Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для того чтобы получить выражение энергии в виде функции параметров состояния механического движения, надо найти, как изменяется величина энергии с изменением величины параметров. Изменение состояния движения системы всегда связано либо с процессами, происходящими внутри нее, либо с воздействиями внешних сил, приложенных к системе и совершающих работу, т.
е. передающими системе энергию от внешних по отношению к ней тел. Из предыдущего параграфа следует, что если работа внешних снл положительна, то энергия системы возрастает. Если работа внешних сил отрицательна, то энергия системы убывает. В последнем случае система совершает работу над внешними телами. Работа сил, приложенных со стороны системы к внешнвм телам, совершается за счет энергии системы.
Поэтому иногда энергию определяют как «запас» работы, которую может совершить система тел. Для подсчета изменения кинетической энергии системы выделим в ней любое тело. Действие на него тел, принадлежащих системе и внешних по отношению к ней, заменим результирующей соответствующих сил. Вычислим работу, которую должна произвести результирующая сила Р, чтобы тело массы т изменило скорость своего движения от значения о, до значения о,, 141 Запишем уравнение движения тела массы т поддействием силы Р: Е= гл —. (8.8) 5П Умножим обе части равенства скалярно на пй5 = с1з: — 5-~ ДР -~ / 555 Р 52з =-т — о а1 = та ~ — ), ~2) или 18.9) Чтобы вычислить полную работу А на конечном пути з, — ьо при прохождении которого скорость тела меняется от о, до пз, надо проинтегрировать левую н правую части равенства (8.9): 5 5 ) йА = — ~ тпг)ш 55 о, Слева получим полную работу силы Р. Правый интеграл запишем, считая массу тела постоянной, в виде: 55555з 553555 т пап=— 2 2 Следовательно, тогда 5ла' АР А=15Е =Š— Е 5 к кз 55 2 2 (8.11) При о~ — — 0 555555 Е к 2 18.12) 142 55555т 555555 (8.! О) Изменение кинетической энергии тела численно равно работе, которую должны произвести действующие на него силы, чтобьг изменить скорость его движения от и, до о, Если на тело, кроме силы Р, действует еще сила трения, то некоторая часть механического движения, переданного телу, перейдет в молекулярно-тепловое движение и изменение кинетической энергии тела будет меньше работы, совершенной силой.
555555 Обозначим в равевстве (8.10) величину — = Е„ Тело массы т, двигаясь со скоростью о, обладает кинетической л!пз энергией, численно равной 2 Работа, которую производит движущееся тело при торможении до полной остановки, не зависит от траектории движения, от того, каким образом производится торможение (какой силой, как быстро). Она равна кинетической энергии тела. Кинетическая энергия аддитивна, т. е.
кинетическая энергия системьь тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему: и Е„= ~а — '. (=1 (8.13) Заметим, что в рассмотренном случае потенциальная энергия принадлежит, строго говоря, системе Земля — камень; ее наличие — результат нх взаимного притяжения. Прн сближении движением Землв навСтречу камню можно пренебречь, и только поэтому мы обычно говорим о потенциальной энергии камня, поднятого над землей (т. е. о потенциальной энергии одного тела).
Выберем за уровень сравнения поверхность земли. По мере удаления камня от поверхности земли потенциальная энергия системы Земля — камень возрастает. При этом внешняя сила совершает работу против внутренних сил системы, или внутренние силы, дей- Так, например, работа, которую совершает тормозящая сила, чтобы остановить два одинаковых вагона, движущихся со скоростью о, в два раза больше работы, нужной, чтобы остановить один из ннх.
Потенциальная энергия системы тел может быть определена, если указаны взаимное расположение тел в системе и силы,действующие между ними. Изменение потенциальной энергии численно равно работе, которую производят внешние силы, переводя систему без изменения скорости из одного положения в другое. Когда мы поднимаем на некоторую высоту 6 над землей камень массы т, потенциальная энергия системы Земля — камень изменится на величину, численно равную работе силы тяжести гид на пути 6, т.
е. Л(У = тя6. Велнчина пути 6, который проходит тело при подъеме, зависит от его начального 6, и конечного 6, положений. Для сравнения потенциальной энергии различных тел, поднятых над землей, мы должны условиться, от какого общего начального положения (уровня) мы будем отсчитывать высоту 6.
В зависимости от условий задачи это может быть уровень стола, пола, поверхности моря и т. д. Условность выбора начального уровня не играет роли в расчете потенциальной энергии, так как мы определяем не абсолютную величину потенциальной энергии, а ее изменение. ствующие в системе, производят отрицательную работу (так как направление действия их противоположно перемещению тел). Если внешние силы производят работу против внутренних сил системы, или, что то же, действующие в системе силы производят отрицательную работу, взаимное положенве тел системы меняется так, что потенциальная энергия системы возрастает. Если, наоборот, силы, действующие в системе, производят положительную работу (камень падает на землю под действием силы притяжения), то происходит такое изменение взаимного положения тел системы, при котором потенциальная энергия системы убывает: с(А = — Жl, (8.14) где с(А — работа внутренних сил системы, с)сг — изменение потенциальной энергии.
Положим, нами выбрано некоторое начальное положение системы В, в котором она обладает потенциальной энергией Ув. В положении С потенциальная энергия У определяется работой, совершаемой при переходе системы из положения В в положение С: (ус = (ув -г. Авс. Но перевести систему из В в С можно различными путями, и, следовательно, вообще говоря, значение работы Авс может быть различным. Потенциальная энергия системы в положении С будет определена однозначно, если работа по перемещению тел системы нз одного положения в другое не зависит от формы пути перехода.
Подсчитаем работу, совершаемую при движении тяжелого тела с постоянной скоростью по некоторой кривой (рис. 71) в однородном поле силы тяжести. (Поле называется однородным, если сила, действующая на тело, не меняется при перемещении тела из одной точки поля в другую.) Для поля силы тяжести условие однородности выполняется при перемещении тег з, ла вдоль направления радиуса Земли, на сравнительно неболь- У шое расстояние. р5 Разобьем кривую В,В, на элеог ментарные перемещения Ьз, настолько малые, чтобы каждый из них можно было считать прямолинейным. Элементарная работа ЬА, совершаемая внешней силой ~3 В при движении по отрезку Лз: ЬА = г"стасова = — тдазсозх, где В = — птп, и — угол, составРис.
71. К расчету работы по переиешеиию теда и одиород- ленный силой г с направлением иом поле силы тяжести. перемещения. Но Лз соз и = ЛЬ— изменение высоты тела над землей, происходящее при перемещении на 55э. Если число интервалов пути 55з безгранично увеличивать, то дА =- — тд 5151. Для подсчета работы на конечном перемещении тела от В, до Вх проинтегрируем последнее выражение: л. А = — ) тд4(й, (8.
15) Ь5 где Ь, — высота тела, соответствующая положению В, тела на кривой, и Ьз — положению Вь Так как сила Р = 6 постоянна, то 45 А = — тй ~ 505 = 6 (й, — Ь5) = 6пи (8.15) 1ч т. е. работа в поле силы тяжести не зависит ни от формы пути, ни от его длины, а только от того, насколько в результате движения изменяется высота тела относительно начального уровня. Если мы из точки В, перейдем в точку В, сначала по пути ьо а затем по пути з„то (по доказанному) работа на пути э, равна работе на пути зг: А, =-А,, Легко сообразить, что работа на пути э, от точки В, к В, равна по величине, но противоположна по знаку работе А', потому же пу'ти От точки Вз к В51 А = — А'. 5 Отсюда если тело перемещается по замкнутому пути, пройдя от точки В, к В, по пути зо а затем от В5 к В, по пути э„то работа силы тяжести равна нулю: А=А, +А; =А,— А, =О.
При движении в поле силы тяжести по замкнутому пути суммарная работа равна нулю. Такой же вывод мы получим для работы любой силы, величина которой зависит от расстояния между взаимодействующими телами (сила упругости, сила взаимодействия двух электрических зарядов и т. и.). При этом величина работы определяется по формуле типа (8.15). Определим потенциальную энергию растянутой пружины. Сила, растягивающая пружину, прямо пропорциональна ее удлинению (закон Гука): Е= йз, (8.
17) где й — коэффициент жесткости пружины, э — удлинение ее. 145 Так как сила меняется с изменением в, то разобьем удлинение в на элементарные участки, в пределах каждого из которых силу р можно считать постоянной. Элементарная работа: йА = Р сЬ = йв сЬ. Полное значение работы получим, подставив в формулу (8.15) значение Ыв и проинтегрировав в пределах от начальнойдлины пружины в, до конечной ве.
А =~ йвсЬ=й (8.18) 2 На такую же величину изменится потенциальная энергия растянутой пружины. Этот результат можно получить и графически. Предоставляем сделать это читателям. Если мы положим, что в нерастянутом состоянии (в, = 0) потенциальная энергия пружины равна нулю, то потенциальная энергия пружины, растянутой на величину в, будет, очевидно, и=" — ',.
(8. 19) Потенциальная энергия растянутой пружины является одним из примеров энергии упругой деформации. Если пружина абсолютно упругая, то работа сил упругости на замкнутом пути равна нулю. Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называются консервативныии нли потенциальными.
Силы тогда консервативны, когда в системе нет перехода механического движения в другие формы движения материи или превращения других форм движения в механические. Этому условию не удовлетворяют, например, силы трения. Легко видеть, что работа силы трения на замкнутом пути отлична от нуля. В самом деле, сила трения всегда направлена противоположно скорости движения. Поэтому работа силы трения и на пути в, (рис. 71), и на пути в, имеет один и тот же знак, и, следовательно, сумма этих работ не может обратиться в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
