Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Сложение двух колебаний -Р - сбливкимнча охами. Нижняя кри- одолжая расти, сдвиг фаз достигает 2п вая иаображаех результирующее кои амплитуда результирующего лебание (биение). колебания опять оказывается равной удвоенной амплитудесоставляющих колебаний. На рисунке 234 изображено возникновение биений, т. е. периодического измене- ния амплитуды при сложении двух колебаний близкой частоты, Если амплитуды составляющих колебаний не равны, то амплитуда результирующего колебания не спадает до нуля, а проходит при сдвиге фаз и через минимум. В случае биений мы можем колебание (15.9) рассматривать как гармоническое, но происходящее с переменной амплитудой: а = 2аа сои ' ' (. 2 (15.12) Частота биений равна полуразности частот составляющих колебаний.
Кривая изменения амплитуды со временем представляет собой огибающую кривой 3 на рисунке 234. Для демонстрации биений можно использовать электронный осциллограф, на вертикальные пластины которого подается напряжение от двух генераторов электрических колебаний. Если частоты электрических колебаний, посылаемых генераторами, слегка рузличаются, то на экране осциллографа возникает характерная картина биений. у),-обсел ' ! лр 'в' Рис. 235. Сложение двух колебаний с кра|иыии периода~ н Если складываются несколько колебаний одного направления, частоты которых кратны частоте наиболее медленного из них, то, очевидно, периоды всех колебаний укладываются целое число раз в периоде наиболее медленного колебания.
Результирующее колебание имеет тот период, что и наиболее медленное, но форма его бо. лее сложная (рис. 235). э й. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ Рассмотрим движение точки, участвующей одновременно в двух колебаниях, направления которых взаимно перпендикулярны. Этот случай колебаний можно наблюдать на электронном осциллографе, если, создав переменное напряжение от одного генератора л а, или а, х= — у, ог (15.15) т, е. светящаяся точка движется по прямой, проходящей через положение равновесия (начало координат) и составляющей с осью х угол, тангенс которого определяется соотношением: пг (15.16) па Результирующее смещение, отсчитанное вдоль этой прямой: 3= )I х'+у' = )г' а~г+ая созы1= асозея.
(15,17) 334 электрических колебаний на вертикальных пластинах, отключим генератор развертки с горизонтальных пластин (что возможно в подавляющем большинстве современных осциллографов) и подадим на них напряжение со второго генератора электрических колебаний. Пока генераторы не включены, электронный луч проходит по оси отклоняющих пластин и создает светящуюся точку в центре экрана.
В этой точке мы поместим начало координат, а за оси возьмем горизонтальный (ось х) и вертикальный (ось у) диаметры (рис. 236). У Включим генератор, соединенный с вертикальными пластинами. Частота колебаний напряжения этого генератора пт. Светящаяся точка смещается по вертикальной оси, совершая колебания по гармоническому закону: -а, я=а,созот. (15,13) — — +-х -аг Подключая генератор, дающий ту же частоту колебаний, к горизонтальным пластинам при отключенных вертикальных пластинах, мы заставим светящуюся точку смещаться по экрану в горизонтальРис.
236. Результат сложения ном направлении по закону: двух взаимно перпендикулярных колебаний, происходягпих с оди. у = аз сов ыг. (15 14) иаковой частотой пРЯ сдвиге фаз, У виения (15 13) и (15 14) и е ставляют собой в сущности кинематические уравнения движения точки. Если мы из них исключим время, то получим уравнение траектории, по которой движется светящаяся точка, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: Длила отрезка, пробегаемого точкой, равна удвоенной амплитуде результирующего колебания: 2а= 2 )/ ав+ав. 115.18) Х = а 51П вп, Тогда в момент возникновении колебаний по оси х вдоль оси у смещения отсутствуют. Светящаяся точка получает смещение, рав- ное а. т. е.
совершает четверть колебания и оказывается в крайнем правом положении, после того она участвует уже в двух движениях, возвращаясь к положению равновесия по оси х и отклоняясь по осн у вверх. Колебания происходят по закону: х = а 51п ~мГ+ — 1 =- а соз ыт, 3 / (15.19) у = а 5 1 п ввУ. Траектория светящейся точки в этом случае — окружность х2+ у2 а2 (15.20) которую точка обходит против часовой стрелки. Если сдвиг фаз 3 равен — и, то траектория также окружность, но точка обегает ее по 2 часовой стрелке.
1Точка начинает двигаться вверх, находясь в край- нем левом положении.) Если амплитуды колебаний (15.19) не равны, то легко видеть, что точка движется по эллипсу: х „, у — = СО5 вв2; — = 5!Пай а, ввв Исключая время, получим: хв ув — + — =1 а2 а2 1 2 (15.21) 333 Таким образом, точка, участвующая одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одной частоты при сдвиге фаз между ними, равном нулю, совершает гармоническое колебательное движение вдоль отрезка прямой, который служит диагональю прямоугольника, образованного отрезками прямых х = нс а, и у=+ а„отсекающих на осях х и у отрезки длинои 2а, и 2а,. Нетрудно показать, что при сдвиге фаз составляющих колебаний на и колебание светящейся точки происходит по другой диагонали прямоугольника.
Рассмотрим случай, когда составляющие колебания сдвинуты по фазе на —. Для определенности положим, что колебание вдоль 2 оси х опережает по фазе колебание по оси у и отсчет времени производится от момента, когда светящаяся точка находится в начале координат: т. е. уравнение эллипса с осями, совпадающими по направлению с направлением составляющих колебаний. Полуоси эллипса равны а, и аэ (рис. 237), Движение точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях равной часгпоты с разными амплитудами и сдвигом сйаз в — ', происходитпоэллип- Я ' су с полуосями а, и а„лежащими на направлениях составляющих колебаний, Эллипс вписан в прямоугольник, образованный отрезками пря- мых х = л п1 и у ~ ая. То же наблюдается при з сдвиге фаз, равном — я, но точ- г ка обегает эллипс в этом случае в противоположном направлении.
Если отношение амплитуд меняется, то эллипс деформируется, не меняя своего положения относительно направлений составляющих колебаний. Если меняется сдвиг фаз, то эллипс одновременно и деформируется и меняет свою ориентацию относительно указанных направлений (рис. 238, а). Если периоды составляющих взаимно перпендикулярных колебаний радаижется по эллипсу. зличаются на малую величину, то сдвиг фаз плавно меняется, принимая последовательно все возможные значения, и эллипс постепенно поворачивается и деформируется. Однако и при этом он остается вписанным в прямоугольник со сторонами 2а, и 2аь Изменим частоту одного из генераторов заметным образом.
Тогда колебания светящейся точки будут по-прежнему происходить во взаимно перпендикулярных направлениях, но сдвиг фаз будет сильно меняться в пределах одного периода, и мы получим сложную запутанную картину движения точки. Прямоугольник, в котором поворачивался эллипс, окажется сплошь заполненным траекто. риями светящейся точки. Картина упрощается, если частоты (периоды) взаимно перпендикулярных колебаний кратны друг другу. Пусть еэ, = 2саа (рис. 238, б), По истечении одного периода колебания Та в направлении оси у точка должна вернуться в началь- ззб 0 зз раз !З5 таа "' ~ООГ т ) епр' Я 'С ( "Ра! Й5К -ЗЯРЯЗ Рис.
238. Фигуры Лнссажу при отношении частот 1: 1, 1; 2, 1: 3, Р: 3, изображенные через 45' сдввга фаз. ное положение, так как оно равно двум целым периодам колебания Т, вдоль оси х. Поэтому траектория точки должна быть замкнутой кривой. Вместе с тем точка за время Т, два раза достигает крайних положений + а, и — а, и один раз — аа и +а,. Следовательно, она один раз коснется сторон прнмоугольника, отстоящих от оси у на расстоянии аз, и дважды сторон, отстоящих от оси х на расстоянии аь Вид траекторий зависит от фаз составляющих колебаний, а число точек касания определяется отношением частот. Эти траектории называют фигурами Лиссалсу, по имени французского ученого их впервые наблюдавшего.
На рисунке 238 изображены фигуры Лиссажу для разного соотношения частот и разных сдвигов фаз. $ 3. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ Всякое реальное колебание происходит с постепенным расходованием энергии движения на работу против сил трения и на излучение, т.
е. отдачу энергии во внешнюю среду, которую возмущает колеблющееся тело. При этом амплитуда и скорость колебательного движения убывают. Происходит затухание колебаний (рис. 239). Затухающие колебания, строго говоря, уже не будут гармоническими и даже периодическими, так как характеристики колебания через период в точности не повторяются. Однако если расходование энергии происходит медленно, то их можно рассматривать приближенно как периодические, 337 Периодом затухающих колебаний называют время, в течение которого система дважды проходит положение равновесия в одном и том же направлении.
Амплитудами затухающих колебаний называют наибольшие значения смещения, скорости и ускорения, которых они достигают в пределах одного периода. Закон убывания амплитуды затухающих колебаний зависит от характера сил сопротивления. Практически наиболее интересен случай малых колебаний, при которых обычно скорость тела невелика и сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. Положим, система колеблется под действием квазиупругой возвращающей силы в среде, сопротивление которой линейно зависит от скорости. Тогда второй закон ьт динамики для системы запишется в виде: И'х т — = — йх — г —, (15.22) ох о лр = т где г — коэффициент сопротивления.
г Зто уравнение носит название дифференциального уравнения свощих кояеаяяиа дн, еб й в сРеде с линейным сопротивлением. Решением уравнения (15.22) является следующая функция времени: х(1) = а,е '"' сов(ьт+ р,). (15.23) Величина (15.24) называется показателем затухания.
Значение а„соз ~Р, = х„которое принимает функция в момент г = О, называется начальной амплитудой. Частота колебания: э/Й ы ы= У т 4м'' (15. 25) Последнее выражение можно переписать, введя показатель затухания: (15.26) где св, — частота свободных колебаний той же системы в среде без трения, т. е, собственная частота. Как следует из равенства (15.23), амплитуда колебаний, происходящих в среде с линейным законом сопротивления, убывает по экспоненциальному закону: а = аае-а'.
(15.27) Графически изменение амплитуды со временем изображается огибающей кривой затухаю!цих колебаний (пунктир на рис. 239). Частота затухающих колебаний и показатель затухания определяются свойствами системы и среды, в которой происходит колебание. Величины а, и~р, определяются, как и для свободных незатухающих колебаний, начальными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
