Е,„. (10,41) Подставляя (10.41) в (10.40), получим формулу для расчета запасенной энергии: К= — е Е',„с1'11п— й 1 (10.42) Н„=~ае,С вЂ” з!п —" соз —" соз Нд = — /иаа С вЂ” соз — з1п — соз Подсгавив эти выражения в (10.29), получим ~(н'+нъ) а 0>р иа ~2з 1( О, ~ н5 (10.43) !39 или после численных подстановок Ю = 0,3466 10-' Дж. ! 0.4. Кубический резонатор со сторонами 3 см работает на колебании'типа Е„д. Найти резонансную частоту этого колебания, изобразить картину силовых линий поля и определить добротность резонатора, считая, что его стенки выполнены из меди.
Р е ш е н и е. Резонансная частота колебания типа Е , в соответствии с формулой (10.1): 1р = ар/2л = 8,66ГГц. Картина силовых линий поля колебания типа Еш в резонаторе определяется картиной силовых линий поля волны типа Е,~ в прямоугольном волноводе (см. рис. 7.4). Сначала изобразим картину электри- У ческих силовых линий так, чтобы . н получилась одна вариация поля вдоль оси г и выполнялись граничные условия на торцовых стенках резонатора.
После этого можно изобразить картину магнитных си- . Х ловых линий так, чтобы максимум напряженности поля наблюдался в Рис. 10.10 сечении резонатора, где поперечные составляющие электрического поля равны нулю, т. е. при г = 0 и г = а. В результате получим картину силовых линий поля, изображенную на рис. 10,10. Чтобы определить добротность резонатора, воспользуемся выражениями для составляющих вектора напряженности магнитного поля Вычислим интеграл в числителе выражения (10.43): ааа ) )Н,'+Н„')ее' — ) ) ) !Н,'4-Не12ефНе=1ие,С вЂ” 1 — 110 44) о.о о Интеграл в знаменателе выражения (10.43) берут по всей поверхности резонатора и разбивают на шесть частей: интегралы по четырем боковым поверхностям (х = О, х = а, у = О, у = а) и интегралы по двум торцовым поверхностям (г = О, г = а). Вследствие симметрии поля ин- а) Рис.
10.12 Рис. 10.11 тегралы по каждой из боковых поверхностей равны друг другу, поэтому достаточно вычислить один из них. Например, интеграл по поверхностиу = 0: О О 1Н ~е45= ) )' 1Н,1е4еде=(ие,С е ) —, З1оииО) 2ииО 2=0 интеграл по торцовой стенке (г =' О): а О )Н,1е42 1 ~ 1Н,'+Не)4е42=(ие,С е )' е З(2=0) 2=0 О~ О Суммируя результаты, найдем значение интеграла в знаменателе выражения (10.43): 1Н 1е42=(ие С вЂ” 1 2ее (10.45) й / Подставляя (10.44) и (10.45) в (10443), получим формулу для расчета добротности: (10А6) 8йз 8 согласно которой 9 10 470.
10.5. Обьемный резонатор представляет собой кольцевую полость, сечение которой изображено на рис. 10.11. Размеры резонатора: В =60мм,И=ЗОмм,1=20см. Какой тип колебаний в резонаторе является основнымг Изобразить картину силовых линий поля и найти резонансную частоту. Р е ш е н и е. В рассматриваемом резонаторе низшими типамн являются юлебания, имеющие наиболее простую структуру поля. Это 140 (10.48) Решение этого уравнения, записываемое в виде Е,=С,Зо фг) +Со Уо(рг), (10.49) должно удовлетворять граничным условиям Е,~.-1уо =0 и а,Д, щам=О. Подставим решение (10.49) в граничные условия (10.50)1 Сь.~о ~ — +СзУо ~ — =О, С~У Р 2 +СаУо Р 0 Исключая С и С„получим трансцендентное уравнение для опре- деления р: Хо ~ — Уо ~ — —.1о ~ — Уо ~ — =О. (10.51) Значения корней уравнения (10.51) можно найти по таблице в спра- вочнике [71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
