Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Есл!! мы пошлем в него сложный импульс, то спустя некоторое время в нем установятся разонансные явления на тех частотах, которые содержатся в импульсе и совпадают с частотами нормальных колебаний. Мы не будем рассматривать процесс установления резонанса, слишком сложный для элементарного изложения. Когда резонансные колебания установятся, на участке возникнут стоячие волны соответствующих длин. Частоты гармонических волн определяются, с одной стороны, частотой, исходной негармонической волны, и, с другой стороны, нормальными частотами участка. Амплитуды и фазы гармонических волн определяются формой исходной волны. Знергия, которую нес импульс, распределится между возникшими стоячими волнами (за вычетом энергии, пошедшей на работу против сил внутреннего трения в среде). В импульсе конечной длительности энергия распределена непрерывно по колебаниям с непрерывным спектром.
Зто проявляется в том, что конечный импульс представляется не рядом, а интегралом Фурье (гл. ХЧ, э" 6). Стоячие же волны, возникшие в стержне, обладают частотами, образующими дискретный спектр. И распределение энергии по частотам также будет дискретным.
Найдем уравнение стоячих волн, которые возникнут в ограниченном участке однородной сплошной среды. Распределение амплитуд по длине стержня в каждой из стоячих волн (в каждой гармонике) является синусоидалы!ым или косинусоидальным. Допустим, что в и-й гармонике смещение в сечении, отстоящем на расстоянии х от начала стержня, меняется со временем по закону синуса: (16.65) 1„= А„(х) з!п а„1, где А„(х) — меняющаяся вдоль участка среды амплитуда и-й гармоники: А„(х) = 2а,„з!и 2я — ", (! 6.66) л Тогда скорость частиц в той же гармонике: (16.67) оп Вл (х) соз юл!~ В„(х) = А, (х)а„.
39! Изменение деформации на участке, обусловленной данной гармоникой, должно происходить в одной фазе со смещением. Действительно, когда в (16.65) яп сс„1 = О, то смещение во всех точках участка равно нулю, очевидно, должна быть равна нулю и деформация: (16 68) с = —" — = Р„(х) з|п сй х Зх Но на участке заданной длины 1 могут установиться стоячие волны только удовлетворяющие граничным условиям. В случае, если оба конца участка закреплены или оба свободны, зти условия приводят к соотношению (16.60). Подставляя его в (16.65) с учетом (16.66), получим: ихх (х = 2а „яп —" я|п ~„Г = ихх А яп — "- а|пи г, х х (16.69) (16.70) о„= В„яп ' сова„т, ! ~„= Р,соз —" япс„(. ихх (16.
71) Для стержня с одним свободным и одним закрепленным кондами: 1„= А, з|п — '" з!п схг, (16. 72) Лхх о =В яп — совы~, (16. 73) Йхх 1» = Рх соз — 51п шхг, (16.74) где й=2и — !. распределение в гармониках амплитуд скоростей и деформаций для обоих случаев дано на рисунке 279. Найдем частоты гармоник. В соответствии со сказанным в 2 6, глава ХЪ', частоты всех гармоник должны быть кратными частоте основного тона. В случае закрепленных границ участка: с т =и— и 21 и круговая частота с ы =ни — =иа,, с (16.75) 392 На участке с одной закрепленной границей: ие = (2п — 1)— 4! нга = и (2п — 1) — = нй — = —, с с йы 2! 2! 2 (16.76) Следовательно, круговые частоты всех гармоник спектра, возникших на участке с одной закрепленной границей, будут едва раза ниже круговых частот гармоник тех же порядков для участка с обеими закрепленными границами.
Соответственно период стоячих Рис. 279. Волны скоростей н деформаций на ограниченных участках сплошной среды: а-обе границы аакреппены: б — кгкреппена одна граница. волн на участке с несимметричными граничными условиями в два раза больше, чем на участке с симметричными. Чтобы проверить правильность этого заключения, обратимся к случаю, когда импульс сообщается, скажем, свободному с обеих сторон стержню, коротким ударом по одному из концов. Тогда из сказанного в 2 1 и 2 следует, что в стержне возникнет продольный импульс деформации, который будет перемещаться без изменения формы (если дисперсия отсутствует) до противоположного его конца. Спустя время тг = ! = — !1~ Р импульс достигнет его и отра- 2 с р Е зится. Знак деформации при отражении от свободного конца изменится на обратный (сжатие перейдет в растяжение и наоборот).
Через время — после отражения импульс вернется к начальному т 2 концу стержня. Так как здесь деформация при отражении снова изменит знак, то через время Т! после удара характер деформаций в стержне станет таким же, как и в момент удара. Одновременно с импульсом деформаций в стержне распространяется с той же скоростью импульс скоростей.
Отражение его происходит в нашем случае без изменения знака скорости. Поэтому спустя время Т, после сообщения импульса повторяются нетолькодеформации в стержне, но и скорость (если отсутствует затухание, то не только по знаку, но и по величине). Таким образом, в стержне возникнут продольные колебания с периодом Т,. Сравним их с продольными колебаниями, которые возникнут в стержне с одним закрепленным концом. Положим, по свободному концу нанесен удар.
Дойдя до закрепленного конца, импульс деформации отразится не изменяя знака, но, возвратясь к свободному концу, отразится с изменением знака. Следовательно, через время Т, состояние в стержне не повторится. Только после того как импульс еще раз пробежит по стержню туда и обратно, после вторичного отражения от свободного конца, состояние в стержне станет тем же, что и в момент удара. Так как импульс скорости будет изменять знак лишь при отражении от закрепленного конца и не изменит на свободном, то и для него повторение состояния будет происходить спустя время 2Ть Следовательно, период продольных колебаний, которые возникнут в стержне с иесимметрич- 4! ными граничными условиями, Т, = 2Т, = —. с Суперпозиция гармонических колебаний, удовлетворяющих равенствам (16.69), (16.70) и (16.71), образует то собственное колебание, которое может возникнуть в стержне с симметричными граничными условиями.
Множество гармонических колебаний, которые описываются этими уравнениями, охватывает все нормальные колебания, свойственные такому стержню. Уравнения (16.72), (16.73) н (16.74) описывают собственные колебания, возникающие на участке среды с несимметричными граничными условиями. Колебания, возникающие в дискретной среде, представляют фундаментальное значение для изучения, например, такой системы, как кристалл. Рассмотрим кодномерный> кристалл, т. е. линейную цепочку из й + 1 атомов, разделенных друг от друга промежутками длиной д.
Его можно представить себе как неоднородную среду с периодически повторяющимися свойствами: М + 1 одинаковых масс и, связанных между собой невесомыми, упругими пружинами, подчиняющимися при деформациях закону Гука с коэффициентом пропорциональности между силой и смещением а. Рассмотрим продольныеволны, возникающие в такой линейной цепочке.
Совместим начало отсчета с левым крайним грузом. Грузы пронумеруем слева направо, начиная с 0 и кончая й! + 1. Будем считать, что груз совершает колебания под действием сил со стороны пружин, связывающих его только с соседними грузами. Зто предположение равносильно предположению, что атомы 394 в кристаллической решетке взаимодействуют только со своими соседями. Смещение масс вправо от положения равновесия будем считать положительным.
Сила, действующая между ! и ! + 1 грузами при их смещении из положений равновесия а (хгм — х,). Тогда для !'-го груза уравнение движения будет: л«х! «и — -' = и [ (х, +, — х,) + (х,, — х!) [, где ! = 0,1, 2, ..., И + 1. Как можно убедиться подстановкой, решение этого уравнения имеет вид: х, = А,яп — з!и««„1, !лл !у+! (16.78) если 395 ы„= 2ч/ ~ з!п (16.79) К Л«2(л!+1) где ! — номер груза, и — номер нормального колебания (и=1,2, „,).
Длина одномерной цепочки ! = (й! + 1) !«, расстояние от начала «решетки» до«-го груза равно Ы. Амплитуда А„=А,„з!и '"" а!+ 1 при ! = О и ! = л! + 1 для всех гармоник обрашается в нуль, т. е. х, = О и х„+, — — О. Цепочка наша аналогична стержню с закрепленными концами.
При й! ° и «! О распределение амплитуд совпадает с распределением для участка сплошной среды с закрепленными границами. Для Ж конечного, т. е. для дискретной среды, решение (16.78) имеет смысл только для дискретных зна!лл чений аргумента синуса —, соответствующего целочислен- М !.1' ным значениям !'. Таким образом, в дискретной системе, обладающей М степенями свободы, возможны й! нормальных колебаний, частоты которых определяются равенством (16.79). Как видно, они не являются кратными наименьшей частоты в, основного тона, как зто имело место в сплошной однородной среде. В области низких частот и (( й1: »/а ~ !У-[-1 х Условие и (( й! равносильно условию †' )) «!.
2 В самом деле, для и-го нормального колебания на длине цепоч- 2! ки ! укладывается и полуволн. Следовательно, и = —, а, с друл гой стороны (при М )) 1 ), М вЂ” и, следовательно, 1.„)) 2а'. ! д При увеличении и частоты гармоник в сплошной системе неограниченно возрастают. У дискретных систем частоты не могут быть выше, чем ~~=-2 !/ ~ з!и ' =2!/ " (при п=й1>>1) или х=2д, и 2(У+1) Г и Нормальные колебания сплошного стержня и линейного кристалла совпадают, пока длины волн, соответствующие этим нормальным колебаниям, велики по сравнению с расстоянием между соседними атомами. Легко видеть, что даже для самых высоких ультразвуковых частот дискретная структура тел не будет сказываться на распространении упругих волн. Расстояние между атомами в твердом теле порядка ! 10-' см.
При скорости распространения продольных упругих волн с,, = 5. 1(!е — длине волны 2. =- 10 ' см соотеех ветствовала бы частота ч = 5 ° 10 " сек-'. Это значительно выше ультразвуковых частот (см. гл. ХЧ!1, 9 О). Но, например, при изучении тепловых колебаний в твердом теле его уже нельзя рассматривать как сплошное. В тепловом движении соседние атомы колеблются беспорядочно около положения равновесия. Амплитуды и фазы меняются быстро и случайно. Поэтому в спектре тепловых колебаний должны быть гармоники, для которых длина волны сравнима с междуатомными расстояниями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
