Полак_и_др__Вычислительные_методы_в_химической_кинетике (972296), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При уменьшении шага сетки, на которой ищется численное решение, эта разность должна уменьшаться. Такое свойство численного метода называется сходимостью. Говорят, что метод обладает сходимостью, если при стремлении к нулю шага дискретизации к нулю стремится и разность точного и численного решений во всех точках разбиения. Второе необходимое свойство численного метода — это свойство устойчивости. Оно состоит в том, что малые возмущения в начальных условиях и в разностном уравнении, возникаощие, например, в результате округления и конечной длины разрядной сетки машины, подавляются или по крайней мере не увеличиваются.
Один и тот же метод при разных шагах дискретизации может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Однако устойчивость метода связана не только с шагом численного ин- 130 тегрирования, но и со свойствами конкретной задачи Коши. ()оэтому, для того чтобы охарактеризовать устойчивость метода численного интегрировачия вне зависимости от конкретной задачи, его, как правило, исследуют на устойчивость при решении модельной линейной задачи Коши: у = Лу. у (0) = уе, (5.2) где Л вЂ” комплексная постоянная.
Это естественно, так как локальное поведение исходной задачи в первом приближении определяется решением линейной задачи с матрицей, являющейся якобианом исходной системы. В теории используется также понятие абсолютной устойчивости метода. Метод называется абсолютно устойчивым, когда дпя заданного фиксированного шага интегрирования полная погрешность метода (у — у(г )( остается ограниченной при В -+ В такой постановке задачи дпя каждого метода можно указать область на комплексной плоскости Лй, в которой данный метод обладает свойством абсолютной устойчивости. Рассмотрим некоторые общие понятия [174[, используемые в численных методах для решения задачи Колы.
Как уже отмечалось, жесткость — это свойство задачи Коши, возникающая при описании систем с существенно различными временными ха. рактеристиками процессов. Жесткость задачи может быть выявлена при исследовании локального поведения решения системы уравнений. Для этого система уравнений линеаризуется, т.е. заменяется линейной системой с матрицей Якоби. Если в некоторой окрестности решения матрица Якоби меняется незначительно, то локально линейная система описывает нелинейную. ~ 'Говорят, что задача Коши является жесткой [312], если в локальной области задача устоичива, т.е. собственные значения якобиана имеют отрицательныедействительные части: Яе(Л~) (О, и Яе(-Л „)/Яе(-Л,„ю) >)1.
-В задачах химической кинетики локальная жесткость может достигать величин гюрядка 1(Р -10' . Трудности решения жестких задач состоят в том, что при численном решении ограничение на шаг интегрирования может накладывать требование абсолютной устойчивости метода, связанное с малыми возмущенияяы, возникающими в процессе реализации метода на цифровой машине. Действительно, величина шага интегрирования должна выбираться так, чтобы Л„„„п принадлежало области абсолютной устойчивости метода. Таким образом, шаг интегрирования согласуется с характерным временем быстрого процесса 1/Яе( — Л „), в то время как характерное время медленного процесса 1/Яе( — Л ы) много больше, и необходимое число шагов интегрирования будет сравнимо с ,'Яе(Л „) / [ Яе (Л„„.„) ).
Для того чтобы избежать этого ограничения и чтобы выбор шага определялся лишь соображениями точности решения, при решении жестких задач Коши используются так называемые А-устойчивые методы [238) с неограниченной в левой гюлуплоскости областью абсолютной устойчивости. При использовании А-устойчивого метода ограничения на шаг интегрирования будут накладывать условия точности. Однако если пренебречь точностью в численном определении быстрых компонент, т.е. не пытаться точно просчитывать процессы индукционного периода [1611, то шаг интегрирования будет определяться лишь характерным временем медленного процесса.
131 Однако требованию А-устойчивости отвечают далеко не все методы и зто требование накладывает серьезные ограничения на схему интегриро. вания. Далквистом !2381 было показано. что явный линейный мнагошаговый метод не может быть А-устойчивым, а порядок неявного А-устойчивого метода не превышает двух. Для преодоления этих трудностей было введено гюнятие А(а)-устойчивого метода, Метод называется А(а)-ус. тойчивым, если область его устой ывости представляет бесконечный клин (атй( — А)! < и. Было показано !4491, что можно сконструировать неявные мнагошаговые методы З.го и 4-го порядков. обладаихцие свойством А(а)-устойчивости.
Как следует из определения жесткости, жесткая задача Коши должна иметь отрицательный спектр деиствительной части собственных значений якобиана. Однако может возникнуть ситуация, когда в локальной области якобиан системы уравнений имеет положительную действительную часть собственных значений. В задачах химической кинетики такая ситуация не редкость и встречается при описании взрывных процессов, когда в решении появляются резко растущие компоненты.
8 таких случаях сама задача Коши уже перестает быть устойчивой, и нельзя требовать устойчивости и численного метода. Для преодоления этих трудностей Гир (2641 ввел требование жесткой устойчивости метода. Метод называется жестко устойчивым, если он абсолютно устоймв в левой полуплоскости )чси точен в некоторой части правой полуплоскости. Это дополнительное к абсолютной устойчивости требование обеспечивает точность аппроксимации растущего решения. З.
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Уравнения химической кинетики, как правило, описывают процессы, в которых образуются быстрореагирующие активные частицы (ради- калы, ионы, возбужденные молекулы и т.п.) и стабильные молекулы. Наличие таких разных частиц в системе обусловливает и различные временные характеристики протекающих в системе п(юцессов.
В мате- матическом смысле зто связано с наличием малого параметра е при ряде производных дх — Ф~ (х,у1, дс (5.3) ду е — = (т (х у), дс где х — медленные переменные; у — быстрые. Все это обусловливает жесткость задачи. Если бы удавалось всегда разделить систему уравнений на быструю и медленную подсистемы и выделить в явном виде малый параметр е, то задача свелась бы к раздельному решению задач для быстрой и медленной подсистем. При этом быстрые переменные являлись бы известными параметрами при решении уравнений для медленной подсистемы.
(Идея метода квазистационарных концентраций.) При решении каждой из этих задач обе они порознь не об. падают свойством жесткости. Такое разделение в общем случае формализовать, по-видимому, невозможно. Однако определенные попытки в этом направлении предприняты. В рабате 1231 был предложен один из первых алгоритмов интегриро- 132 ванин жестких ситем обыкновенных дифференциальных уравнений кими.
ческой кинетики, основанный на разделении исходной системы на быструю и медленную подсистемы. Вкратце вычислительная процедура заключается в следующем. На первом этапе решения, когда величина концентраций существенно зависит от выбранных начальных условий, осуществляется численное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений химической кинетики одним из разностных методов с заданной относительной погреш. постыл интегрирования, Этот этап решения заканчивается, когда наиболее реакционноспособные компоненты выходят на квазистационарный режим [эти условия проверяются на каждом шаге интегрирования), На втором этапе решения часть дифференциальных уравнений для наиболее реакционноспособных компонент заменяются алгебраическими и на каждом шаге интегрирования укороченной системы обыкновенных дифференциальных уравнений решается дополнительно система нелинейных алгебраических уравнений.
При этом, если условия квазистационарности нарушаются дпя некоторых компонент, то соответствующие алгебраические уравнения опять заменяются исходными дифференциальными. Действительно, пусть система уравнений химической кинетики представлена в виде с„(г) -. — Ь„(г)сА(с) ч а,(т), д =. 1,2,... (5.4) Тогда если в какой-то момент времени одна или несколько функций Ь„(г) становятся значительно больше всех остальных на некотором отрезке времени т и, кроме этого, Ь|(г) » аз(т)/сз(т), (5.5] то соответствующие дифференциальные уравнения можно заменить алгебраическими, Фактически это означает отбрасывание больших по модулю отрицательных собственных значений якобиана и сильное уменьшение жесткости системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В работах (5В, 60] предложена процедура, позволяющая в некоторых случаях формализовать процесс разделения системы на быструю и медленную. Формализм состоит в специальном предварительном преобразовании системы, позволяющем выделить медленные составляющие компоненты вектора концентраций, Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называюпя авторами алгоритма быстрыми комбинациями.
У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами, Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может. не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. Надо заметить, что локальное разделение можно проводить на отдель- !33 ных зтапах интегрирования без предварительного анализа констант и расположения их в убываххцем порядке.
Если применить к якобиану кинетической системы Й( -процедуру с выбором главного злемента (180), то матрица приведется к квазитртугольной форме. Й(;процедуре приводит матрицу к треугольному аиду, выстраивая собственные значения на диагонали в порядке убывания. Каждый шаг процедурыотдаляет группы корней. За несколько шагов можно отделить группы близких корней, которым соответствуют блоки на диагонали. Эта процедура сохраняет также все нулевые собственные значения, связанные с законами сохранения. Например, трам близким корням якобиана соответствует лодматрица размером 3 Х 3, расположенная на диагонали полной матрицы.
Если провести процедуру до конца, то зги корни тоже разделятся, однако такой необходимости нет. Для разделения на быструю и медленную подсистемы необходимо выделить лишь сильно различающиеся корни, а для зтого требуется сделать всего несколько шагов Й( .алгоритма. Это есть формальная процедура локального разделения на подсистемы с различными характерными временами. Таким образом, решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности, обладающее свойством жесткости, может быть сведено к последовательному решению нескольких нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений меньшей размерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
