Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Прямая, совпадаюшая с нормалью к поверхности тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, е и ц / о ч если линия удара проходит через ) центры тяжести тел. Если векторы скоростей шаров до 0 удара лежали на линии удара, ю удар называется прямым, в случае если они не лежат на этой линии — косым (рис. 72), Рассмотрим задачу о нахождении скоростей двух однородных шарообразных тел после удара по заданным скоростям до удара и известным массам тел.
Удар будем считать центра а а ранье В ральным и прямым, систему соударякосой. юшихся тел — замкнутой. Рис. 73. Неуиругий удар шаров 152 Для того чтобы решить задачу с помощью уравнений движения тел, нам необходимо было бы знать, как силы, развивающиеся при ударе между шарами, меняются со временем. Вообще говоря, при современных измерительных средствах, например при наличии пьезокварцевых динамографов, можно получить эти сведения. Однако такой путь решения задачи сложен, а использование законов сохранения позволяет получить решение весьма просто. Законы сохранения количества движения и энергии дают возможность написать два уравнения,' в которые входят (в случаеудара двух тел) две неизвестные величины — скорости тел после удара: 7лаоа+ Глаза = Гяап1 -г Ятаза, (8,31) 2 2 2 2 /пав~ шаве шао ~ ш~о е — + — = — + —. (8.32) 2 2 2 2 Решая систему этих уравнений, можно найти (зная начальные условия) скорости тел после удара. Абсолютно неупругий удар, При абсолютно неупругом ударе двух тел массой 7п1 и гпа, двигавшихся со скоростями и, и п„оба тела движутся дальше с общей скоростью о (рис.
73). Следовательно, достаточно одно~о уравнения, чтобы найти величину неизвестной скорости о. Часть энергии )Э механического движе- К ния переходит при неуп- У ругом ударе во внутреннюю энергию тел. Поэтому для определения неизвестной величины используем закон сохранения количества движения. Количество движения шаровдо удара равно количеству движения после удара: я~о~ + тапа = (т1 + гпа)ш (8.33) В нашем случае векторы скоростей шаров лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей, а направления их учтем знаками.
Поэтому уравнение (8.33) мы можем рассматривать как скалярное. Из него получим: ш1в~ + Лаве (8.34) ш~ + ша Если шары движутся навстречу друг другу (знаки скоростей разные), то после удара они будут двигаться в сторону, в которую двигался шар, имевший большее количество движения.
Если количества движения шаров перед ударом равны, то шарыостановят- ся. Если оба шара двигались в одну сторону (знаки одинаковые), то и после удара будут двигаться в ту же сторону. Зная скорость движения шаров после удара, нетрудно найти ту часть их кинетической энергии, которая пошла на работу деформации. 1 а т!а ! тааа Кинетическая энергии до удара! — '-!- —, после ударш г 2 (т, + т,) аа . Их разность и дает ту часть энергии, которая соот- 2 ветствует работе деформации: 2 2 2(та+та) 2[та+та) Если до удара одно из тел неподвижно (положим, оа = О), то 2(т,+т) т,+та 2 где Е = †' †' — кинетическая энергия системы до удара. Ки- 2 нетическая энергия, которой обладают тела после удара и которая может быть использована для совершения некоторой работы, очевидно, равна разности начальной кинетической энергии и работы деформации: Е„, = ń— А„,э, (8.37) Если до удара покоилось тело массы иа! (8.38) рл, + та) Для получения в результате удара значительной деформации (ковка, штамповка, дробление тел) массу ударяющего тела надо брать значительно меньше массы ударяемого.
Наковальня должна быть гораздо массивнее молотка. Если мы хотим обеспечить возможно большее перемещение тела после удара, масса ударяющего тела (копер, молоток, струя воды, ударяющая в лопасти турбины, и т. д.) должна быть больше массы ударяемого (свая, гвоздь, лопасти турбины и т. д.). Абсолютно р!аругий удар. При абсолютно упругом ударе выполняется как закон сохранения количества движения, так и закон сохранения механической энергии. Преобразуем уравнения (8.31) и (8.32): ща(о! "!) = и!а("а оа) (8.39) ап! (о ! — с!) = апа (оа о 2).
(8.40) Умножим уравнение, полученное после деления уравнения (8.40) на уравнение (8.39), один раз на лаа и другой раз на т!. 153 Сложим полученные выражения поочередно с (8.391 и, разрешив результат вычитания относительно неизвестных, получим: (т! — т!) о! + 2таоа ! т,+т, (т! — т,) о, + 2тг и! 2 т,+т, Если один из шаров до удара покоится (гь = О): (8.41) (8.42) 0 =- 2т, 2 О!.
62,+т, т,— т, О! = О!,' т, -)-т, Второй шар движется после удара в ту же сторону, в которуюдвигался первый шар до удара. Если т, ) яг„первый шар после удара движется в ту же сторону, что и до удара, н о,' ) о!. Если т, ( ла„то после удара первый шар отскочит обратно. Если ла! = лга = лг, то "="2 ! и с' = о„ 2 и шары обмениваются скоростями. Мы рассматривали соударяющиеся шары как замкнутую систему.
Поэтому для опытной проверки сделанных выводов надо обеспечить условия, при которых внешние силы имели бы минимальное значение. Внешними силами в данном случае будут, очевидно, силы трения и сила тяжести. Чтобы свести к минимуму силы трения, удар шаров можно производить на гладкой стеклянной поверхности (поверхности шаров также должны быть гладкими) или использовать бнфилярный подвес (рис. 74). Уменьшить величину силы тяжести, очевидно, нельзя, но если линия удара горизонтальна, то действие силы тяжести не скажется существенно на результате опыта. (Направление силы тяжести перпендикулярно направлению скорости, и величина скорости не изменится.
В силу кратковременности явления и малости импульса силы тяРис. 74. Упругий удар шаров. жести бЖ ее действие не будет существенно сказываться и на направлении скорости.) Законы сохранения количества движения и энергии позволяют решать большое число задач механнки значительно проще, чем с помощью уравнений движения. Поэтому, приступая к решению какой-либо динамической задачи, полезно прежде всего посмотреть, нельзя ли решить ее, применяя законы сохранения. 4 6. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ВЕРТИКАЛЬНО ВВЕРХ, В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ или — — — о = ятдйо — = туево Полагая Ь„„„= то + Н„,„и принимая во внимание, что при Е = Ь„,„о = О, получим: или о 1 (8.44) Л 2Ф' 1Т+ Нщох Отсюда "о 2 2ал 2 оо Л 2айо Нэпах 156 В качестве еще одного примера применения закона сохранения энергии решим задачу о высоте подъема в поле силы тяжести тела, брошенного вертикально. Будем считать Землю неподвиж- ной, высоту полета тела сравнимой с радиусом Земли; начальную скорость, с которой брошено тело вверх, равной о,; сопротивлением воздуха пренебрежем.
Тело движется в поле силы тяжести за счет сообщенной ему кинетической энергии, совершая работу против дей- ствующей на него силы притяжения Земли, которая зависит от вы- соты подъема тела (нли его расстояния ~. от центра Земли). Сила притяжения по закону Ньютона: Р=Т тМ (8.43) где Т вЂ” постоянная тяготения,т — масса тела, М вЂ” масса Земли. На поверхности Земли (при Ь = 1х) сила Р = ал — весу тела. Тогда ТМ = ЛНо и, следовательно, Ло Р=жд —. Изменение кинетической энергии тела равно работе силы тяжести, взятой с обратным знаком (сила тяжести в данном случае перемен- ная величина): Е тоо во~ е ко — — — ~ Ром'.
= ~ тд — ом'., о 2 2 З,~ Го и я или ,2 о (8.45) 'Ъ е 2д —— Л 2 Если начальная скорость мала, то отношение -4 много меньше Л 2а, н в этом случае получим известную формулу Галилея: 2 О,„= (8. 46) 2е Если в формуле (8.45) знаменатель обращается в нуль, то Н,„ неограниченно растет, т. е. тело покидает поле тяготения Земли. Найдем скорость, при которой тело выйдет из поля силы тяжести: ,2 2д — — ' = О, Л откуда Оо = 1' 2к)С. (8.47) Эта скорость носит название скорости освобождения или ешорой космической скоросгяи. Полагая д, = 9,81 мосек', )х = 6,37 Х Х 10' м, из равенства (8.47) получим: о = 11 180 мосек.
Скорость освобождения является важной характеристикой движения ракеты прн проектировании межпланетных полетов. 4 т. ЛВижение В центРАлъном пОле тяготения. ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ И РАКЕТЫ Предположим, что во всем мировом пространстве находятся только два взаимодействующих тела с массами М и и. Например, Солнце и планета или Земля и искусственный спутник Земли и т. п. Поле тяготения тел будем считать центральным (гл. И1, 2 5). Тогда тела взаимно притягиваются как материальные точки с массами М Ма и и, с силами, равными по величине с =; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
