Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Кроме нее, на тело действуют силы реакции со стороны связей (подшип- 172 ~ Р,г,сов х! = к~~г~ т,г,. 2 ! 1 (9.15) Слева в равенстве (9.15) стоит сумма моментов сил, действующих на все элементы тела. В теоретической механике доказывается теорема о том, что момент суммы сил относительно какой- либо оси равен алгебраической сумме моментов этих сал относительно той же оси (теорема Вариньона).
Следовательно, слева в равенстве (9.15) стоит величина вектора полного момента М сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Величина Хт,г!' равна сумме моментов инерции отдельных элементов относительно оси вращения и называется моментом инер!!ии 1 тела относительно оси. Таким образом, основное уравнение вращательного движения тела можно записать в виде; М вЂ” !к, (9,16) Так как векторы всех моментов сил, действующих на элементы тела, откладываются на одной оси, то вектор полного момента сил 173 ников).
Если силы трения отсутствуют, то силы реакции связей проходят через ось вращения и момент их относительно оси равен нулю. Подсчитаем момент равнодействующей внешних сил относительно оси вращения. Для этого расчленим тело на достаточно малые элементы, чтобы расстояния от всех точек отдельного элемента до оси можно было считать одинаковыми. Пусть масса элемента — т„внешняя сила, действующая на него, — Рь угол между направлением силы и касательной к траектории элемента— ! ао Положим (для определенности), что угол а, острый. При вращении тела каждый элемент его описывает окружность с цент- г, ром на оси вращения.
Для каждого эле- ! мента можно написать равенство вида (9.10): ! ! 2 ! Р,г, соз а, = т!г! еь где е, — угловое ускорение элемента с массой ть Просуммируем равенства по всем эле- ря а! т л яр . ментам: щающееся вокруг яепо. ь ь дяижнья Ося. Х 2 Р,г! соз я, = ~ т,г!кс 1=! ! 1 Так как для абсолютно твердого тела угловое ускорение всех элементов одно и то же, то также лежит на этой оси и связан с направлением результирующей силы правилом буравчика. Вектор полного момента сил, действующих на тело, относательно некоторой оси лежит на этой осп и равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения результирующей сил на вектор результирующей силы: М=(г6 (9.17) Угловое ускорение е, приобретаемое телом под действием силы Р, примо пропорционально моменту силва и обратно пропорционально моменту инерции тела: М Е = —, 7 (9.! 8) 174 Для опытной проверки полученной связи может служить так называемый крестообразный маятник Обербека (рис.
82). Два стержня скреплены крестообразно и свободно вращаются вокруг горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться четыре груза, масса которых такова, что моментом инерции стержней можно пренебречь по срав. нению с моментом инерции грузов (для качественной проверки закона; прц количественной проверке надо учитывать и постоянный момент инерции стержней). На оси креста прикреплено несколько шкивов разного радиуса. На один из них наматывается нить, к свободному концу которой подвешивается груз.
Сила натяжения нити создает момент, сообщающий кресту угловое ускорение. Грузы на стержнях располагаются симметрично, вследствие чего момент силы тяжести равен нулю. Изменяя массу или расстояние грузов от оси вращения, можно изменить момент инерции. Меняя груз на нити или перенося нить с одного шкива на другой, можно менять момент силы. С увеличением момента силы угловое ус. корение креста возрастает, а с увеличе. иием момента инерции уменьшается. Легко сообразить, что мы не могли привести во вращение маховик, дейст.
вуя силой вдоль одного из его диаметров, так как момент силы„проходящей через ось вращения, был равен нулю. Сравнивая равенства (9.16) и .l (9.5), видим, что уравнение вращательного движения твердого тела имеет формально такой же вид, как уравнение поступательного движения твердого тела, по вместо линейного ускорения стоит угловое ускорение, вместо силы — ее момент относительно оси вращения, а вместо массы — момент инерции.
Из равенства (9.16) следует, что если момент внешних сил действующих на тело, равен нулю (М = О), то тело вращается без углового ускорения (е = О), т. е. с постоянной угловой скоростью (при условии, что момент инерции тела остается постоянным). В динамике поступательного движения равными силами мы считаем силы, которые сообщают телам равной массы одинаковые ускорения. При вращательном движении одна и та же сила сообщает телу различные угловые ускорения в зависимости от того, как далеко направление действия силы лежит от оси вращения. Поэтому маховик легче привести во вращение, прикладывая силу к его ободу, чем к середине спицы. Угловое ускорение, приобретаемое данным телом под действием разных сил, будет одно и то же, если равны моменты сил.
Силы называются эквивалентныма в смысле создаваемого ими вращения, если равны их моментьс. Существует большое число различных приспособлений, позволяющих увеличивать момент прилагаемых к телу сил. Для того чтобы перекатывать тяжелый груз, пользуются рычагом; чтобы сообшить вручную необходимое для запуска автомобильного двигателя вращение коленчатому валу, пользуются длинной рукояткой; руль автомобиля снабжают баранкой; части станка, приводимые от руки во вращение, снабжают маховиками и ручками и т.
д. Разные тела получают под действием сил, имеющих одинаковые моменты, одинаковые угловые ускорения, если равны их моменты инерции. Тела эквивалентны в смысле приобретаемого ими вращения, если равны их моменты инерции. Так как угловое ускорение, приобретаемое телом под действием силы, обладающей моментом данной величины, обратно пропорциокально моменту инерции тела, то тело легче привести в движение, если масса его сосредоточена ближе к оси вращения, а сила приложена возможно дальше от нее. Поэтому рычаг, поворачивающий груз, заводные рукоятки и т.
п. делают возможно более легкими и и длинными. С этой точки зрения, казалось бы, основная масса маховика должна быть расположена ближе к оси вращения. Обычно же поступают наоборот: спицы маховика делают сравнительно небольшой массы, а основную массу сосредоточивают на ободе. Объяскение этой особенности конструкции маховика будет дано ниже, в 5 6 этой главы. Найдем значение вектора момента пары сил. Положим, к телу приложена пара сил Р1 и Р,. Рассечем тело плоскостью, в которой лежат силы (рис. 83). Возьмем произвольную точку О, лежащую в этой плоскости. Момент силы Р, относительно этой точки М, = Р,ОА сова, и направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.
Момент силы Рэ 19.20) где а' — плечо пары сил. Вектор момента пары сил численно равен произведению величанье одной из сил парьь на плечо пары, Он направлен в сторону поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается по направлению сил пары. 4 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения.
Очевидно, это весьма трудоемкая задача. Для подсчета моментов инерции тел правильной геометрической формы можно воспользоваться в ряде случаев приемами интегрального исчисления. Нахождение конечной суммы моментов инерции элементов тела заменим суммированием бесконечно большого числа моментов инерции, вычисленных для бесконечно малых элементов; Ит ~м~~~ Ьт,»Г= ~ге игл. вм-е г-1 19.21) Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра высотой й относительно его оси симметрии 1рис. 84).
Расчленим диск на элементы в ниде тонких концентрических колец с центрами на оси его симметрии. Полученные кольца имеют внутренний диаметр г и внешний г + й», а высоту й. Так как д» (( 178 равен Мв РвОВсоаав и направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас. Суммарный момент пары сил равен алгебраической сумме моментов М, и Мв: М= Р,ОА сов и,— Р,ОВ соз п,. Но поскольку Рв — — Рв — — Р, Рнс. 83.
Момент нвРм енл М РРА созе — ОВсозп ), 1 в Выражение, стоящее в скобках, представляет собой расстояние между линиями действия сил. Обозначим это расстояние через а'. Тогда с< г, то можем считать, что расстояние всех точек кольца от оси равно г.
Для каждого отдельно взятого кольца момент инерции !' = = Х затух = г'ЕЛт, где айги — масса всего кольца. Объем кольца 2нгй тхг. Если плотность материала диска р, то масса кольца п2нгй с(г. Момент инерции кольца 7 = 2нойгз б(г. Чтобы подсчитать момент инерции всего диска, надо просуммировать моменты инерции колец от центра диска (г = О) до края его (г = )ч), т. е. вычислить интеграл: Я У = 2нргс ) гчб(г, о или 7 = — нойтчв.
! 2 Но масса диска гл = рпн)тв, следовательно, ! Рис. 84. Вычисле. ! = — тЩ (9.22) ние момента инер- 2 ции одиородногп Приведем (без вычисления) моменты инер. ции для некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов (рис.
85). Е Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии): 1 - тп)сх. (9.23) г р р г р Рис. 85, К расчету моментов инерции различных телг ! — южьца относнжвьно осн. проходящей через центр перпенднкулярна его плоскости; т — полого цалнндрв относнтельно осн снмметрнн. нврвллельной обрвтующнм; 3 — тонкого диска относительна асн, совпадающей о днаметром; Е-сплоюного цнландра отно«нтельна оен самметрна, перпендннулнрной образующем; б-однородного стержня относнтельно сон, проходящей через середвну перпеаднкулярно к нему; б — тоже, относнтельна осн, проходящей через конец стержня; 7 †ма относительно осн, совпадающей с диаметрам, !77 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
