Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Момент инерции толстостенного цилиндра относительно оси симметрии: 1 = — пг ®г+ Я,'), (9.24) 2 где Йг — внутренний и Йг — внешний радиусы. 3. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров: — — тЯ'. (9.25) ф 4. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину: 1 = пг 1 1 )т'+ 1 (9.26) 4 12 где Я вЂ” радиус основания цилиндра, Ь вЂ” высота цилиндра. 5.
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину: 1 = — пгР, 1 12 где 1 — длина стержня. 6. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов: 1 = — пгР. 1 з 19.28) 7. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров: ! = — пгЩ 2 5 (9.29) гта Если известен момент инерции какого. либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса.
Момент инерции тела 1 относительно любой оси равен моменту анерцап тела 1, огпносительно оси, параллельной данной а проходящей через центр масс тела, плюс масса тела т, умноженная на квадрат расстояная г' между осяма: 1 =1 +пгР. (9.30) В качестве примера подсчитаем момент инерции шара грие, 86) радиуса Гт и массой т, подвешенного на нити длиной й относительно оси, проходящей через точку подвеса О, Масса нити мала по сравнению с массой шара.
Так как момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс 1 = — пг)т, а расстояние 2 с= в между осями (! + [т), то момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса: 1 = — тЯе+ т (1+ )с)е. (9.31) 5 Размерность момента инерции: [Р] = [т[ Х (г'[ = МЫ Возвратимся к примеру 2 главы 1Ч, 5 2. Дополним исходные данные задачи: масса блока М сравнима с массой грузов и ею уже нельзя пренебречь.
Радиус блока Я. Кроме того, положим, что нить движется на блоке без скольжения. По-прежнему составим уравнения поступательного движения грузов: 'но т1 — = ут — т~Ы (Й тт = ттй'+ Р Тт оо ю 4 Ж оо т —,= тд — р. Ж' Эти уравнения отличаются от составленных при решении задачи без учета массы блока тем, что силы натяжения нити слева и справа блока различны. Вращение блока возникает в результате действия моментов сил натяжения нитей.
При равенстве плеч той и другой сил вращение может возник- рн, ев нуть только, если сами силы по величине раз- К реечеличны. ту момен- Но теперь система уравнений не замкнута, так как уравнений три, а неизвестных четыре нтннна. ( — '", р, т„т,) Напишем уравнение моментов для вращательного движения блока относительно его оси. Положительным будем считать момент, действующий в направлении вращения (по часовой стрелке): ~ ' — =(т,— т,)а Ж Добавив уравнение, мы вместе с тем ввели новое неизвестное: Йй ~И Для того чтобы замкнуть систему, нужно еще одно уравнение, в которое входили бы введенные ранее неизвестные. Используем условие отсутствия скольжения нити, чтобы получить связь между угловым ускорением вращательного движения блока и ускорением поступательного движения центров масс грузов. Зту связь легко получить с помощью следующего простого рассуждения.
При повороте блока на угол Ьр с него (при отсутствии скольжения) сбегает отрезок нити Ь5. Следовательно, расстояние, проходимое центрами масс грузов и угловое перемещение блока связаны равенством: Ь5 = ЬР)т. Продифференцировав один раз по Т, получим связь между скоростью перемещения грузов и угловой скоростью вращения блока: о = оис. Дифференцируя еще раз по Т, получим связь между ускорениями (линейным груза и угловым блока): аэ Ла — = Я вЂ”.
т и' Теперь в нашем распоряжении пять уравнений для нахождения пяти неизвестных: аи т,— =Т,— тд т 1 ~Ь т, — =т,д+р — Т„ щ 5 т — = тн — Р, Ж Йм 1 — = (Та — Т))('. цт ь аэ — Р= —. т ж' Решая эту систему, найдем все неизвестные величины. З В. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Положим, как и ранее, что твердое тело вращается вокруг некоторой оси, неподвижной в пространстве и относительно тела. Расчленим тело на малые элементы.
Выделим произвольный элемент с массой то положение которого определим радиусом-вектором г„проведенным от оси в плоскости вращения элемента (рис. 8Т). Будем считать выбранный элемент материальной точкой. Двигаясь по окружности (или в более общем случае по какой- либо плоской кривой), точка обладает некоторой линейной скоростью о, и количеством движения трн 380 Вектором момента количества движения относательно некоторой оси называют вектор, направленный вдоль оса и равный векторному пройзеедению радиуса-вектора точки на вектор ее количества дважения: К, = (г,т,о,). (9.32) Модуль вектора момента количества движения, следовательно, равен: г, (то,.) йп (г, ог) (9 33) Как легко видеть из рисунка 87, в общем случае криволинейного движения, при котором радиус-вектор точки и вектор количества движения лежат в одной плоскости: г,т,о,ип(го,) =то,г,созк, (939) где и — угол между направлением радиуса-вектора точки и перпендикуляром, опущеннь|м из точки, лежащей на оси в плоскости вращения, на направление вектора количества рнс.
Ву. Вектормомен- та количества княже. движения. ннн К. Следовательно, вектор момента количества движения точки относительно некоторой оси часленно равен произведению модуля вектора количества движения точки на длину перпендикуляра, опущенного на этот вектор из точки, лежащей на оси в плоскости вращения. При движении по окружности радиус-вектор точки и вектор количества движения не только лежат в одной плоскости, но и составляют угол 90 '. Следовательно, модуль вектора момента количества движения равен г,т, вь так как э1п (гр,) = 1. Вектор момента количества движения твердого тела относительно данной оси равен сумме векторов моментов количества движений всех его элементов относительно той же оси. Модуль суммарного вектора момента количества движения твердого тела равен алгебраической сумме модулей векторов моментов количества движения точек тела. В рассматриваемом случае ч К = ~ г,т,ог (9.34) ! 1В1 Так как о, = ыг„то К = ~ ГВ,.Г~~ы = ю~ гп,гь нли (9,35) (9.36) К =Рм.
Момент количества движения тела относительно оси вращения численно равен произведению момента инерции тела относительно втой оси на угловую скорость его вращения. Перепишем основное уравнение динамики вращающегося тела (9.16) в виде: М=7— Ж (9.37) (9.39) Это уравнение называется уравнением моментов. Производная от момента количества движения тела относительно оси вращения равна моменту внешних сил, действующах на тело, относительно той же оси. Или, иначе: оК = о (!о~) = Ма1. (9.40) Изменение момента количества движения твердого тела относительно оси вращения равно импульсу момента (относительно той же оси) приложенных к телу внешних сил. Если момент силы — величина постоянная, то для конечного интервала времени Лг: Мй( = К,— К,.
(9.41) Уравнение (9.40) связывает изменение момента количества дви. жения тела с действием на тело внешних сил. Если момент сил совпадает по направлению с моментом количества движения тела, то он увеличивает момент количества движения (вектор оК направ- 182 Так как величина момента инерции твердого тела относительно данной осн, сохраняющей свое положение в теле, постоянна, то равенство (9.37) можно записать в аиде: М =— (9.38) ~й или, учитывая равенство (9.36): лен в ту же сторону, что и вектор К). Если же момент сил направлен противоположно моменту количества движения, то последний уменьшается (вектор ИК направлен противоположно К).
Вообще вектор изменения момента количества движения е(К совпадает по направлению с вектором момента внешних сил М, действующих на тело. Из соотношения (9. 40) следует, что при отсутствии момента внешних сил (М = 0) момент количества движения тела остается постоянным (е(К = О, К=сонэ(). Этот закон называется законом сохранения момента количества движения.
Он охватывает более широкий круг явлений, чем закон сохранения количества движения. Конечно, для замкнутой системы условие равенства нулю суммы моментов внешних сил выполняется всегда. Но может оказаться, что результирующая внешних сил отлична от нуля, однако мо. мент ее относительно некоторой оси равен нулю (направление результирующей проходит через ось). Тогда общий момент количества движения тела или системы тел относительно этой оси постоянен. Так, например, у частиц тела, движущегося по окружности с постоянной скоростью, вектор скорости все время изменяет свое направление, следовательно, меняется по направлению и вектор количества движения.
Это изменение является следствием того, что тело, двигаясь по окружности, находится под действием внешней силы, сообщающей ему центростремительное ускорение, и не может поэтому рассматриваться как замкнутая система материальных точек. Однако если за ось моментов принять ось, проходящую через центр вращения, относительно которой момент силы, создающей центростремительное ускорение, равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси остается постоянным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
