Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(14 44) Из выражения для приведенной длины физического маятника следует т1„= —. Подставив в предыдущее равенство, получим: 1'= — 1+ — (1„— 21) =! (14. 45) ! Найдем приведенную длину 1„для случая, когда точка подво помещена в центр качания: 1п — " .
(! 4.46) ~и (1п 0 Ьгг (~п 0 /УН Правая часть равенства (14.46) представляет собой приведенную длину данно~о маятника при старой точке подвеса. Следовательно, (14. 47) Приведенная длина не изменяется при переносе точки подвеса в центр качания, а следовательно, период качания физического маятника в этом случае остается неизменным. Простейший оборотный маятник состоит из стержня с двумя чечевицами (одной полой и другой сплошной, тяжелой) и двух упоров с ножами, на которых подвешнвается маятник. В процессе измерения находят такое положение чечевиц, при котором маятник, подвешенный на одном и другом упоре, колеблется с одинаковым периодом.
Тогда расстояние между ножами упоров как раз равно приведенной длине маятника. Оно измеряется с большой точностью. Зная приведенную длину и период колебаний маятника, можно вычислитьь ускорение силы тяжести. Хотя существующие теперь методы измерения величины и с помощью оборотного маятника не требуют нахождения положений чечевиц, при которых периоды маятника, подвешенного на одном и другом упоре, точно совпадали, тем не менее измерение зто сложно. Для того чтобы обеспечить требуемую высокую точность измерений, необходимо учесть влияние разных причин, так или иначе 4 З. ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Положим, система совершает собственные гармонические колебания. При отсутствии сил трения гармонические колебания продолжаются неограниченно долго, так как полная энергия замкнуй системы постоянна (гл. т'П1, Э 4).
Полная энергия механической темы складывается из энергии кинетической и потенциальной. процессе колебания величина каждой из них периодически меняется. В самом деле, в положении наибольшего отклонения величина кинетической энергии равна нулю, так как скорость движения системы в этот момент обращается в нуль, а потенциальная энергия имеет максимальное значение. В положении равновесия потенциальная энергия приобретает минимальное значение, а величина кинетической энергии при этом достигает максимума. Пусть система колеблется по закону.' х = асов(вт+ч,). Кинетическая энергия системы равна: Е,. =- —. 2 (14. 49) Потенциальная энергия системы, находящейся под действием силы вида Е = йх, равна (см.
гл. Ч)П, Э 3): и= — "". 2 Подставляя значения х и о в формулы (14.49) и (14.50), получим: (Гп + то) ~~ мп (~~+ РО) (! 4.51) 2 2 где йа' саэ~ (ш7 + Ч,) 2 (14. 52) 327 искажающих период колебаний или приведенную длину маятника (температура и др.). Поэтому так называемые абсолютные измерения, при которых непосредственно измеряется величина ускорения силы тяжести, представляют большие трудности и производятся лишь в немногих пунктах земной поверхности (на территории СССР в Москве, Пулкове, Тбилиси и немногих других).
В других же пунктах измерение производят с помощью приборов, называемых гравиметрами, Величина ускорения силы тяжести в этом случае получается сравнением периода колебаний маятника в данном месте с известным значением периода в месте абсолютного измерения, где и определено. Сравнивая выражения (14.51) и (14.52), видим, что величина кинетической и потенциальной энергии колеблется со сдвигом фаз, равным —. Следовательно, минимуму кинетической энергии в по- 2 ложении максимального отклонения соответствует максимум потенциальной энергии.
Выражения (14.51) и (14.52) могут быть переписаны в виде: за~ ьаэ Е„= — — — соз (2ы! + 1~') (14.53) 4 4 ьаэ ьа' и= — + — со (2 !+~,'). 4 4 (14.54) Таким образом, кинетическая и потенциальная энергии колебАа' лютея около некоторого среднего значения — в частотой, вдвое 2 ьа~ большей, чем частота колебания системы, изменяясь от нуля до —, 2 в течение каждого полупериода колебания системы.
Сложив выражения (14.53) и (14.54), получим значение полной энергии системы: Йа~ аьо2а~ Е = Е„+ У = — = — = сопз1. (14.55) 2 2 Так как величины, входящие в правую часть выражения (14.55), для данной системы постоянны, то мы получаем математическое подтверждение того, что полная энергия системы, колеблющейся по гармоническому закону, постоянна. Полная энергия гармонического колебательного движения прямо пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты колебания. Итак, гармонические колебания, возникшие в системе, устойчивы и продолжаются сколь угодно долго, если на систему не действуют внешние силы (за счет работы которых энергия системы могла бы возрастать) и в системе отсутствуют силы трения и другие силы, которые могли бы привести к рассеянию энергии. Как мы указывали (гл.
НП1, Э 1), энергия может быть выражена через параметры, характеризующие состояние системы, По отношению к определенным физическим явлениям она выражается через те параметры, которые специфичны для данных явлений. Выражение (14.55) представляет собой запись формы закона сохранения и превращения энергии для колебательного движения (в случае отсутствия потерь механической энергии). ГЛА ВА ХЧ СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ х, = а,соз(ен'+ем), 1 х, = о,сов(а+о„,). (15.1) Построим векторные диаграммы зтнх колебаний (рис.
231). Результирующее смещение х тела, участвующего одновременно в обоих колебаниях, равно сумме проекций хе н хе на ось х векторов а, и а„илн, что то же, проекции вектора а = а, + аь Так как векторы а, и ае вращаются с одинаковой угловой ско. ростью в, то сдвиг фаз (угол ~рм — <р„) между ними остается постоянным. Изображенный на рисунке 231 треугольник вращается как жесткий, его стороны вращаются е той же угловой скоростью, что и векторы а, и ам Очевидно, уравнение результирующего колебания будет: х= х, +х, = асов(аГ+ р ), (15.2) а' = а',+а'+ 2а,а соз(еы — т,), (13.3) где 329 й Е СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ Тело может участвовать в нескольких колебательных движениях одновременно.
Например, пружинный маятник, находящийся на корабле, совершает, кроме собственных, еше колебания вместе с кораблем на морских волнах. Относительно неподвижной системы координат маятник совершает сложное, но опять-таки колебательное движение. результирующее смещение тела, участвующего в нескольких колебательных движениях, получается как геометрическая сумма независимых смещений, которые тело приобретает, участвуя в каждом из слагающих колебаний. (Принцип суперпозиции, или наложения, колебаний.) Положим, тело участвует одновременно в двух гармонических колебательных движениях, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами иамплитудами: а начальная фаза ф, определяется соотношением: а, Мп тн + и, Мп тот (15.4) (афо = о, сот ты+ а, сох Чн Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, совершает гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и составляющие колебания.
При этом величина амплитуды результирующего колебания зависит от сдвига фаз ф,т — ф„составляющих колебаний. Если сдвиг фаз между составляющими колебаниями равен нулю или 2пп, где и — целое число, то ас =- а', + а, '+ 2а,а, =. (а, + ат)'. Откуда а =- а, + ат, (15.5) т.
е. при сдвиге фазфчт — фм=2пп, где п = О, 1, 2, 3, ..., амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд составляющих колебаний. О Если а, =- а„то амплитуда результирующего колебания а = 2а, =- =. 2ат т. е. амплитуда в РезУльтате Рнс 231 пекторное сложение сложения колебаний удваивается. Так двух хопсопннй одного ннпопппкак энергия колебаний пропорцио- лсння н частоты. нальна квадрату амплитуды (14.55), то в этом случае происходит увеличение энергии в четыре раза. Если сдвиг фаз равен нечетному числу и, т.
е. ф,х — фс~ = = (2п + 1)п, где и = О, 1, 2, 3, ..., то а' = а',+а,'— 2а„а, = (а, — а,)' или — 1-:, соз(от — ф,) -. 1, !а,— а,) =: а т а,+а,. то (15. 7) а =1ат — а, ~, (15.6) так как по смыслу а) О. При разности фаз ф„— фм = (2п + !)и, где и = — О, 1, 2, амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значеншо разности амплитуд составляющих колебаний.
Колебания ослабляют друг друга. Если а, =- а„то амплитуда результирующего колебания а = О, В этом случае тело остается в покое, колебания гасят друг друга. Так как При сдвиге фаз, равном нечетному числу — ", т. е. грег — грет = 2л+ 1 и, где 2 а=О, 1,2,..., аг = а'+ а' г=гг тай и ча гаа т.- а л ~/ l г Сл Гг Рис. 233.
Векторная диаграмма сложевня двух гармонических колебаний с разной час~о. той и разными амплитудами. л9'= 2 л еЛ Рис. 232. Графики сложения двух колебаний одного направления и частоты. различные периоды, то результирующее колебание негармоническое. При сложении негармонических колебаний с разными периодами результирующее движение может быть в общем случае непериодическим. Рассмотрим случай сложения двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода. 331 - ~' лй7 (15,8) В этом случае энергия результирующего колебания равна сумме энергий составляющих колебаний. На рисунке 282 изображены графики составляющих и результирующего (утолщенная линия) колебаний для случаев сложения двух колебаний одного направления и одинаковой частоты с различными сдвигами фаз Ьф.
Графики результирующих колебаний получены путем алгебраического суммирования смешений всостав- ляющих колебаниях, соответй(я=0 ствующих одному моменту времени. Если составляющие гар- монические колебания имеют а одинаковые направления, по Построим на диаграмме векторы а, и и в для начального момента времени (рис. 233) и для момента времени й Как можно видеть из чертежа, угол между векторами а, и ав со временем меняется, так как угловые скорости вращения векторов различны. Значит, амплитуда результирующего колебания меняется со временем. Угловая скорость ее вращения непостоянная, и, следовательно, колебание происходит по закону, отличному от гармонического. Пусть амплитуды колебаний одинаковы и начальные фазы равны: пь пв е и 'ра1 гав хе' Тогда х = а, соз (ю,г + р,) + а„соз (юяг + ра), х= 2аесоз ' ' г соз ~ ' ' г+р ~).
(15.9) Амплитуда результирующего колебания периодически изменяется по абсолютной величине. Период ее изменения: откуда Т, = 2п: 2 Период изменения смещения: Т=2я: "'+ 2 (15.10) (15.11) 332 Очевидно, Т,) Т. Если частота соя мало отличается от вь то возникает явление, которое носит название биений. Чтобы представить себе процесс возникновения биений, положим, что два колебания равной амплитуды и почти одной частоты в начальный момент совпадают по фазе. В этот момент колебания происходят с 2 Ц1)4 Ы$)й удвоенной амплитудой. Затем фазы колебаний медленно расходятся и через некоторое время сдвиг фаз между колебаниями достигает величины и. В этот момент колебания гасят друг друга и амплитуда результирующего колебания Рис. 234.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
