Полак__Применение_вычислительной_математики_в_химической_и_физической_кинетике (972294), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Очевидно, что реализация п цепей не эквивалентна увеличению числа частиц в и раз, однако степень неэквивалентности оценить трудно. Поэтому вопрос строгого обоснования такой процедуры остается открытым. С целью практической проверки нами были проведены расчеты для 108, 216 и 1000 частиц.
Во всех случаях расхождения между результатами не выходили за пределы статистической ошибки, поэтому был сделан вывод о нецелесообразности увеличения числа частиц. Было проведено также численное интегрирование уравнений движения для системы иэ 108 частиц по методу работ [11, 12). Результаты этих расчетов практически совпали с результатами расчетов по методу Монте-Карло, однако в последнем случае затраты машинного времени были на порядок меньше, чем при численном интегрировании. Описанная выше схема решения задач газовой кинетики не является, естественно, единственной.
В тех случаях, когда распределения частиц по отдельным компонентам скоростей не представляют интереса и эти распределения можно считать сферически симметричными в пространстве скоростей, удобно перейти от компонентов к модулям скоростей, усреднив сечения взаимодействия частиц по углам между направлениями их движения. В результате такого усреднения вероятности принимают вид (17) Естественно, что при розыгрыше самого столкновения надо в этом случае учесть зависимость сечения от угла между начальными е Строгую оценку статпстнческой ошибки можно получить только после проведения расчетов. Этот момент является характерным для метода МонтеКарло [2).
дели все частицы, находящкеся на определенном скоростном уровне, физически неразличимы. Поэтому в отличие от модели непрерывного пространства скоростей для реализации случайного процесса достаточно разыграть номера двух уровней, к которым принадлежат столкнувшиеся частицы. Вероятность столкновения частиц, находящихся на уровнях (е, у), равна ~у;айоп Ж вЂ” о и" (21) Л'; (М; — $) он Для практической проверки последней схемы нами была проведена серия расчетов, в которой число уровней варьировалось от 24 до 192. Кроме того, при фиксированном числе уровней(при 192) незначительно варьировалась величина Лн — расстояние между уровнями.
Число частиц во всех случаях равнялось 2 ° 10'. Все эти расчеты, так же как и расчеты, описанные на стр. 188, выполнены для задачи о максвеллизации смеси двух газов с разными начальными температурами *. Некоторые результаты расчетов приведены на рис. 46 и 47. Видно, что результаты для разного числа уровней и разных о,и мало отличаются друг от друга. Слабая чувствительность к числу уровней является весьма важным результатом, .так как возникает возможность резкого сокращения затрат машинного времени.
Сходная ситуация имеет место в многогрупповом приближении теории переноса нейтронов [19), где уже при нескольких скоростных группах точность результатов вполне удовлетворительна. Из рис. 46 и 47 следует, что ревультаты расчетов для случаев дискретной и непрерывной моделей пространства скоростей также вполне удовлетворительно совпадают друг с другом. Этот факт служит косвенным подтверждением правильности обеих схем, поскольку они основаны на разных принципах. Еще одним практическим подтверждением пригодности метода является совпадение в пределах статистической ошибки расчетной частоты столкновений с теоретическим значением этой величины.
Учет в рамках обеих рассмотренных модификаций метода Монте-Карло различных неупругих процессов и внутренних степеней свободы в принципе не вызывает затруднений. Необходимо, естественно, чтобы были заданы сечения этих процессов, причем безразлично, в какой форме — аналитически или численно. Учет химических реакций достигается наиболее простым образом: наряду с сечением упругого рассеяния нужно включить в выражения для вероятностей переходов Ры сечения химических реак- е Эта задача подробно рассматривается в следующем параграфе. — !а 'к ь я' р 2 4 Р 8 !д 1; 1'ис. 46. Зависимость от времени средней внергни молекул метана при начальных температурах метана 3 10' и аргона 104 »К о — модель непрерывного пространства скоростей; ° — 102 уровня, а» = 4 !О' ок/скк! С! — 102 уровня, а» = 4,035 10' »лисок; + — 24 уровня, а» = 3.2 10» с»йсск а! Ь' 3 г 10~ля/стя Рис.
47. Относительное распределение молекул метана по скоростям при 1 0,75 ° 10 е сек Осоеначеняя те ксе, что н на рнс. 46 ций. Для изучения же колебательной, вращательной релаксации, вовизацки и т. п. следчст наряду со скоростями частиц хранить в машинной памяти числа заполнения координат внутренних степеней свободы. Основным достоинством рассмотренных моделей является точный учет всех интегралов столкновений. Это наиболее важное обстоятельство должно позволить решить нелинейные задачи газовой динамики.
Комбинируя эти нелинейные схемы с обычным вариантом метода Монте-Карло, можно получать решения различных задач физической и химической кинетики. Такой подход может позволить установить границы применимости основных предполоя ений, лежащих в основе аналитических методов. При наличии достоверных данных по сечениям процессов результаты, получаемые с помощью метода Монте-Карло, вполне могут претендовать на сравнение с экспервментсм, а в ряде случаев и заменять его. Однако даже при отсутствии таких анных есть возможность получения целого ряда важных качественных результатов на основе простых физических моделей. В силу особенностей метода Монте-Карло его применение должно оказаться наиболее интересным в ситуациях, когда аналитические и традиционные численные методы не имеют успеха. 5 2.
Максвеллизация смеси двух газов с равными начальными температурами Все разработанные нами модификации метода Монте-Карло были опробованы на примере расчета процесса максвеллизавии смеси двух газов с разными начальными температурами, поскольку эта задача является наиболее простой и вместе с тем типичной для широкого класса задач газовой кинетики. Путем оценки «физичности» модели, точности получаемых результатов и затрат машинного времени выяснялась эффективность той или иной расчетной схемы при решении задач подобного рода.
Поэтому в значительной степени результаты решения носили методический характер. Вместе с тем расчет максвеллизации смеси двух газов имеет большой теоретический и практический интерес. На его примере отчетливо видны основные трудности, с которыми сталкиваются традиционные аналитические методы. Все эти методы так или иначе используют разложение искомых величин и функций распределений в ряды по малым параметрам. Эта процедура не обоснована математически. Возникает вопрос и о слраведлнвости физических представлений, лежащих в основе вывода уравнений аналитической теории. Следует подчеркнуть, что в методе Монте-Карло не используются предположения, на которых основан вывод уравнения Больцмака.
Решение задачи о релаксации по поступательным степеням свободы представляет большой интерес и с точки зрения других релаксационных процессов (колебательной релаксации, химической кинетики и т. д.). Общепринятым является мнение, что н силу малости времени свободного пробега по сравнению с характерными временами неупругих процессов эти процессы можно рассматрииать отдельно от процесса макснеллизации (см., например, И)). Если такой подход можно считать н какой-то мере справедлиным при низких температурах, то при высоких температурах (эыше 10за К) возникают больпгие сомнения н его применимости, так как характерные времена неупругих процессов становятся сравнимыми со временем свободного пробега.
Открытым остается также вопрос об обоснованности процедуры усреднения сечений неупругих процессов по равновесной функции распределения Максвелла. Ведь даже небольшие отклонения от равновесия могут привести при определенных условиях к большим ошибкам н определении, например, констант скоростей химических реакций.
По этим причинам решение задачи о релаксации по поступательным степеням свободы молекул следует рассматривать как важный промежуточный этак решения других задач газовой кинетики. Все результаты, описанные н этом параграфе, получены для модели дискретного пространства скоростей (см. стр. 189), поскольку они характеризуются наименыпей статистической ошибкой. Была рассмотрена система, состоящая из смеси молекул метана и атомов аргона с начальными температурами соответственно 3 10з и 10' 'К.
Система считалась пространственно-однородной, а молекулы аппроксимирозались твердыми нензаимодейстиующими сферами. Концентрации молекул метана и аргона были взяты одинаковыми * и равными 0,5.10" слз з. Общее число частиц ио всех вариантах состанляло 4 104 (при этом статистическая ошибка не превышала -~-1о4). В начальный момент времени скорости молекул разыгрывались случайным образом по закону Максвелла для соответствующей температуры.
В результате расчетов получены функции распределения молекул метана и аргона по скоростям. Кроме них были рассчитаны средние значения энергии и скорости обеих групп молекул, частоты отдельных типов столкновений н средние передачи энергии за одно столкновение. Наконец, была рассчитана Н-функция системы, являющаяся аналогом энтропии для неравновесных систем. Величина физического времени обратнопропорциональна общей концентрации, поэтому результаты расчетов можно привести к виду, не зависящему от концентрации. 7 заказ мзз 193 4 !Р рм/ссс — — !О 'К ге 1.
3 Я !г ! о с 3 !г г, Рис. 48. Зависимость средней энергии ыолекул метана от времени для начальных температур метана и аргона соответственно 1 — 3 18' я !Ос 'К; С вЂ” 3,3 1Е' н 8 ° 18' 'К Рис. 49. Зависимость средних скоростей молекул метана (!) и аргона (г) от времени Начальная температура метана 3 ° 1Ес я аргояа 18" К ь Строго говоря, адесь и далее рассчитывались не сами функции распределения / (и), а величины т+Ьт /У //У= ~ 4я/(е)еьЫр 4ярьЛи/(р), $94 Расчет производился по формуле /~ = 2„1 / ( ) ) ~,'„(",„' 1 /, (22) о где суммирование производится по отдельным компонентам смеси, а под / (р) понимается функция распределения по модулям скоростей (именно эта функция рассчитывается в процессе решения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
