Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Период затухающих колебаний в соответствии с (15.25): (15.28) Таким образом, период затухающих колебаний несколько больше периода колебаний той же системы в отсутствие затухания, что связано с некоторым замедлением движения, которое обусловливают силы сопротивления. Вычислим отношение амплитуд, отстоящих друг от друга во времени на один период: а, = а е а'! а<+т = а,е Ро+т!. Оно равно: а! аое а 1 а е Ьы-~-т1 а~ !т аи или = е"т = сопз1, (15,29) а, !-т т.
е. отношение амплитуд затухающего колебания, отстоящих друг от друга на интервал времени, равный периоду, постоянно во все время колебаний. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания: а =1п ' =рТ, (1 5.30) аь т или = — Т. (15.31) гт ЛогаРифмический декремент затухания, который характеризует быстроту убывания амплитуды, прямо пропорционален величине козффициента сопротивления и обратно пропорционален массе системы. 339 Теоретически амплитуда колебания, убывающая по экспоненциальному закону, обращается в нуль (т.
е. колебания полностью затухают) через бесконечно большой промежуток времени. Но практически величина их становится равной нулю спустя конечный промежуток времени. Обычно считают, что колебание затухло, если амплитуда стала меньше 0,01 начальной величины. Если коэффициент сопротивления среды достаточно велик, то движение системы теряет черты колебательного движения. Система просто медленно движется к положению равновесия. Колебания, при которых вследствие большого трения система не колеблется, а лишь медленно движется к положению равновесия, называются апериодическими. Переход от колебательного движения системы к апериодическому происходит (как легко получить из выражения (15.28), приравняв его знаменатель нулю) при г =2 !'ге.
На рисунке 240 приведен график апериодического движения. Затухание колебаний связано с расхоаованием энергии колебательного движения. Легко показать, что отношение энергий, соответствующих двум значениям амплитуды, отстоящим во времени на период: = ие" г. (15.32) Рис. 240.
График аие. риодического движения. Для поддержания колебаний, очевидно, необходимо восполнить убыль энергии в системе. Ниже мы рассмотрим закономерности, на которых основываются методы, позволяющие осуществить это восполнение. Нередко возникает необходимость в гашении возникающих колебаний, т. е. в создании условий, при которых расход энергии колеблющейся системы искусственно увеличивается. Паровая машина, газовые и паровые турбины, электрические машины и двигатели часто приходят в колебание из-за наличия неуравновешенных вращающихся частей (валов, роторов, дисков и т.
п.), из-за наличия частей, движущихся возвратно-поступательно (шатунов, поршней и т. п,). Причиной возникновения колебаний могут быть переменные давления газа, выхлопы и т. п. Подобного рода колебания (вибрации) ведут к преждевременному износу машин в целом и отдельных деталей, а иногда могут служить и причиной аварий. Образование и срыв вихрей на частях самолета также порождает вибрации, которые могут достичь опасных размеров. В измерительных приборах указатели (стрелки, зеркало на нити и т. п.) иногда совершают длительное время колебания около положения, соответствующего измеренному значению величины, что затрудняет точный отсчет.
Разного рода приспособления, позволяющие искусственно уве- 340 Рис. 24Е Схема автомобильного амортизатора. личивать затухание колебаний в системе, носят название демпферов или демпфирующих устройств. Примером может служить автомобильный амортизатор 1рис. 24!), предотвращающий раскачивание кузова на рессорах при езде по неровной дороге. Ои работает следующим образом. Когда колесо попадает на неровность и рессора сжимается, расстояние между кузовом и осью колеса уменьшается. рычаг амортизатора 1 поворачивается, как указано стрелкой, и кулак 2 передвигает поршень 3 в цилиндре амортизатора влево. Полость цилиндра амортизатора залита вязкой жидкостью.
Поэтому движение поршня возможно лишь по мере продавливания жидкости из левой полости 5 цилиндра через клапан б в правую полость 4. После сжатия рессора стремится подбросить кузов, что при отсутствии амортизатора возбудило бы его колебания. При «отдаче» рессоры кулак амортизатора поворачивается вправо и, перемещая поршень, продавливает жидкость через клапан 7 в обратном направлении.
При этом неизбежные колебания автомобиля на неровностях сильно ослабляются. Анало. гичен принцип устройства воздушных демпферов на микроаналитических весах. В некоторых измерительных приборах связанные с указателем металлические пластинки движутся между полюсами постоянного магнита. Возникающие в них так называемые вихревые токи вызывают появление сил, которые тормозят движение.
$ 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Система, выведенная из равновесия и предоставленная самой себе, совершает, как мы видели, свободные затухающие колебания, зависящие только от параметров системы и сопротивления среды. 341 Для поддержания колебаний такой системы необходимо восполнить убыль энергии в ней за счет работы тех или иных внешних сил. Колебания системы, которые совершаются за счет работы периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными, При этом, очевидно, система колеблется, в какой-то степени повторяя колебания внешней силы.
Вынужденные колебания совершают под действием переменных аэродинамических сил здания, мосты и т. и. сооружения, корпус и фундамент машин при вращении неуравновешенного ротора, мембрана громкоговорителя под действием магнитно~о поля, возбуждаемого переменным током, и т.
д. Допустим, что система в начальный момент времени находилась в покое. При действии на нее переменной внешней силы она приобретает энергию и постепенно раскачивается. Часть передаваемой ей энергии расходуется на преодоление сопротивлений. Поэтому колебания достигнут заданной величины, если работа внешней силы превышает убыль энергии в системе. Так как убыль энергии растет с ростом скорости колеблющегося тела, которая в свою очередь возрастает с увеличением амплитуды, то в конце концов потери энергии станутравными ее поступлению (т.
е. равными работе внешней силы). С этого момента колебания можно считать установившимися. Установившиеся вынужденные колебания происходят по тому же закону, по которому колеблется внешняя сила, и период их равен периоду колебаний внешней силы. Рассмотрим установившиеся колебания системы, на которую действует внешняя сила, меняющаяся по гармоническому закону: Р = Р созм1. (15.33) Возвращающую силу в системе будем считать квазиупругой, а сопротивление среды — линейным. Запишем уравнение второго закона динамики для движения системы: лз — + г — + йх = Р, соз м1. (15.34) лР Ф Так как установившиеся колебания должны происходить также по гармоническому закону и с той же частотой, что и колебания внешней силы, то решение уравнения (15.34) в общем случае должно иметь вид: (15.35) х = й соз (М + т) В выражение (15.35) мы ввели сдвиг фаз ~ из следующих соображений.
Допустим, в начальный момент времени система находилась в покос, а затем на нее подействовала внешняя сила. Внешняя сила в течение четверти периода нарастает, совершая при этом положительную работу и отводя систему от положения равновесия. В конце четверти периода и сила, и смещение системы достигают мак- 342 159 = (15.3?) '"о '" где гэ, — собственная частота колебаний снстемьь 'р — показатель затухания. Из последних равенств видно, что амплитуда и фаза вынужден> ых колебаний зависят от разности квадратов частот собственных и вынужденных колебаний и от показателя затухания системы. Из соотношения (15.37) следует, что сдвиг фаз между вынуждающей силой и колебаниями системы равен нулю, если затухание в системе отсутствует (р = О).
Во всех других случаях моменты наступления максимума силы и максимума смещения системы не совпадают. Равенство (!5,36) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Если затухание в системе весьма мало (р = О), то амплитуда колебания данной системы зависит от частоты вынуждающей силы га.
Пусть ы (( ы„тогда приближенно о го а таз о (15.38) т. е. амплитуда примерно равна статическому смещению, которое может создать постоянная сила г",. По мере увеличения частоты вынуждающей силы разность га — ы' убывает и амплитуда вынужденных колебаний растет. Когда г» = ы„амплитуда теоретически должна возрасти до бесконечно большой величины, но так как во всякой реальной системе непременно имеет место затухание, то она приобретает лишь некоторое максимальное значение. Условие наступления максимума амплитуды найдем, приравняв нулю производную подкоренного выражения в знаменателе равенства (15.36) и решив относительно ви ~/,„2 йгг (15.39) 343 симума. Далее внешняя' сила убывает, и система под действием возвращающей силы движется к положению равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
