Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Задача отом, кас~ ково будет в этих условиях движение тела с массой гп, называется задачей двух тел. Эта задача подробно рассматривается в курсе теоретической механики, Решение ее показывает, что тело должно двигаться по плоским кривым, один нз фокусов которых совпадает с центральным телом. В зависимости от начальных условий траекторией тела будут либо эллипсы, либо гиперболы. Кривой, отделяющей !56 замкнутые эллиптические траектории от незамкнутых гиперболических, является парабола.
Мы ограничимся тем, что рассмотрим, как влияют начальные условия на приобретение телом траектории того или иного типа. Предварительно еще упростим задачу, полагая, что М )) пт. Тогда центральное тело можно считать неподвижным или движущимся равномерно и прямолинейно, так как ускорение, приобретенное им под действием силы тяготения, действующей со стороны тела массы т, мало.
Тело гп в поле тяготения центрального обладает некоторой кинетической и потенциальной энергией. При движении тела в отсутствие сопротивления окружающей среды слагаемые (кинетическая и потенци- г альная энергия) могут изменяться, но так, что сумма их остается неизменной. Рассмотрим подробнее изменение потенциальной РНС. 75. К РаСЧЕтУ РебОтЫ СНЛ ЦЕНтРаЛЬ- ного поля тяготения. энергии с изменением взаимного расположения тел, В центральном поле тяготения сила, действующая на тело и, направлена к центру тела М и зависит только от их взаимного расположения. Если из центра тела М описать сферу радиуса г, то в любой ее точке сила тяготения будет одинакова по величине и направлена вдоль радиуса сферы.
Когда тело перемещается в поле тяготения, силы, действующие на него со стороны поля, совершают работу. Величина работы определяется величиной радиусов сфер, на которых лежат начальная и конечная точки перемещения. Рассуждениями, подобными приведенным в 5 3, можно показать, что величина работы в неоднородном поле силы тяготения, так же как и в однородном, ие зависит от пути, по которому тело перемещается, а зависит только от начального и конечного положения тела (рис. 75). В самом деле, работа при перемещении по поверхности сферы равна нулю, так как угол между перемещением и направлением действия силы в этом случае 90'. Но любое элементарное перемещение между сферами можно представить как сумму перемещения по поверхности сферы и перемещения вдоль радиуса. Так как работа на первом участке равна нулю, то остается только работа при перемещении вдоль радиуса.
Следовательно, работа перемещения тела любым путем с одной сферы 1о7 на другую равна работе по перемещению тела вдоль отрезка радиуса между ними: (8. 48) Знак минус появился перед интегралом потому, что для увеличения расстояния между телами (0г ) 0) необходимо, чтобы внешние силы произвели работу против сил тяготения. Выполняя интегрирование, получим: А =;Мш ~ — ' — — '1 (8А9) [ г~ величину работы по перемещению тела со сферы радиуса г, на сферу радиуса г,.
Если тела удаляются друг от друга (г, г,), то внешние силы совершают положительную работу и потенциальная энергия возрастает на величину работы против сил тяготения А, ( О. Если тела сближаются (гз ( г~), силы тяготения совершают положительную работу А,) О. Для двух тел, поля которых удовлетворяют условию центральности, минимальное возможное значение потенциальной энергии будет при их соприкосновении: и,=.(мт [' — ' ~, где г,~ и г„— радиусы тел. При г, значение потенциальной энергии стремится к конечному пределу: =Т м~ (8.50) г, так как уменьшение силы происходит с квадратом расстояния, т.
е, значительно быстрее, чем растет расстояние. На достаточно большом, но еще конечном, расстоянии от центрального тела действие силы тяготения практически перестает сказываться. Следовательно, работу при перемещении тела этн силы совершают йе до бесконечности, а до конечного расстояния, начиная с которого потенциальная энергия практически уже перестает изменяться. Величину потенциальной энергии можно подсчитывать относительно любо~о начального уровня, поскольку в механических задачах нас интересуют только разности значений потенциальных энергий при различных положениях тел. Для того чтобы иметь возможность сравнивать потенциальные энергии тел в полях тяготения, созданных различными телами за общий нулевой уровень, принимается уровень, находящийся в бесконечности (Ус 0 при г, о ). 158 Притакомвыбореиулевогоуровня выражение(8.49) перейдет в Мал и.
= — Т вЂ”. (8.51) Г, т. е. потенциальная энергия в данной точке (при г = г,) относительно бесконечно далекого нулевого уровня отрицательна, Отрицательное значение потенциальной энергии связано с выбором нулевого уровня в бесконечности. Совершая работу против сил тяготения (перемещая тело из точки г = г, в точку г = с ), мы увеличиваем энергию системы.
Следовательно, энергия в точке г = с будет больше, чем в точке г = гт, а поскольку в точке г = мы приняли с7о„= О, то в точке гг Ут будет меньше нуля. Существенно то, что абсолютная величина потенциальной энергии в поле тяготения тела М ограничена. Поскольку кинетическая энергия монотонно растет с ростом скорости, то оказывается возможным сообщить телу кинетическую энергню н меньшую, и равную, и большую абсолютной величины потенциальной энергии поля тяготения данного центрального тела. В силу закона сохранения и превращения механической энергии при отсутствии сил сопротивления лгпа Мш — — Т вЂ” = сопз( (8.52) 2 г и в силу сказанного постоянная может быть больше или меньше нуля, или равна нулю. Вернемся к нашей задаче.
Положим, тело массы т находится на расстоянии 6, от центра тела М. Сообщим ему некоторую скорость и, в направлении, перпендикулярном к линии, соеднняющей центры обоих тел. Если величина скорости о, в точности равна круговой скорости у он и правильно выдержано ее направление, то тело начнет движение по круговой орбите (рис. 76) с центром, лежащим в центре притягивающего тела.
Так как в этом частном случае центростремительное ускорение 2 рн = — в точности равно уско- М рению силы тяготения д = т —, Ло то Если начальная скорость о, не Г М Ле (8.53) Рис. 76. Круговая и эллиптиче- ские орбиты: à †внутренн вллнптичееная орби~а; 2-круговая орби~а: а †внешн вллиптн. ческая орбита. 159 удовлетворяет написанному равенству, то орбита не может быть круговой и в одних условиях будет оставаться замкнутой — эллиптической, в других может оказаться разомкнутой — гиперболической.
Для орбит космических аппаратов или небесных тел, движущихся в поле тяготения Солнца, точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется перигелий, а наиболее удаленная от Солнца — афелий. Для орбит космических аппаратов, движущихся в поле тяготения Земли, соответствующие точки называются перигей и апогей. Скорость в перигее (перигелни) должна быть больше скорости в апогее (афелии), так как момент количества движения относительно оси, проходящей через центр притягивающего тела перпендикулярно орбите, в плоскости которой лежит вектор силы, должен быть постоянным. По свойствам эллипса радиусы кривизны р в апогее и в перигее одинаковы. Сила тяготения в этих точках направлена нормально к орбите, так как тело обладает только центростремительным ускорением Если мы сообщим скорость о„ перпендикулярную линии, соединяющей тела, то, очевидно, точка, в которой в этот момент находилось тело, может стать только либо перигеем, либо апогеем.
В любой другой точке на круговой орбите скорость образует с направлением линии центров угол, отличный от 90 . Если скорость в точке А окажется меньше круговой, то радиус кривизны орбиты в этой точке будет меньше, чем круговой радиус Ь„ и орбита будет лежать внутри круговой. Следовательно, в своем движении по орбите тело будет приближаться к центральному телу. При этом потенциальная энергия тела будет уменьшаться, переходя в кинетическую, т. е. скорость его будет расти. В некоторой точке, наиболее близкой к центральному телу, скорость тела на орбите станет наибольшей.
Из этого рассуждения следует, что начальная точка в данном случае будет апогеем. В перигее тело будет обладать скоростью о„, превосходящей местную круговую о„„, и начнет удаляться от Земли. В самом деле, скорость в перигее о„ и скорость в апогее о, могут быть определены соотношениями: ьэ и ьэ г„р г где ㄠ— расстояние от перигея до центра притягивающего тела; г, — расстояние от апогея до центра притягивающего тела. С другой стороны, в любой точке орбиты выполняется равенство (8.52).
Можем написать для перигея и апогея: т4 Мт мь, Мя — — '( = Т 2 гп Га (8.55) Заменив скорости оп ива в (8.55) из (8.54) и решив относительно р, получим: пгпга Р =- га + гп Откуда 2гп о= (8.56) гп 1+— га Отношение — '" ( 1 и, следовательно, га р)г ° Откуда Оп ) Опк (8.57) При удалении от Земли кинетическая энергия снова переходит в потенциальную и в начальной точке скорость становится равной о,. Тело описывает замкнутую, так называемую внутреннюю эллиптическую орбиту. Запуская искусственные спутники Земли, стараются избегать внутренних замкнутых орбит. В результате неизбежных случайных ошибок в величине и направлении скорости внутренняя орбита может войти в атмосферу или пересечь поверхность Земли. Спутник не совершит даже одного оборота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
