Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При этом условии скорости вращения и углы поворота маховика и космического аппарата будут обратно пропорциональны их моментам инерции. Имея три маховика (рис. 92), можно управлять движением корабля относительно его центра масс. Момент количества движения относится к важнейшим понятиям современной физики. Каждая элементарная частица (протон, нейтрон и др.) обладает моментом количества движения.
Этот момент количества движения частицы называют свином. Сумма собственных моментов количества движения частиц (спиноз) и моментов количества движения частиц, одной относительно другои, должна сохраняться при всех ядерных реакциях, сопровождающих превращение одних частиц и фотонов в другие. При этом выполняется и закон сохранения импульса (количества движения). Закон сохранения момента количества движения позволяет при изучении конкретных видов движения полностью исключить из рассмотрения внутренние силы, а соответствующим выбором оси моментов — исключить и ряд внешних сил, моменты которых относительно данной оси равны нулю.
Поэтому он широко применяется не только в теоретических исследованиях, но и в технических расчетах. и, просуммировав по всем элементам, получим: Е ~ ь и! ~ г 2 2 ! ! 1=! Но так как Х!и!г,' = 1 — моменту инерции тела относительно выбранной оси, то Е„= —. (9.45) 2 Формула (9.45) отличается от соответствующей формулы для поступательного движения тем, что вместо линейной скорости в ней стоит угловая скорость, а вместо массы — момент инерции. Рассмотрим изменение кинетической энергии вращающегося тела под действием сил. Положим, тело вращается вокруг неподвижной оси 00. Пусть результирующая сила Р, приложенная в точке А тела, отстоящей от оси на расстоянии г, лежит в плоскости траектории точки и направлена по касательной к ней (рис.
93). Ращ эз. К расчету раасты яра При повороте тела на угол о!р точ- вращательном движеиию ка приложения силы переместится на длину дуги ььз. Если угол достаточно мал, то дугу !(з можно считать равной перемещению бз. Тогда элементарная работа силы Р на пути сЬ! бА = РсЬ, сЬ = где, дА = Рг!(т. Так как Рг = М, то ЫА = Мат. Полная работа при повороте на угол т: Л =-1МЕт.
(9.46) Если момент равнодействующей внешних сил в величина постоянная, то из соотношения (9.46) получим: А =Мр. (9.47) При вращательном движении работа измеряется произведением момента силы на угол поворота тела. Если момент силы меняется со временем, то работа измеряется интегралом от момента силы по углу поворота. 189 Напишем основное уравнение динамики вращательного движения: М=! —.
ш Для подсчета работы умножим обе части равенства на угол поворота с(т = шс(г, где ш — угловая скорость вращения и аг— весьма малый интервал времени, в пределах которого можно считать М = сопз(: Мй~ = ~ ' — ' дУ = И (' — ) Ш 'х2/ (9.48) Проинтегрировав левую и правую части равенств (9.48), получим: Ю ач кч ~ М (у = ~ И ( — ) = 1 ~ д Я = —" — ' — ", (9.49) т. е. изменение кинетической энергии тела при вращательном движении равно работе сил, момент которых сообщает телу угловое ускорение. Можно показать, что если тело вращается относительно оси, проходящей через центр масс, и одновременно перемещается поступательно так, что ось смещается параллельно самой себе, то полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела (считая сосредоточенной в нем массу тела) и кинетической энергии вращения тела: то~ Гме Е„= — '+ —, (9.50) 2 2 теперь мы можем ответить на вопрос, оставленный нами открытым в ф 3 данной главы: зачем маховики делают с большим моментом инерции? Очевидно, чтобы увеличить при данной угловой скорости его кинетическую энер.
гию. Значительный запас кинетической энергии необходим, скажем, для сохранения равномерности хода двигателя или механизма при внезапно л~еняющейся нагрузке. Конечно, сообщение маховику, обладающему большим где о, — скорость поступательного движения центра масс, 7 †момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ш — угловая скорость вращения тела вокруг той же оси. Условиям сформулированным в данной теореме, удовлетворяет например, качение цилиндра по наклонной или горизонтальной плоскости, качение колеса в системе отсчета, связанной с Землей, н др.
В заключение отметим, что энергия вращательного движения тела при данной угловой скорости существенно зависит от распределения в теле масс — от момента инерции. моментом инерции, угловой скорости ы требует больше времени, чем при разгоне до той же скорости маховика с малым моментом инерции, и двигатель производит в первом случае большую работу, но зато прн внезапном уменьшении или увеличении нагрузки маховик в течение некоторого времени сохраняет скорость вращения за счет большого запаса энергии и механизм нли двигатель плавно переходит на новый режим работы. .Для удобства запоминания характеристик вращательного движения твердого тела сведем в таблицу некоторые характеристики и уравнения, определяющие поступательное движение н вращение тела вокруг неподвижной оси. Таблица 3 Поступательное движение Вращение тела вокруг оси Масса точки ш Перемещение точки а оз Скорость точки о = гм' Момент инерции ! Угловое перемещение т Угловая скорость вращения Вз м бг йм Угловое ускорение е =— Ф Полный момент сил М Момент количества движения К= гм Работа Мр Работа Риз й 7.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. МГНОВЕННЫЕ ОСИ ВРАЩЕНИЯ Плоским называется движение, при котором все частицы тела движутся в параллельных плоскостях. Примеры плоского движения: качение цилиндра по горизонтальной нли наклонной плоскости, качение колес автомобиля, поезда и т, и., качение шариков в шарикоподшипнике, движение плоского груза по поверхности пола и т. д. С некоторыми закономерностями и приемами изучения плоского движения познакомимся на конкретных примерах. 191 бо Ускорение точки 1 =— ш Результирующая сил г Количество движения Р = шо шоз Кинетическая энергия 2 Основное уравнение движения бо бр Р=ш —, нли Р ш т !мэ Кинетическая энергия— 2 Основное уравнение движения бК М =! —, или М =— Ф По горизонтальной плоскости катится однородный круглый цилиндр (рис, 94).
Его движение плоское, так как все точки цилиндра движутся в параллельных вертикальных плоскостях. Ось цилиндра и лежащий на ней центр масс движутся поступательно со скоростью о„в то же время цилиндр вращается вокруг оси о угловой скоростью ез. Полагая цилиндр абсолютно твердым, мы должны считать, что каждая точка его обладает скоростью поступательного движения, равной скорости центра масс о„ и общей для всех точек угловой скоростью го. Следовательно, в не- Ш подвижной системе координат линей- Я ная скорость любой точки цилиндра равна сумме: ~ыя) о = о, + [и л], (9.51) рнс 94 Качеииенилиндра беа где,— скорость поступательного скольжения ио горизонтальной движейия точки (равная скорости центра масс), [озг] — линейная скорость точек цилиндра, отстоящих от оси на расстоянии, равном длине радиуса-вектора г, и вращающихся с угловой скоростью оз.
Слагаемые правой части равенства (9.51) в общем случае качения — величины переменные. Однако для каждого данного момента времени первое слагаемое имеет единственное, определенное значение, а второе слагаемое для разных точек тела различно. Среди множества точек (частиц) тела могут быть такие, для которых результирующая линейная скорость равна нулю: о,+ [ г]=0. (9.52) Но если в твердом теле существует хотя бы одна точка, для которой скорость равна нулю, то тело не может обладать поступательным движением, так как при поступательном движении все точки тела имеют одинаковые скорости (9 7, гл. 11).
Сложное движение (качение) в каждый момент времени можно представить как вращение вокруг линии, проходящей через точки тела, находящиеся в данный момент в покое. Рассмотрим качение цилиндра по плоскости без скольжения. Если цилиндр катится без скольжения, то перемещение его центра масс равно длине дуги, на которую поворачивается цилиндр: а, = .~ а = йр, (9.53) где Я вЂ ради цилиндра, ~.та в длина дуги, соответствующая углу 9, на который повернулся цилиндр. Продифференцировав равенство (9.53) по времени, получим: О = )?га.
(9,54) Продифференцировав еще раз, получим: = )ьга, (9.55) Любое из трех равенств (9.53), (9.54), (9.55) представляет собой условие отсутанвия скольжения. Вернемся к равенству (9.51). При качении цилиндра радиус- вектор г всегда перпендикулярен вектору ьх и, следовательно, величина линейной скорости любой точки О = Ог+~~~г так как -ь" ь з1п(гас) = з(п 90' = 1.
Применим это равенство к точкам, лежащим на образующих цилиндра. Для них где Я вЂ” радиус основания цилиндра. Если скольжения нет, то в соответствии с равенством (9.54) 1о,1=1 )?1. Из рисунка 94 легко видеть, что в точке касания цилиндра и плоскости векторы ее н (ььЯ! направлены прямо противоположно. Следовательно, о, + еа?ь' = О. (9.55) Таким образом, точки касания цилиндра и плоскости, по которой цилиндр катится без скольжения, имеют скорость, равную нулю, и являются осью вращения цилиндра. Но как же тогда осуществляется поступательное перемещение при качении цилиндра? Легко сообразить, что точки, для которых выполняется условие (9.56), не закреплены в теле, а все время меняются. Они лежат на образующей цилиндра, и от одного момента времени к другому этн точки заменяются новыми.
Линия, соединяющая точки тела, которые в данный момент остаются в покое, называется мгновенногг осью вращения. Качение тела может быть представлено как вращение вокруг мгновенных осей вращения. Мгновенная ось вращения перемещается по боковой поверхности цилиндра со скоростью, равной снороста поступательного движения его оси. Чтобы яснее представить себе конкретный смысл понятия мгновенной оси, положим, что мы перекантовываем по столу четырехгРанную правильную призму (рис. 95).
Ребра ее А, В, С и г1 по- 7 М М. Лрхангельехнй 193 очередно становятся осями, вокруг которых точки призмы описывают дуги, измеряемые углом в 90'. Положим, происходит поворот вокруг ребра А. Все точки призмы опишут дуги окружностей с центрами на ребре А, Центр масс перейдет из положения О, в положение О, также по дуге 0,0'О,. Если вместо четырехгранной призмы мы возьмем восьмигранную, то число мгновенных осей удвоится, а угол, на который по- В С Р Е А В л н 4 Рис. 95.'Мгновенные осн вращения для призм и цилиндра.
ворачивается тело вокруг каждой оси, уменьшится. Центр масс переместится по меньшей дуге 0,0'Оз, более близкой к хорде 0,0„ чем в случае четырехгранной призмы. Безгранично удваивая число граней призмы, мы в пределе получим цилиндр. Ребра призм, которые являлись осями вращения, в пределе переходят в образующие цилиндра. Относительно каждой из них цилиндр поворачивается на бесконечно малый угол в течение бесконечно малого интервала времени. Центр масс цилиндра перемещается по прямой,т.
е. поступательно. Рассмотрим теперь конкретную задачу о плоскомдвижении. Положим, с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, скатывается без скольжения тяжелый цилиндр весом О и радиусом Я (рис. 96). На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести О, сила трения г" и сила реакции со стороны плоскости тт1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
