Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Сравнивая выражения (16.21) и (! 6.25), видим, что скорость и деформация в бегущей волне меняются со сдвигом фазы на и. Волна деформаций и волна скоростей сдвинуты друг относительно друга на —. 7 2 В сечениях, где скорость направлена вверх (о ° О), сдвиг направлен влево, если смотреть по направлению распространения волны (е ( О). В сечениях, где скорость направлена вниз, сдвиг происходит вправо (е) О). В продольной волне слои, которые движутся по направлению распространения волны (о) О), оказываются сжатыми (е ( О), слои, которые движутся в противоположном направлении (о ( О), — растянутыми (з.
О). Кроме того, о и е связаны ссютношением: о = сс, т. е. не могут быть произвольными, Коэффициент пропорциональности между ними — скорость распространения волны. Продифференцируем (16.25) еще раз по си — ' = — з!па ! г — — '), (16.26) дх' с' с Сопоставив (16.26) и (16.23), получим: д'с 1 д% дхх с дм (16. 27) 371 дифференциальное уравнение волнового движения. Решением его служат уравнения (16.14), (16.!5), (16.16), (16.19), описывающие синусоидальные или косинусоидальные волны. Кроме указанных продольных и поперечных волн, распространяющихся в сплошных средах, в природе существует целый ряд других волновых процессов.
Важным примером волнового процесса являются так называемые поверхностные волны, возникающие на поверхности раздела двух сред с разной плотностью. Например, к волнам этого типа относятся волны на поверхности воды (на границе вода— воздух). Законы распространения поверхностных волн сложнее, чем волн в сплошной среде. На рисунке !57 приведена фотография линий тока в поверхностной волне, полученная фотографированием с короткой экспозицией взвешенных в воде легких частиц, На рисунке 156 дана фотография траекторий частиц,сде- ланная с длительной выдержкой (примерно — Т) в тех же усло! 2 виях, что и предыдущая.
Движение частиц жидкости в волне по существу своему нестационарно. Поэтому, как легко видеть при сравнении фотографий, траектории частиц не совпадают с линиями тока. Частицы в поверхностной волне колеблются не по прямолинейным траекториям, а по замкнутым эллиптическим или круговым орбитам. Форма волн при этом приближается к трахоиде'. Простые синусоидальные волны возникают на поверхности среды лишь в случае, если длина волны много больше ее высоты. Например, приливные волны, высота которых (2а) равна нескольким метрам, а длина измеряется сотнями километров.
Поверхностные волны возникают и внутри среды, если в ней имеются границы между слоями различной плотности. Такие волны можно наблюдать в атмосфере по характерным грядообразным облакам, которые образуются на гребнях волн, иа границе двух слоев воздуха с разной температурой, а следовательно, и плотностью, 4 3. ЭНЕРГИЯ ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ ПОТОК ЭНЕРГИИ. ВЕКТОР УМОВА Источник волнового движения в среде — колебательная система. За счет ее энергии возникают колебания частиц среды, соседних с колеблющимся телом.
Эти частицы передают энергию следующим за ними и т. д. Передача энергии от колеблющегося тела к частицам окружающей среды называется излучением. Возбужденная за счет излучаемой энергии волна осуществляет передачу энергии в среде. В этом случае мы имеем дело с волновой передачей механической энергии.
Общая задача о движении энергии в среде была решена профессором Московского университета Н. А. Уланы.н (1874 г.). Рассмотрим волновую передачу механической энергии. Для этого найдем закон распределения энергии в волне. Выделим в области среды, возмущенной распространякицейся волной, малый участок, объем которого тг и масса и. Если плотность среды р, то объем $' = — = Ю бх, где о — площадь сер чения, перпендикулярного направлению распространения волны, Ьх — расстояние между двумя близкими сечениями. При прохождении волны благодаря разности смещений А1 частиц, лежащих в сечениях, отстоящих друг от друга на расстоянии сух, ' Тракокда — кривая, которую онисыввет точка катящегоси диска, отстоящая от его центра нв рвсстоинии тт, равному радиусу диска.
372 возникает относительная деформация участка между сечениями, лЕ равная —, и упругая сила: стх ЬР = — й — "5. (16.28) Ьх Бесконечно малый участок волны обладает потенциальной энергией1 (16,29) Или, приняв во внимание (16.25), найдем: йР а'ш~ х ! кз У = — соз' м ~1 — — ). 2 с' с Кинетическая энергия этого участка: Е„= — = — рРа ш соз м (à — — ). сссх ! ! к 2 2 (16.30) (16.31) зтз Сравнивая выражения для кинетической и потенциальной энергий участка волны, видим, что они меняются в одной фазе.
Этим энергия волнового движения отличается от энергии колеблющегося изолированного тела, для которого максимум кинетической энергии соответствует минимуму потенциальной и обратно. Полная энергия колеблющегося тела — величина постоянная. Найдем полную энергию участка волны: Е = Е„+ У = — ( — + р) а'а'созх с ~1 — — ) . (16.32) 2 (,сх с ) Это равенство показывает, что значение полной энергии волны есть величина переменная. При распространении волны энергия из одного участка среды переходит в другие. В упругой волне перенос кинетической энергии связан с распространением волны скоростей, а потенциальной — с распространением волны деформаций. Деформированные участки среды в волне движутся н при этом передают свою (потенциальную и кинетическую) энергию соседним участкам среды.
Энергия течет в среде со скоростью распространения волны. Хотя движение частиц в среде дважды за период меняет направление, но так как вместе с тем меняется и знак деформации, то энергия течет все время в направлении распространения бегущей волны. Энергия, которой обладал некоторый участок среды в момент с, через период перейдет по направлению распространения волны в участок, расположенный на расстоянии, равном длине волны от первого и т, д. Поэтому полная энергия данного участка среды изме- с= ~/ то паша)тсоэош (( ' ) (1б.33) т.
е. энергия участка волны прямо пропорциональна плотности среды и квадратам амплитуды и частоты колебаний частиц среды. Умовым было введено понятие плотности энергии и потока энергии. Плотностью энергии называется энергия, приходящаяся на единицу объема среды: е= — = риошо сов' о ~( — — ). с ) (1б.34) Плотность энергии в волне непрерывно меняется со временем. Для того чтобы найти среднее значение плотности энергии за период, надо вычислить определенный интеграл по времени от плотности энергии в пределах от г = 0 до г' = Т и разделить на величину периода Т: е = — риаш созо ш г — — с(г = — соз ш с — — ) о(г, Т 3 о о т но — ) соз оо ( à — — ) = — и, следовательно, средняя плотность Т) (, с) 2 о энергии волны в пределах периода: ! е = — риошо.
2 Потоком энергии называется количество энергии, проходящее в единицу времени через площадку Я, проведенную в среде перпендикулярно направлению распространения волны. Очевидно, если скорость распространения волны с, то за время, равное одному периоду, через сечение 5 будет пронесена волной вся энергия, которой обладает столбик длиной вдоль направления распространения волны сТ. Следовательно, за период через сечение Ю пройдет энергия: (г„= есТЗ.
Среднее значение потока: о = ест, 374 няется с периодом, равным периоду волны. Энергия как бы атечето в среде. Так как скорость распространения волны в упругойсреде — ! д = — раг~ ест. 2 (16.36) или Количество энергии, протекающее за единицу времени через единицу поверхности о, называется плотностью потока энергии (Ц): — 1 я = — ра'Фзв.
(16,37) 2 Так как скорость распространения волны с — вектор, то и плотность потока энергии может рассматриваться как вектор, направление которого совпадает с направлениемраспространения волны. Вектор этот носит название вектора Умова. Выводя формулу потока энергии, мы считали, что волна распространяется в неподвижной среде. При распространении в подвижной среде мы должны были бы еще учесть перенос энергии средой (конвективный поток энергии), 5 В.
ПЛОСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 275 Рассматривая распространение волн, мы полагали, что в плоском слое среды, прилегающем к источнику волн, состояние движения всех частиц в один момент времени одно и то же и что волна распространяется таким образом, что в любой плоскости, параллельной начальной, состояние движения частиц в любой момент времени так же одно и то же. Это позволило нам рассматривать движение волны вдоль прямой линии, считая, что вдоль всех линий, параллельных выбранной, движение происходит одинаково. Поверхность, соединяющая в данный момент точки волны, колеблющиеся в одной фазе, называется поверхностью равной фазы или волновой поверхностью.
Для волн, которые мы рассматривали, волновая поверхность представляет собой плоскость. Волны, у которых волновая поверхность плоская, называют плоскими вол~ами. Геометрическое место точек, до которых в некоторыймомент времени дошло колебание, называется фронтом волны. В плоской волне фронт ее также плоскость. Прямые, проведенные от источника волн в направлении их распространения, называются лучами.
Для плоской волны лучи представляют собой совокупность множества параллельных прямых, проведенных перпендикулярно фронту волны. Если среда, в которой распространяются волны, не ограничена, то волны от источника могут распространяться во все стороны. Причем если упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы (среда изотропна), то колебания распространяются во все стороны с одной скоростью. Положим, источником колебания в изотропной среде служит пульсирующий шарик малых размеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
