Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием сил, и неизвестные нам величины сил трения и реакции плоскости. Возьмем неподвижную систему координат, ось к которой направлена вдоль л наклонной плоскости, ось у — ей перпендикулярно. Напишем уравнение дви- I l жения центра масс цилиндра вдоль выбранных осей: ж о озл — — = 0 з(па — г'; (9.57) .Ф я огя Рис, 96. Качениецилнндра без скольжения о о'т у Ос я (9 66) с наклонной плоскости.
а о1 194 (9.59) Составим основное уравнение вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс тела. Моменты сил тяжести и реакции плоскости относительно этой оси равны нулю. Угловое ускорение определяется только моментом силы трения и моментом инерции тела: (9.60) Согласно равенству (9.57) ускорение поступательного движения центра масс цилиндра: — ' = — ((т'з(па — Р).
чве и ог о (9.61) Ускорение вращательного движения из уравнения (9.60): бм Г)т (9.62) щ П р и и е ч а н и я. !) Уравнение моментов (9.60) мы могли составить не только относительно оси, проходящей через центр масс, но и относительно любой другой, в частности мгновенной оси. Однако зто осложнило бы задачу (пришлось бы вычислять момент количества движения относительно оси, перемещающейся в теле). 2) Система уравнений (9.61) и (9.62) указывает на существенное значение при качении тел сил трения.
В задачах о качении тел нельзя пренебрегать трением (даже малым). Без учета сил трения уравнения описывают только поступательное движение. Это надо помнить, так как наибольшее число ошибок при решении задач о плоском движении связано с недоучетом сил трения. 3) Уравнение (9.61) или (9.62) не содержит условия отсутствия скольжения и потел~у справедливо независимо от того, происходит движение со скольжением или без него. Однако при дальнейшем решении задачи нам придется уточнить, как происходит движение. Уравнения (9.61) и (9.62) содержат три неизвестных: Р; — ' и —, бог Н» Ф ги Определив характер движения, мы получим третье уравнение, которое позволит найти решение. Положим, цилиндр катится без скольжения, тогда <1о ом — = А —.
ММ от В этих двух уравнениях четыре неизвестные величины. Дополним систему уравнений. Во время движения цилиндр не покидает азу плоскость. Следовательно, — =О. Подставив это выражение в отз уравнение (9.56), получим: Ф =- (т'соз х. Решая совместно уравнения (9.62) н (9.63), получим: Ыу — / г" = Ф // й Подставив в формулу (9.61) найденное значение г, определим — : Й~ к/' <~о Омпер дмпа а о — + — !+в к л~ ей~ с где т = — — масса цилиндра. И Сила трения: омпй т//' !+— / Ускорение тела тем больше, чем меньше момент инерции. Сила трения тем больше, чем больше момент инерции. Зависимость величины ускорения от момента инерции можно показать на опыте с двумя (полым и сплошным) цилиндрами одинаковой массы и одного радиуса, скатывающихся с одной наклонной плоскости.
Момент инерции полого цилиндра больше, чем сплошного, так как частицы его при той же массе расположены дальше от оси. Сплошной цилиндр скатывается быстрее. В рассмотренном нами случае качения без скольжения между цилиндром и плоскостью действует сила трения покоя. В самом деле, сила трения действует по линии касания цилиндра и плоскости, т.
е. по линии, на которой относительная скорость частиц цилиндра и плоскости в каждый момент равна нулю. Если величина сил трения Р (необходимая, чтобы скольжение ие возникало) не достигает максимальной величины силы трения покоя Р,„, то цилиндр скатывается без скольжения. Если же окажется,чтоР)Е возникнет скольжение. чч Йо При скольжении условие — = /т — не выполняется. й/ ш Для решения уравнений (9.61) и (9.62) надо либо вместо условия (9,63) задать аналогичное условие, учитывающее скользящее движение тела, либо значение силы трения скольжения. ~Ь Ускорение — может быть найдено и иным путем, например, ш используя выражение (9.50) для кинетической энергии плоского движения тела: г Ед т,г (- — /ю'.
й ' 2 Изменение кинетической энергии равно работе внешних сил, действующих на цилиндр. Элементарная работа сил трения и реакции плоскости равна нулю, так как оии приложены на мгновенной оси 1о = О). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счет работы силы тяжести 6 дх яп я (конечно, если отсутствует скольжение). Следовательно, д ~ — тот+ — 1 з ) = баха)па, 2 1 3 е 2 или тоз ) г ') 6,)хз1, „ 1 ~сг 2 ' 2 й ~ Откуда, продифференцировав, получим: то, г)о, + — о, г)о, = 6 Их з! и а, 1 ах, нли, заменяя о,= —: гге т — г1о,+ — — Но„= 6ихз)па. ~Ь, l аХ аг Й~ аг Меняя порядок дифференцирования и сокращая правую и левую части равенства на 0х, получим: '~~'с г ""с т г + ~ 6 3 1 п а т я' аг Откуда а'о~ О Мп а д а!и а аГ ! т+ —, !+в а з, тРение кАчения. шАРикОпОдшипники Сила трения покоя работы не производит.
Однако катящийся без скольжения (а следовательно, и без действия сил трения скольжения) по горизонтальной плоскости цилиндр постепенно теряет скорость и останавливается. Механическое движение переходит в тепловое, на что указывает нагревание поверхностей плоскости и цилиндра. Следовательно, на катящееся тело действует сила трения, отличная от трения покоя и трения скольжения.
Эта сила называется силой трения качения. Разработанной теории происхождения сил трения качения пока нет. Качественное и не претендующее на глубину объяснение причин, вызывающих появление сил трения качения, следующее. Во-первых, на поверхности тел всегда существуют неровности, выступы, о которые катящееся тело все время испытывает удары, при этом совершается работа деформации; во-вторых, при качении тело и плоскость деформируются и на тело действует со стороны деформированной плоскости сила, котораи имеет составляющую, направленную против движения.
Момент силы трения качения по направлению противоположен моменту количества движения цилиндра и замедляет его движение. Кулон опытным путем нашел, что при качении сила трения приближенно прямо пропорциональна силе, прижимающей каток к плоскости, и обратно пропорциональна радиусу катка: О г" =р к к где р „— коэффициент пропорциональности, который называют коэффиг)центом трения качения. Коэффициент ра зависит от свойств трущихся поверхностей и в первом приближении не зависит от скорости их относительного движения. Примерные значения ра даются в таблице 4. Таблица 4 Коэффициент трения качения ра(в см) Материал 0,05 — 0,06 0,03 — 0,04 м 0,00! Дерево по дереву Мягкая сталь по мягкой сталя Закаленная сталь по стали Сила трения качения (при одинаковых условиях) значительно меньше силы трения скольжения.
Поэтому в современных машинах получили широкое распространение шарико- и роликовые подшипники. Рис. 97. Различные типы подшипников качения. 198 Если, для того чтобы сдвинуть груз весом в тонну на подшипниках скольжения, надо приложить силу около 80кГ, то на шарикоподшипниках достаточно — 4 кГ. Без шарикоподшипников были бы невозможны сверхскоростные машины, которые делают более 100 тыс, об/мин. Подшипники скольжения в этих условиях плавятся, На рисунке 97 приведены некоторые типы подшипников качения, предназначенные для работы в разных условиях.
4 9. СВОБОДНЫЕ ОСИ Неподвижность оси, относительно которой вращается твердое тело, обеспечивается обычно приспособлениями типа ) подпятников, подшипников или сферических шарниров, в которые помещаются концы оси. Силы реакции опор, действующие на ось при вращении и в его отсутствие, в общем случае различны. В самом деле, рассмотрим силы реакции, действующие при вращении тела вокруг вертикальной неподвижной оси, составляющей некоторый угол с осью его симметрии (рис.
98). Положим, что ось вращения проходит через центр масс тела и трение в подпятниках мало (им можно пренебречь). Пока тело неподвижно, на его частицы действует сила тяжести, равнодействующая которой приложена в центре масс и направлена вдоль оси вниз. Следовательно, на ось действует сила реакции только нижней опоры, направленная вдоль оси вверх, Она деформирует ось, но не создает вращения, так как ее момент относительно оси вращения равен нулю.
Положим, тело пришло во вращение вокруг оси 00 с угловой скоростью то. Теперь на каждую частицу массой и, отстоящую от оси вращения на расстоянии г, кроме силытяжести, действует центростремительная сила, направленная к оси в плоскости вращения частицы и равная тоРг. Проис- О хождение этой силы обусловлено деформацией оси и частиц, лежащих межд~ осью и рассматриваемой части- р; цей.
а ось со стороны частиц действует такая же по величине, но противоположно направленная сила. Рассечем тело плоскостью, проходящей через ось вращения 00 и перпендикулярной плоскости чертежа. Частицы, находящиеся справа от плоскости, создают на оси рав- г О нодействующую сил Гь направленную вправо, а лежащие слева — рав- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
