Сборник задач по ТОЭ_Ионкин (976477), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Г2(р) = рГ,(р), то ) . ~'1 (О) ~'1 0ъ) м рГ (р) ' Г,(О) р~Г'з(р) ;-У(~) = + —, е (8,12) Если многочлен Г, (р) имеет и пар комплексных сопряженных корней, то — ' —.='~(~) = 2 Ке,' ~ Р" ~'2 0~) (3.13) 263 И ПРИ од~~м нуЛСВОМ КОрне ~ (Р) ., ~,(О) Примеры применения теоремы разложения приведены в задачах 8,94, 8.96, 8.97. 2. П рименение метода неопределенных коэффициентов. Пример дан в решении задачи 8.92. 3. Применение таблицы соответствия оригиналов и изображений (см.
приложение 2). Для расчета переходного процесса при воздействии на электрическую цепь источников на~гряжения или тока произвольной формьг можно применить формулы Дюамеля. Ниже приведены четыре наиболее часто применяемые формы интеграла Дюамеля, где Ь(г) — переходная функция, т. с. реакция цепи на единичный скачок входного воздействия, х(~) — входная величина (воздействие), уф — искомая величина (рсакция цепи на воздействие). Первая форма записи интеграла Дюамеля при непрерывном воздействии х(~); у(~) = х(О) 6(~) + ~х'(т) Ь(~ — т) дт, где х'(т) = Йх,1д~) '( ) = ах/Й~„„' при различных законах воздействия хг (~) и х2 (~) в интервалах времени О < ~ < ~г и ~ > ~, у(~) = хг (О) Ь(~) + ~х'г (т) 6(~ — т) дт; (8.,15а) у (~) = х г (О) Й (Г) + ~ х', (т) й (~ — т) ~Й + + Г.
(~ ) — х Р4Ь(~ — ~,)+ ~х',(т)Ь(~ —,)~, и аналогично при большем числе интервалов. Вторая форма записи интеграла Дюамеля: у (~) = хг (О) Ь (~) + ~ х', (~ — т) Ь (т) й' у(~) = хг (О) Ь(~)+ ~ х', (~ — т) Ь(т) А+ Третья форма записи интеграла Дюамеля: у (й) = хг (й) Й (О) + ~ х, (т) Ь' (~ — т) дт; (8,17а) 11 ~г) = х, (~) Й(0) + )' х, (т) ь' ~~ — т) ()т+ ) ~,(т) Й'(~ — т) ()т.
~8.17б) Четвертая форма записи интеграла Дюамеля: у ~~) = х, (~) Й (О) + ) х, (~ — ~) Й' ~т) Ит; у(~) = х2(~) Ь(О) + ~ х, (~ — т) Ь'(т) дт+ (8.18а) х (~ — т) Ь'(т) Ит. (8.186) При переходе от электрической цепи к расчетной схеме последней могут в результате коммутации две (или более) мкости с разными начальными напряжениями оказаться соединенными параллельно или две (или более) индуктивности разными начальными токами оказаться соединенными поледоватсльно. В этих случаях независимые начальные условия определяются из соотношений: для двух параллельно соединенных емкОстсй (С1+ С2)и(О) = Сгиг (О )+ С~и2(О ); (8.19) для двух последовательно соединенных индуктивностей И +~- )'(О) =~А(О-)+~А(О ). (82О) При решении задач методом переменных сосвояиия уравнение состояния записывается в виде х = Агх+ Вр, (8,21) (8.22) где х и х — столбцовыс матрицы размера л х 1 переменных состояния, в к~~естве которых выбираю~ся напряжени~ на смкОстЯх и тОки в индУктивнОстЯх и их ПРОизводныс; Аг— '.
квадратная матрица порядка и; Вг — матрица размера л х ц, причем а равно общему числу источников ЗДС и тока; ~— столбцовая ма~рица размера а ~ 1 напряже~ий исто~ников ЭДС и ТО~О~ ис~о~~и~ов тока. ЗЛСМСНТЫ МЯТрИЦ А1 И Вг ОПреДСЛЯюТся ТОЛько Параметрами схемы и сс тОполОгисй. К (8.21) необходимо добавить еще уравнение для выходных переменных: у = А2Х+ В2У, Характеристическое уравнение ЬР+1 = О имеет один корень р, = — 1/Ь= — 100 с '. Ус~ановившегося тока после коммутации нет (диффс енциальнОе уравнение для тОка О ИО и нет (дифф~рентока однородное), поэтому репюние Внения ( ) представим В Виде 1 = Ае"', (2) ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ решение 2 и и ~ пОстОЯннои интегрирОВани А я запипем ( ) ри ~ = О, т. е. начальное значение: 1(О) = А. П кОну КОммута и т — 6 зау ци ок в индуктивности не изменяется скачком Таким Об аз Ом, ток В обмо~ке возбуждения 5,-1ОФ А Рис.
3,2 Рис. 8.3 8.2(Р). Для буждения элект ). Д ускорения процесса спада тока в б О МОТКЕ ВОЗ- жтрическои машины с параметрами У. 1 ее соединяют без раз ыва епи р а цепи к резистору с сопротивлением ~1 Найман тОк 1' и на спа пряжение и на обмотке.
Вычисли р ить время ег ада тока до значения равного 5" „начального„сравнить о с временем ~2 спада в случае г1 — — О. Дано: Е = 40 В; Х, = 1 Гн, 1. = 1 Ом; 1.1 —— 10 Ом, Решение, То Ок В индуктиВКОсти ДО кОммутации 1(О ) = Е/1. = 40 А. Дифференциальное уравнение для тока после ОДНОРОДНОЕ: сле Коммутации Й +(1 +Г1)1=0, Й Характеристическое ураВнение ~' р + (1 + г1) = О Орень „, = — (1 + г,)/Ь = — 11 с ";.~~М(- В "",-:~';:::::::::::::::-:;:,' ПО ,1,.:.
На дем ажние однородного дифференциального уравнения запивиде 1=АЕ '. сто янную интегрирования А находим из начальных й (~ = О), По закону коммутации для тока в индуктивначальное значение 1(О) = А = 1(Π— ) = 40 А. к в обмотке возбуждения 1= 40е '" А. пряжение на обмотке возбуждения и = — ~11 — — — 400е '" В. ремя спада тока до значения, равного 5% начального, из уравнения 0,05 40 = 40е 11 — — 1по,054 — 11) = 0,272 с.
=О корень р = — 1 с ' и ток 1=40е " А Время ока получим из уравнения 0,05 40 = 40е '", откуда 0,05 = 2,99 с. им образом, чем больше сопротивление 1'„тем быстрее ток. Однако чрезмерно увеличивать это сопротивление поскольку начальное напряжение на обмотке и(О) = О) может быть больше допустимого напряжения и дет пробой изоляции обмотки. г~ Г "-"',,'::::::;откуда ':~,.';::!,':" ''':::~ада т Так ,*ф ~ ~.,"~~'"'„:;::::,",.
НЕЛЬЗЯ, = — Г11( ;:::,"..:::::::=,; Произой 3.3. В схеме рис. 8,3 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Е =90 В; 11= ЗО Ом; 1 =15 Ом; Ь= =0,1 Гн, Найти и построить зависимость 1(~). 8.4. Для схемы рис. 8.4 лано: е = 50~Лв1П(100~+ 30') В; 11 — — 20 Ом; г = ЗО Ом; Ь= 0,5 Гн. Найти ток 1 после замыкания ключа. 8.5.
Определить ток ~ в схеме рис. 8.5 после замыкания ключа. Дано: .7 = 6 А; 1 = 10 Ом; Ь = 025 Гн. 8.6. Заданы параметры схемы рис. 8,6:,У(~) = 0,5 зи(1000~+ + 53,13') А; г = 120 Ом; Ь = 0,1 Гн. Найти ток ~ после коммутации. Рис, 8.7 8.7. Для измерения сопротивления обмотки индуктивной катушки постоянному току собрана цепь по рис.
8.7, Показание амперметра 2 А, показание вольтметра 5 В, сопротивление вольтметра гр — — 1500 Ом. Определить начальное напряжение на вольтметре ир(О) при размыкании ключа. Переходные ироцеесы в иеиях И. ири воздействии источников иостоянных наиряжения и тока 8.8(Р). Для ускорения процесса гашения тока в обмотке возбуждения электрической машины ее отключили от источника ЭДС Е, в момент времени, который принят за г =О, и подключили к источнику ЭДС 1=В Е обратной полярности (рис.
8.8). В момент времени ~,„когда ток спадет до нуля„обмотка возЕ1 6уждения Отключится от источ- Е ника ЭДС Е. T1 1) Определить ток ~ в обмотке возбуждения и момент времени ~,. 2) Сравнить время ~, с вре- Рис. 8.8 менем спада тока ~2 при Е = 0 (короткое замыкание обмотки), где ~2 — время, в течение которого значение тока умеиьшается до 3 "~; начального.
Параметры цепи: Е, = 20 В; Е = 120 В; ~ = 0,5 Ом; 1', = 0,5 Ом; 1.= 0,5 Гн. Решение. 1) Ток в индуктивности до коммутации 270 ~(Π— ) = ЕДг+ г~) =20 А. Дифференциальное уравнение цепи после коммутации: й Ь вЂ” +и= — Е. й Решение этого неоднородного уравнения найдем в виде ',"';:,: суммы частного решения неоднородного уравнения — тока ;-;:.- установившегося режима ~, и общего решения соответствую,,:'.': щего однородного уравнения — свободной составляющей тока ";=:::::=:;:;.АВ 1 = 1у+ 1~ц. ТОк 1,, находим либО расчетОм цепи пОстОяннОГО тОка, ::";.'-:::; которая получаешься (рис. 8.8) после первой комму~ации, либо ';-;'-:: из дифференциального уравнения при й/й = О: ~„= — Е/г = — 240 А.
Характеристическое уравнение Ьр+ г = О имеет один ко- - Ф::,"::=.::;:; рень р, = — г,Я. = — 1 с ПОэтому свобОдная составляющая тОка ~„= Ае ' =Ае :.'::.'=,': -'',;:;",:::,-:: И ТОК 1 =1,, + 1„= — 240+ Ае ПОстоЯнную интеГрироВаниЯ А нахОдим, учитыВаЯ началь:.,';:-';.;-;:;:- ные условия (при ~ = О) для тока в индуктивности ~ (О) = +':,,::,'::::.::,;:, = ~ (Π— ) = 20 А, т. е. Из уравнения 20 = — 240 + А, откуда ,~':-:-:.':-';::.:"':::-';:::;:-';,::;:::„::-'':::,::::::А = 260. СледОВательнО, тОк ~ = -240 + 260е " А.
ВремЯ 1~ Определим, приняв В решении сОгласно условию Ф1) =О откуда ~, = — 1п(240~260) = 0,08 с. 2) При Е =О (короткое замыкание обмотки) после коммутации существует только свободный процесс и ток ~ = 20е " А. Время ~2 спада тока получим из уравнения О 03 20 20е 112 откуда ~2 — — — 1п0,03 = 3,50 с. Таким образом, в заданной цепи введение форсирующего источника ЭДС Е ускоряет процесс спада тока в ~2/~, а ~ 44 раза, 8.9(Р).
Найти токи во Всех ветвях схемы рис. 8.9 при замыкании ключа во второй вотви. Дано: Е=150 В; г =г2 —— гз=100 Ом; ~ =0,1 Гн, Р е ш е н и е. Находим незавИсимое начальное условие — ток в индуктивности 1~(О-) = О. Уравнения Кирхгофа для с~Ямы пОсле коммутации — ~1+~,+~з=о; Г,1, +гз1з =Е; Й2 аз~2+ ~.= — гу = О, (3) Й Преобразуем систему уравнений Кирхгофа В уравнение относительно одной переменной, например тока ~,, Для этого исключим переменные ~, и 1,, Получим дифференциальное уравнение для тока ~,; йз г,гз Ь вЂ” + ~,+ = — ~з=Е (4) Й г~ + гз 11+ Гз Аналогичные уравнения мржно записать и длЯ друГих переменных Р, и ~з), но в этом нет необходимости, поскольку характеристическое уравнение схемы (при о~сутствии в ней особенностей) для всех переменных одинаково (особенностью может быть, например, короткое замыкание параллельных ветвей).
РеБление будем искать В Виде 1~ = 11 + 11~р; Ь„= 1~у + ~2св~ ~3 ~3у + ~3св" В установикпемся режиме 'Гоки: Е *, . з = 1 А; ~2у = ~~у — = 0,5 А; г, + РзгДг, + гз) " " г2 + гз Характеристическое уравнение т~гз Ьр+ г, + =О Г~ + Рз меет один корень ~2 + г~'зЛ~'~ + ~з) Р1 = = — 1500 с е. свободные составляющие токов: ю Р~~ . Р1Ф, р~~ ~1„= Ае; ~2,„— — Ве; ~3„— — Се При этом тОки: =1+ А Р1; ' =05+В Р1; ' =05+ С Ръ~ В частнОсти при ~ = О токи ~~(О) = 1+ А; ~'з(О) = 0,5+ В; ~'з(0) =0,5+ С. (5) Для Определения постоянных интегрирования найдем назьные значения токов.
По закону коммутации независимое чальное условие — ток в индуктивности ~2(О) = ~2(Π— ) = О, Начальные значения остальных токов ~,(О) и ~з(О) — засимые начальные условия определим из двух первых уравний Кирхгофа, записанных для мОмента Времени 1 = О: — ~,(О)+ ',(О)+ Ь(О) = О; А (О) + дз (О) = Е, ~, (О) = ~3 (О) = ЕДг, + гз) = 0,75 А Из уравнений (5) находим постоянные--интегрирования А= — 0„25 А; В= — 0,5 А; С=О,25 А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
