Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Однако колебание системы, на которую действует сила сопротивления, с временем замедляется и отстает постепенно по фазе от колебания силы. Таким образом, даже если вначале колебания силы и системы происходят без сдвига фаз, то в дальнейшем такой сдвиг фаэ возникает. Величину сдвига фаэ и амплитуды колебания, выраженные через параметры системы и характеристики вынуждающей силы, мы найдем, если подставим решение (15.35) в уравнение (!5.34) и = (15.36) ~ )' ('"аэ ш')'+43' ' вз ме з Рис. 242.
Амплитудные резонансные кривые для систем с разливным затуханием. Наступление максимума амплитуды вынужденных колебаний при значении частоты вынуждающей силы, близком к частоте собственных колебаний системы, называется явлением резонанса или просто резонансом. Частота вынуждающей силы, при которой возникает резонанс, называется резона сной частотой (взр„), а величина максимальной амплитуды называется резонансной амплитудой. Она, очевидно, равна: врез (15.40) ы е В системе, для которой затухание мало, так что можно считать р = О, резонанс наступает при частоте вынуждающей силы, равной собственной частоте системы: (15.41) Однако надо помнить, что для реальных систем зто равенство всегда является приближенным.
Если частота вынуждающей силы становится больше собственной частоты системы, то квадрат разности квадратов частот (еззе— — озз)з возрастает, а амплитуда колебаний опять убывает, стремясь с ростом вз к нулю. Графическое изображение зависимости амплитуды колебаний данной системы от частоты вынуждающей силы называется амплитудной резонансной кривой (рис. 242). При изменении частоты вынуждающей силы изменяется и сдвиг фаз <р. Если вз (< оз„то из соотношения (! 5.37) следует, что ф близко к нулю.
Фаза вынужденных колебаний практически совпадаег с фазой вынуждающей силы. Когда вт принимает значение, близкое оз, сдвиг фаз достигает — —, т. е. сила опережает по фазе колее 2 банна на †. При дальнейшем увеличении частоты ет сдвиг фаз воз- 2 растает и когда ы )) ш, становится близким к — и, т. е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы. Кривые, изобра- 344 Рис. 243. Фззовые резонзисные кривые для систем с различным затуханием. жающие изменение сдвига фаз ~р при изменении частоты оз вынуждающей силы, назтнваются фазовыми кривыми резонанса (рис. 243).
Сдвиг фаз на — при резонансе имеет существеннейшее значение 2 для этого явления. Для уяснения роли сдвига фаз рассмотрим простой случай колебания пружинного маятника под действием вынуждающей силы (скажем, силы притяжения электромагнита, расположенного под маятником). Частота колебаний маятника и частота вынуждающей силы совпадают, а сила опережает смешение как раз на н (или четверть периода).
2 Пусть груз маятника находится в верхнем положении, пружина сжата и возвращающая сила начинает толкать груз к положению равновесия. Так как вынуждающая сила опережает смещение на —, 2 то она, пройдя через нуль, действует в том же направлении, что и возвращающая сила, т. е. в направлении движения груза. Когда груз пройдет положение равновесия, вынуждающая сила хотя и начинает убывать по величине, но направление ее по-прежнему совпадает с направлением движения груза. При достижении грузом крайнего нижнего положения вынуждающая сила вновь проходит через нулевое значение и, переменив направление, опять совпадает с направлением движения маятника под действием возвращающей силы.
Таким образом, в случае резонанса благодаря сдвигу фаз на — вынуждающая сила на всем пути колеблющейся системы, 2 335 совершает положительную работу, т. е. система все время получает энер~ ию. Если частота вынуждающей силы и собственная частота системы не совпадают и сдвиг фаз отличен от —, то на некоторых участках 2 пути системы вынуждающая сила направлена против смещения, т. е. совершает отрицательную работу, и условия пополнения энергии системы менее выгодны, чем при резонансе. й 5. РЕЗОНАНС Амплитуда и фаза вынужденных колебаний зависят от величины сопротивления среды и сил трения в системе.
Чем больше показатель затухания р, тем меньше при прочих равных условиях амплитуда вынужденных колебаний. Но сила сопротивления зависит от скорости движения колеблющейся системы, которая в свою очередь зависит от амплитуды (14.31). Поэтому затухание сравнительно невелико в областях частот, далеких от резонансных, и резко возрастает при резонансе. Так как с увеличением показателя затухания амплитуда вынужденных колебаний уменьшается, то крутизна резонансных кривых сглаживается (рис. 242). Участки кривой, где амплитуды малы (крайние участки), почти не испытываютизменения, а в области резонанса заметно опускаются.
Поэтому кривая резонанса с увеличением затухания становится менее острой. При значительном затухании резонансный ппк совсем исчезает и явление резонанса практически не наблюдается. Более пологими становятся и фазовые кривые резонанса (рис. 243). Резонанс широко распространен в природе, часто используется он в технике (человеческое ухо воспринимает звуки вследствие резонанса колебаний в ушной раковине, в радиотехнике резонанс позволяет отделить сигналы данной радиостанции от сигналов других, одновременно работающих станций, резонанс используется для измерения частот и для анализа сложных колебаний и т. д.).
Если в той или иной системе используется явление резонанса, то она должна конструироваться таким образом, чтобы затухание в ней было возможно меньшим. В ряде случаев резонанс оказывается нежелательным и даже опасным явлением. Академик А. Н. Крылов приводит следующий пример возникновения вследствие резонанса вибраций опасного масштаба. «...В нашем флоте был крейсер «Громобой» в !4 000 Т, сравнительно легкой постройки, стремя поршневыми машинами; когда он вышел... на первые ходовые испытания, то оказалось, что при 105 оборотах машин вибрация достигала наибольшей величины, именно полная амплитуда (т. е.
2а, — М. А.) колебаний в оконечностях и посередине судна составляла, как мною было измерено, 34б около 30 мм; при такой вибрации наводить орудия было невозможно, мина, вло. й женная в кормовой аппарат, на моих глазах каким-то образом сбила стопора, сама ушла из аппарата и была потеряна...» Роторы машин, турбин и т. п, прак- ,(! тически невозможно центрировать абсолютно точно.
Поэтому при вращении ротора сила, действующая на вал, меняет ааааа свое направление относительно оси вала и действует как периодическая сила, аоз- -т буждающая его колебания. Если частота изменения направления силы совпадает с собственной частотой колебаний вала, то амплитуда может возрасти настолько, что это приведет к разрушению вала. Скорость вращения вала соответствующая резонансу, называется критическом". Основные меры предупреждения резонансаа: ! ) обеспечение такого режима работы системы, при котором частота вынуждающей силы и собственная частота системы сильно различаются по величине. Например, скорость вращения совре- РИС. й44 СХЕМа УетРОйетаа менных паровых турбин значительно тели а аитомобильиом даипревышает критическую скорость; 2) гателе.
увеличение затухания колебательной системы (способы увеличения затухания колебаний рассмотрены в предыдущем параграфе). Рассмотрим в качестве примера предупреждение резонанса в газораспределителе автомобильного двигателя (рис. 244), в котором частота ударов по «толкателям» клапанов меняется с изменением скорости вращения распределительного вала (т. е. с измененном скорости движения автомобиля). При совпадении частоты ударов с собственной частотой клапанов создается опасность разрушения клапанов вследствие резонанса. С целью предупреждения резонанса пружины клапанов подбирают так, чтобы прп увеличении амплитуды колебания клапана часть витков прекращала свою работу, благодаря чему меняется коэффициент жесткости пружины, а с ним и собственная частота клапана. Поэтому резонанс не возникает при любой скорости вращения вала. 347 4 6, ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ Рассматривая сложение двух гармонических колебаний с разными частотами, мы отмечали, что иногда результирующее колебание не может быть представлено в виде простого гармонического колебания (например, биения).
В реальных системах колебания вообще лишь с извесчной степенью приближения могут рассматриваться как гармонические, они носят более сложный характер. Наблюдаются колебания настолько сложные по форме, что описать каждое из них одним гармоническим законом не представляется возможным. Однако естественно поставить вопрос: если в результате сложения простых гармонических колебаний возникают сложные, разнообразные по форме результирующие колебания, то нельзя ли представить сложные колебания как сумму простых гармонических? г ь," ала»= гм Рнс. 245.
Разложение сложного колебания на дна гармонических. Например, на рисунке 245 изображено сплошной линией колебание явно негармоническое. Но его можно получить, суммируя гармонические колебания с частотами оз, и вз, причем го»=- 2озо Таким образом данное сложное колебание может быть представлено в виде суммы «основного тона», соответствующего частоте «оь и «обертона», соответствующего частоте 2озь На рисунке 246 изображено колебание, которое может быть представлено в виде суммы трех колебаний с частотами, относящимися как 1: 2: 3, т.
е. в виде суммы «основного тона» и двух «обертонов» о»а = 2ы, н о»а = Зые Оказывается, разложение сложного колебания на ряд простых гармонических колебаний с частотами, кратными частоте сложного колебания, называемой основной час«нотой, возможно всегда. Притом для каждого конкретного вида колебания разложение можно сделачь единственным образом. Законы такого разложения сформулированы знаменитой теоремой Фррее, играющей огромную роль в современной науке и технике. Теорема Фурье позволяет матема- 348 Рис. 246. Разложение сложного колебания не три гармонических.
тически рассчитать для любой функции Дт) с периодом Т, заданной на промежутке от 7 до Г + Т, ряд гармонических функций с определенными амплитудами и фазами, частоты которых кратны основНОй ЧаСтОтЕ И СУММа КОТОРЫХ ДаЕт ФУНКЦИЮ 7 (з): 7" (мГ) = а + а, з!п(ег+~т) +аз з)п12м~+рз) +а, з1п (ЗмГ+из) + +... + а„з)п1пм1 + о,), (15. 42) Разложение произвольной периодической функции на сумму гармонических называется гармоническим анализом. Результат гармонического анализа часто представляют в виде так называемого спектра сложного колебания.
Для этого на горизонтальной оси откладывают частоты составляющих гармонических колебаний, а вертикальными черточками обозначают соответствующие им амплитуды. На спектре нельзя изобразить фазы колебаний, но нередко бывает достаточно знания частот и амплитуд. Разложение на простые гармо Дг нические колебания оказываетсг Ди возможным не только для периоди де -рг о ~~г ческих, но и типично непериодичес ду ких процессов (отдельный импульс, затухающие колебания и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
