Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Вообше говоря, выведенный из положения равновесия груз движется под действием двух сил — силы упругости пружины и силы тяжесып (14. 16) Если в положении равновесия пружина растянута на величину х„ то — йх, = тл. Тогда г" = — /гх,+ ях, =- — /г(х, —,х,) = — /гх, где х=х,+х смещение от положения равновесия. Уравнение движения груза: снх пт — = — ях. й~ (14.17) или дух ь — = — — х. аР И Уравнение это имеет формально тот же вид, что и уравнение (14. 4).
ь Полагая — = ы', получим закон гармонических колебаний: х = аз!п(а+э,), (14.18) 3!1 Из этого выражения следует, что период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в дан. ном месте Земли и от длины маятника. Период не зависит от амплитуды колебания и от массы груза, что легко проверить на опыте. Надо только помнить прн этом, что размеры груза должны быть малы по сравнениюсдлиной подвеса и что должен быть мал также угол отклонения маятника.
Частота гармонических колебаний математическрго маятника где ш= ~/ Период колебаний Т= 2к 1~— Е А ~1 4.! 9) и частота ч= (14.20) 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЗАПИСЬ КОЛЕБАНИЙ Положим, материальная точка массы т равномерно движется по окружности радиуса а с круговой скоростью «ь Как мы знаем, такое движение возможно, если на точку действует сила, направленная в любой момент к центру окружности н равная тв'и (рис.
215). Примем за оси координат два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, а начало координат поместим в ее центр. Найдем закон движения точки в направлении выбранных осей координат. 3!2 Частота собственных колебаний пружинного маятника прямо пропорциональна корню квадратному из отношения козффиш:ента жесткости пружины к массе груза.
Гармонические колебания пружинного маятника возникают под действием упругой возврашаюшей силы. Период его колебаний не зависит от веса тела, а только от его массы и жесткости пружины. Данный маятник будет совершать колебания с одинаковым периодом в любой точке земной поверхности, на другой планете или в межпланетном корабле. Зто свойство пружинного маятника может быть, очевидно, использовано для сравнения масс различных тел. Оба случая возникновения колебаний, рассмотренных нами, позволяют сделать заключение, что малые колебания систем!и около положения устойчивого равновесия под действием возвращающей силы, прямо пропорциональной смещению, будупг гармоническими. Типичный пример силы, величина которой прямопропорциональна смещению, — упругая сила.
Г1озтому принято силы, прямо пропорциональные смещению, но по своей природе не являющиеся упругими, называть квазпупругими силами !от латинского Чцаз!— «якобыа, «мнимый«). Таким образом, гармонические колебания возникают в системах с упругими и квазиупругими возвращающими силами.
Колебания, зависящие только от параметров системы, называются собственными колебаниями, а нх частота — собственной часп!отой. Очевидно, силами, заставляющими точку смещаться вдоль направления осей, будут составляющие силы Р = — татаа. Найдем их: Р, = — т аасоз~, 114.21) Р„= — тоРа сбп сч. Но асозч =х аз)по=у, где х и у — смещения точки от начала координат. Тогда Р = — тоРх, (14.22) т" у. т Так как выражения для сил Р„и Р„формально совпадают, рассм трим движение точки лишь в йа- правлении, скажем, оси х.
Уравнение движения точки вдоль направления оси х: к'х т — = — тшх, Иса или Д~х а — = — щ х. а1е (14.23) Сравнивая это уравнение с уравнением (!4.6), видим их полную аналогию. Следовательно, движение проекции материальной точки, равномерно обращающейся по окружно- сти, на диаметр зтои Окружности рис.
215, движение проекции происходит по гармоническому за- точки, обращащщезси по оккону. ружиости, как колебательное В то время когда точка сделает один полный оборот по окружности с круговой скоростью щ, ее проекция совершит полное колебание вдоль диаметра. Так как круговая скорость точки в радианах: Т (14.24) то число колебаний в секунду проекции точки (частота ее колебаний) равно: ч 1 о (14.25) Т ак 313 Следовательно, круговая скорость характеризует число полных колебаний за время 2п сек, которые совершает проекция обращающейся по окружности точки на диаметр окружности. Поэтому круговую скорость и называют круговой или циклической частотой. Положим, система колеблется под действием квазиупругой силы.
Пусть в момент начала счета времени система находится в положении, которое определяется радиусом-вектором ОА. Угол, составленный начальным положением радиуса с фиксированным диаметром, обозначим ~р„, тогда для любого момента времени Г угловое расстояние точки от данного диаметра а = иГ+ ~р„. Таким образом, фаза колебания характеризует положение точки на окружности в данный момент времени. Фаза выражается в радианах. Угол ~р„ характеризует положение точки в момент, соответствующий началу отсчета времени (Г = О), почему его и называют начальной фазой. Угол ~р, может быть как положительным, так и отрицательным.
Смещение проекции точки от центра окружности вдоль диаметра ОА '. х = х сов (оя' + у ). Если начальня фаза ф„= О и х, = а, то х = асозмй (14.26) Д Если начальная фаза ~р, = †, х = а, то (14.27) х= — аз!п и' Решение (14.7) отличается от решения (14.8) уравнения (14.6) лишь тем, что начальная фаза одного отличается иа — от начальной 2 фазы другого: а з1 и ~ шГ + ~Г, + — х ') = а соз (юГ + Ч,). 2 / Начальная фаза определяется выбором начала отсчета времени.
В колебательном процессе, который по существу своему есть процесс многократно повторяющийся, выбор начала отсчета времени безразличен. Поэтому мы можем при исследовании одного и того же гармонического колебания начать отсчет времени, когда <р, = О, или когда у, = —, или в любой другой момент. При этом закон данного колебательного движения будет иметь соответственно вид (14.26), (14.27) или (14.7) н (14.8). То, что движение проекции точии, равномерно обращаюшейся по окружности, представляет собой гармоническое колебание, позволяет любое гармоническое колебание условно представлять как ЗИ результат некоторого вращательного движения и строить так называемые векторные диаграммы колебательного двилеенил. Для векторного изображения колебания, происходящего с амплитудой а„ частотой аз и начальной фазой !р„, на горизонтальной прямой, изображающей условно выбранный диаметр, возьмем произвольную точку О (рис 216). В направлении, составляющем с горизонтальной линией угол, равный начальной фазе фм, отложим вектор, длина которого рави! в выбранном масштабе амплигуде колебания а,.
Тогда, оче видно, начальное смещение изобразится проекцией вектора а, на горизонтальную прямую: х, = и, соз ~раг Откладывая вектор длиной а, в направлении, которое определяется фазой аз,з + !рам получим смещение х, в любой момент времени г: х, = а,соз(м,з+т„). (14.28) Вращая вектор с угло- О вой скоростью аз и проецируя его конец на горизонтальную Рис. 2!6.
Векторная диаграмма двух ось, подучим колебание про колебаний с амплитудами аз и аа и начальными фазами фа, и кза. екции с амплитудой ао частотой аз, и начальной фазой ф,м На том же чертеже можем аналогично изобразить любое другое гармоническое колебание, например, происходящее с амплитудой а„ частотой азз и начальной фазой !р„з. Для него закон колебания будет: х, = пасов(ма!+ма ). (14.29) Разность фаз (аз,1 + !р„,) — (азз! + !р„з) двух колебаний называется сдвигом фаз, Величина разности фаз, т.
е. угол между векторами а, и а,, в случае разных круговых частот изменяется. Если же частоты колебаний равны (аз, = азз), то сдвиг фаз равен разности начальных фаз колебаний ф„, — ~р„з и остается неизменным во все время колебаний (так как векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью). При сравнении двух и более колебаний, очевидно, начало отсчета времени должно быть выбрано общим, н его уже нельзя задавать произвольно для каждого отдельно взятого колебания. Для изображения хода колебательного процесса во времени строят так называемые графики колебаний. По горизонтальной оси в выбранном масштабе огкладывают время или пропорциональную времени величину а!1, выраженную в радианах, а по вертикальной оси — величину смещения, Полученные кривые в зависимости от 3!б закона колебания (14.7) или (14.8) соответственно представляют собой синусоиду или косинусоиду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
