Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Происходит лишь преврах щение энергии, заключенной на участке длиной —, между сосед. 4 ними узлами смещений и деформаций из кинетической в потенциальную и обратно, Период превращения энергии вдвое меньше периода стоячей волны. Если амплитуды падающей а, и отраженной а, волн неодинаковы, например а,) ам то падающую волну можно представить состоящей из двух волн; одна из них с амплитудой, равной амплитуде отраженной волны, а вторая — о амплитудой а, — а,. Сложение первой волны с отраженной дает стоячую волну, на которую налагается бегущая волна с амплитудой а, — а,. Максимум амплитуды результирующей волны равен а, + а,; в узлах амплитуда не равна нулю, а имеет величину а~ — аг.
В этом случае происходит течение энергии вдоль стоячей волны, соответствующее переносу энергии бегущей волной с амплитудой а, — а,. В месте отражения волны на границе сред может образоваться либо узел, либо пучность в зависимости от того, иа границе о какой средой происходит отражение (в зависимости от краевых условий). Если граница закреплена, образуется узел. Если граница свободна, возникает пучность. Действительно, в первом случае концевые частицы среды, в которой распространяется падающая волна, в любой момент времени должны обладать смещением, равным нулю.
Зто возможно при их смещении в отраженной волне, равном по величине и противоположном по фазе смешению в падающей волне, для любого момента времени, т. е. на границе возникает узел. Во втором случае частицы могут свободно колебаться, поэтому они испытывают результирующее смещение, равное сумме смещений в падающей и отраженной волнах. Амплитуда смещений равна сумме амплитуд, т. е. в месте отражения возникает пучность. Если участок среды, в котором распространяется волна, ограничен с двух сторон закрепленными границами, то стоячая волна должна иметь на обеих границах узлы. Следовательно, стоячие волны образуются на участке с закрепленными границами, когда на нем укладывается целое число полуволн.
В случае, если обе границы свободны, на них образуются пучности. Стоячие волны образуются на участке среды со свободными границами, когда на нем укладывается целое число полуволн. п (16.60) где и = 1, 2, 3, ... Частота свободных колебаний в трубе: с с ч = — = П вЂ”. Л 2Х (16.61) Как видим, в трубе свободные колебания происходят с бесконечно большим числом частот. И наконец, если одна граница участка закреплена, а вторая свободна, то на первой образуется узел, а на второй пучность. Стоячие волны образуются на участке среды, одна граница которогозакреплена, а вторая свободна, когда на участке укладывается нечетное число четвертей волн.
На рисунке 278 изображены стоячие волны в трех указанных случаях. Образование стоячих волн тесно связано с явлением резонанса в ограниченных участках сплошной упругой среды. Воздушные столбы, заключенные в духовых инструментах, наполненные воздухом, резонансные ящики камертонов, струны, упругие стержни могут рас- Ф сматриваться как простые колебательные системы.
Но так как столб воздуха или стержень представляет собой Ю систему множества связанных материальных частиц, то, очевидно, число степеней свободы такой системы бесконечно велико. Бесконечно велико и число собственных частот в такой системе. Рассмотрим для примера возникновение свободных колебаний в трубе, закрытой с обоих концов. Волна смещения, возникнув в некоторой точке, доходит до конца трубы, отражается с потерей полуволны, доходит до другого конца, вновь отражается с потерей полуволиы и возвращается в начальную точку; затем процесс повторяется. В результате в трубе при подходящих условиях устанавливается стоячая волна, имеющая узлы на закрытых концах.
Длина хода волны, очевидно, равна удвоенной длине трубы. И если на удвоенной длине трубы укладывается целое число волн, то в результате сложения падающей и отраженной волн возникает стоячая волна. Таким образам, Строго говоря, уменьшение длины волны и возрастание частоты ограничены дискретным строением вещества среды. Поэтому и хотя и велико, но конечно. Колебания с частотой с У« 2! называются основным тоном. Тона, определяемые равенством (16.6!) для и гь 1, называются гармоническими обертонами. В трубе, открытой с обоих концов, условия возникновения свободных колебаний те же. В трубе, открытой с одного конца и закрытой с другого, отражение волны происходит в первом случае (открытый конец) без потери полуволны, во втором — с потерей.
Для учета сдвига фаз, возникающего благодаря отражению на закрытом конце, надо добавить к длине хода полволны (если закрыты оба конца, то этого делать не надо, так как изменение фаз на концах происходит в противоположных направлениях). Тогда Х =- (16,63) ! а —— 2 н собственные частоты ='(и — — ) (16,64) 389 Предположим, что волны на ограниченном участке среды (с закрепленными границами) создаются и поддерживаются внешней периодической силой. В этом случае колебания участка среды будут вынужденными. Волна, возникнув у источника колебаний, распространяется по участку вплоть до границы раздела, на которой происходит ее отражение.
Границы между реальными средами всегда в боль. шей или меньшей степени проницаемы для волны. Поэтому при падении волны на границу лишь часть ее энергии отражается, а часть проходит сквозь границу и поглощается отражающей средой.
Следовательно, амплитуда отраженной волны в общем случае меньше амплитуды волны падающей. При нх наложении возникают явления, описанные выше (для случая сложения волн противоположного направления и разной амплитуды), т. е. наложение на стоячую бегущей волны. Значит, если на границе нет каких-то особых условий, которые препятствуют «утечке» через нее энергии, на участке не установятся стоячие волны. Не возникнет и явление резонанса, так как энергия, доставляемая внешним источником среде участка, все время частично теряется. Условием, препятствующим потере энергии в отражающую среду, является образование на границе узла стоячей волны.
В самом деле, течение энергии через узел отсутствует, и, следовательно, если на участке укладывается целое число полуволн и на границе образуется узел стоячей волны, т. е. выполняются условия (16.60) и (16.61), то вся энергия, доставленная внешним источником среде участка, остается в его пределах.
В этом случае условия накопления энергии наиболее благоприятны и амплитуда колебания частиц среды максимальная. Таким образом, условие возникновения резонанса в ограниченном объеме среды с закрепленными границами совпадает с условием возникновения в ием стоячих волн. При возбуждении колебания струн, закрепленных стержней и т. п. на нормальных частотах возникает явление резонанса.
Аналогично можно объяснить возникновение резонанса на участке среды со свободными границами. Для этого надо рассмотреть волну деформаций. $!О. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ УЧАСТКОВ СПЛОШНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ СРЕД. «ОДНОМЕРНЫЙ» КРИСТАЛЛ Тела состоят из молекул и атомов. Изучая распространение в среде упругих волн, мы можем считать среду сплошной, если длина волны много больше расстояния между частицами (если, выделяя элемент среды в волне, мы не нарушаем условия, сформулированные в З 1, гл.
Х1). Но если длина волны сравнима с между- молекулярными или междуатомными промежутками, необходимо рассматривать распространение колебаний в дискретной (прерывистой) среде. й1ы видели (гл. Х4, $ 7 и гл. Х г'1, з 9), что сплошную однородную среду можно рассматривать как связанную колебательную систему с бесконечно большим числом степеней свободы и соответственно с бесконечно большим числом нормальных частот. Реальная среда, состоящая из атомов, разделенных междуатомными промежутками, по существу неоднородна. Свойства среды (плотность, упругость и т. и.) меняются скачками при переходе от атома к промежутку. Число степеней свободы такой связанной системы равно числу независимых движений каждого атома, умноженному на число атомов.
Оно велико, но всегда конечно. Конечно и число нормальных частот в системе. Рассмотрим вынужденные колебания, возникающие в ограниченном участке сплошной однородной среды. Как мы видели, в предыдущем параграфе такой участок является резонатором, отзывающимся ца бесконечный ряд частот, удовлетворяющих граничным условиям. Если колебательная система посылает в среду чисто гармоническое колебание одной частоты, то в случае совпадения последней с одной из нормальных частот участка на нем установится стоячая волна именно этой частоты.
Такое явление возможно, если посылаемый импульс представляет собой бесконечно длящуюся синусоидальную или косинусоидальную волну. Однако реальные колебательные системы посылают импульсы, которые, 390 как правило, отличны от синусоидальных и всегда обладают конечной длительностью. Вместе с тем мы установили (гл. Х !!, й 6), что любое колебание представляет собой суперпозицию гармонических колебаний и может быть разложено на составляющие с помощью набора резонаторов, каждый из которых отзывается на одну из частот гармонических колебаний, содержащихся в импульсе. Ограниченный участок среды можно рассматривать как набор таких резонаторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
