Сборник задач по ТОЭ_Ионкин (976477), страница 34
Текст из файла (страница 34)
—,:,:::,:::::;,,Р~ц «в малом,> в том случае, если все дейКбве утельные корни и действительные час~и комплексно-сопря""':~х корней отрицательны, т. е. все свободные составляющие '~чением времени затухают. В частности, в цепях первого ,'Орого порядков состояния равновесия устойчивы, если все ":фициенты характеристического уравнения положительны ""."ого знака). 1 м ~~ Б~~ у1У И О 2. б Й. — >~٠— с ~М Рис. 14,А Рис. 14.Б -;:м ';--''::-:-;- -:Для цепи третьего порядка с характеристическим урав- Й Р + й~р + О~р + йо = О ие равновесия устойчиво, если все коэффициенты по- льны и дополнительно выполняется условие а,а2 > аза~.
я сравнительно простых цепей характеристические уравпроще составлять ПО методу Входного сопротиВления =О~, В частности, для цепей с обратной связью или мьцми источниками входное сопротивление можно найти, в в одну из ветвей цепи независимый источник ЭДС вычислив входное сопротивление по формуле У.,Ф) = е ФИ0), (14.3) -,, ТОЯН "."'~ы (Р) ~~~(.'-"=,Й' ОСИ ~М~''': -:.(Р) и '-;-"! Г~, -'---":=':::::: КОТОрь .,''= (Рис. 1 -'-';-'::,'-::::-:::; УСТОЙ ; ~„-'.;:::-;;:— ::-,':И" 'ИНД :::::-::,-;-'-:-=:н'мею (р) — ток этого источника. ля упрощения вычислений источник Е(р) рекомендуется чать последовательно с зависимым источником.
ли цепь содержит только резистивные элементы, среди ~х есть элементы с Х- (рис. 14 А) или Б образной 4.Б) вольт-амперной характеристикой, то при анализе чивости необходимо учесть емкость С„включенную паьно элементу с Х-образной характеристикой ~рис. 14.А), уктивность Ь, включенную последовательно с элементом, щим Я-образную характеристику (рис. 14.Б). Спадающий 441 у асток характеристик, соответствующий отриц ~тельному д ференциальному сопротивлению, приводит к неоднозначно по напряжению (рис.
14.Б) и току (рис. 14.А). Изображение переходных ироиессов на фазовой плоскосип На фазовой плоскости, координатами которой являются некоторая переменная х и ее производная ах/й = у (рис. 14.Й), состояние цепи определяется изображающей точкой и линиями, вдоль которых движутся изображающие точки„— фазовыми траекториями и их совокупностями — фазовыми портретами, ~М ~'»+1 Рис. 14.Г Рис, 14.В Через каждую регулярную точку плоскости может проходить только одна траектория, пересекаться фазовые траектории могут только в особых точках, которым соответствуют устойчивые и неустойчивые состояния равновесия. Периодическим процессам в электрических цепях на плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории — предельные циклы.
Основные свойства фазовой плоскости: 1) Движение изображающей точки в верхней полуплоскости, где Их/Й > О, может происходить только в направлении увеличения переменной х, а в нижней полуплоскости, где ах/Й < О, только в направлении уменьшения х. По замкнутой траектории— предельному циклу — движение возможно только в направлении движения часовой стрелки. 2) Изображающая точка может пересекать ось абсцисс х только под углом л/2. 3) Особые точки могут находиться только на оси абсцисс как точки состояния равновесия, определяемые из условия Нх/й = О.
Для построения фазовых портретов часто сначала определяют положения особых точек и находят фазовые траектории в окрестности этих точек. При этом фазовые траектории нелинейных цепей рассматривают по малым отклонениям от ний равновесия, полагая, что цепь линейна. Вид фазовой ории в окрестности состояния равновесия определяется особых точек, т.е. корнями характеристического урав- У оя У,-(') , Рлн 1-' «ь -::.."'ДО Э '.";",'"."~л« ,',.'-,'::::::ВЙЛ ;«~':~:':.'~Я д = — 1п(а+ Ьх) ~„" а+Ьх Ь х» учитывая значения ординат на границах к.-го интервала у»+1 (рис.
14.Г) и значения Ь = (у»+~ — у»)4х»+, — х»), (14.4) У»+1 у» У» я. Для цепи с одним независимым накопителем (характериское уравнение первой степени) возможна особая точка узел. Узел может быть устойчивым, когда корень р < О, устойчивым, когда р > О. Для цепи с характеристическим уравнением второй степени ожны особые точки: 1) Узел при действительных корнях 2 одного знака; если р, < О и р2 < Π— устойчивый узел, и р, > О и р, > Π— неустойчивый. 2) Фокус при комплексопряженных корнях р,, = и +,а~~; если а < Π— устойчивый с (колебания затухают), а если м > Π— неустойчивый бания нарастают).
3) Седло при действительных корнях р2 разного знака (неустойчивая особая точка). 4) Центр мнимых корнях р,, = +„ко~ (незатухающие колебания). Переход от полученного решения на фазовой плоскости к зависимости х(~) с учетом зависимости у = а4й выяется при помощи соотношения ах~у (х). х (О) Существует взаимное соответствие между прямыми линияна фазовой плоскости и экспоненциальными временными симостями. Изменению переменной во времени по гармоскому закону соответствует движение изображающей точки ллипсу или окружности на фазовой плоскости. Зависимость искомой переменной от времени может быть учена с применением приближенных вычислений по интерам. При этом фазовую траекторию у(х) на к-м интервале ду точками х» и х»+, заменяют отрезком прямой у = Ьх (рис. 14.Г) и находят интервал времени, необходимый вижения изображающей точки на к-м интервале, -"»+ ~ Выражение (14.4) ел ( .
) ц есообразно применять, когда движени изображающей точки ение мер, в с чае щ " очки определяется отрезками прям ых, напри- лу релаксационных колебаний. Временная зав мость и и этом р определяется отрезками экспонент, енная зависи- Метод усреднения Метод усреднения при решении многих задач по существ совпадает с мето ом ву применяется и и д м медленно меняющихся амплиту . О р расчете переходных и установившихся п оцессов в элект ических р х цепях, обладающих фильтрующими ихся прои резонансными свойствами для основной га моник часто достаточно а и гармоники, причем о рассмотреть только основную гармонику, а высшими гармониками пренебречь. Дифференциальное уравнение неавтономной ц й цепи с источ- Д или токов и двумя реактивными элементами можно свести относительно некоторой переменной нной х к виду й2Х1й2 + а2х = бах, йх1й, 1) где е — малый па амет — р р, определяющий близость закона изменения переменной х к гармоничес кому; ~ — функция, определяемая нелинейными характеристиками эле элементов цепи.
Точность метода тем выше, чем меньше параметр я, т.е. чем ближе колебания к гармоническим. При решении конкретных задач часто парамет е не выносится, а близость к ь к гармоническому закону определяется аметр 8 не малостью значений коэффи фф циентов правои части или другими соо ражениями, например данными эксперимента Решение диффе ен :фф р циального уравнения ищется в виде х = а (~) сов ~; ахай = — а(~) а яп ф, (14.5) где = а~ — ~р «~) — полная фаза.
При этом уравнения установления амплитуды а = аф и фазы ~р = ~р(~) переменной х, или укороченные уравнения, имеют вид: аа — „~(а сои ф, — аа я~п ~ «),;и ~„~~, йр а й 2 ~~ " '"Ф ~) ФиФ (14.ы) Малый парамет я в р р правои части указывает на медленные изменения ампли туды а и фазы ~р. Поэтому при интегри- 444 в течение периода (усреднении) амплитуда и фаза нтегральных выражениях принимаются постоянными. и решении задач можно вместо времени ~ ввести безое время т = а».
:Автоколебания ',,",:::::::=Ре С ' ',лн.яе ;-".~!;::-;.:-.';,'-: Пр " тат ф анейн от ;" авне "'амеба ;".' в, , "1пол ''-" оеар ,-;-~ние Со --.".,:.'::~~спи с ~",,",'::,'$$~ и а ,.'-:='.~а ур Численные методы интегрирования '„:.,'.;:;::.:,:.,;:::;:.;;::менны и расчете нелинейной цепи с применением метода пере- х состояния составляется система, например, и диффе- льных уравнений, каждое из которых имеет вид: лаксационкые или почти гармонические автоколебания возникнуть в нелинейной цепи с элемен.гами, имеющими щий участок вольт-амперной характеристики, или в цеобратной связью. счет генераторов релаксационных колебаний часто вытся методом кусочно-линейной аппроксимации. и расчете генераторов почти гармонических колебаний очно учесть основную гармонику.
На первом этапе исания таких генераторов полагают, что амплитуды (отльно состояния равновесия) малы и цепь можно считать ой. В линейном приближении находится условие возбужколебаний из условий устойчивости и определяется а по мнимым составляющим корней характеристического ния, и линейном приближении нельзя определить амплитуду ний, Для определения амплитуды в установившемся е необходимо учесть нелинеиности характеристик элеменкоторых нелинейность проявляется наиболее сильно.
счет амплитуды и частоты автоколебаний может быть нен методом усреднения или методом гармопической изации. При расчете методом гармонической линеаризачитывается только основная гармоника и возможно прие комплексного метода. При этом принимается во внизависимость эквивалентных параметров пелинейных элеот амплитуд переменных величин, определяющих не- ость характеристики. ставив характеристическое уравнение ~7,„(р) = 01 для эквивалентными параметрами, можно определить частомплитуду установившихся колебаний, решив совместно авнения: Ке ~У,„(~в)~ = О; 1т ~У,„(ув)1 = О. (14.7) Сопоставить полученный результат с зависимостью и, ® в случае, если магнитопровод не будет насыщать 14.5 СЯ, .5.
Конденсатор емкостью С = 12 мкФ заряжен жения У =1 В. С вЂ” аряжен до напря- момента ~ = О конденсатор разряжается через диод, вольт-амперная характеристика которого аппроксимирована зависимостью ~ = Йи2, где Й = 10 мА/В2. Определить методом анали~ической аппроксимации время разрЯдки кОнденсатора до напряжениЯ, равного 0,5 В, Найти это же время методом условной линеаризации, Ь7 Рис, 14,4 Рис. 14.6 14.6. Оп е р делить ток ~ во время переходного процесса в цепи рис. 14.6,а. С = 5 мкФ и в Дано: ток источника 3 = 10 мА, емкость конденса — нденсатора мкФ и вольт-амперная характеристика диода (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
