Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 76
Текст из файла (страница 76)
наложены на параметры системы, чтобы получить минимум дисперсии. Прн достаточно простом выражении длн дисперсии зто может быть определено непосредственным дифференцированием и приравниванием нулю частных производных. В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков. Другая постановка задачи при расчете по критерию минимума среднеквадратичной ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений параметров автоматической системы, прн которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки прн заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача будет решена, если найти, например, передаточную функцию замкнутой системы Ф ((е), при которой обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки. Задача относится к категории варнацноппых задач.
Приведем здесь некоторые результаты ее решения (120! для случая, когда полезный сигнал д (1) и помеха / (1) представля1от собой центрнрованные стационарные случайные процессы, приложенные яа входе системы. Перед системой ставится аадача преобразовывать входной сигнал д (1) так, чтобы на ее выходе воспроизводилась величина Ь (1), связанная с д (1) некоторой формулой преобразования РАсчеты по минимуму срыднвкВАдрлтичнои ОшиБки 337 О 11АП Раскроем в вь1ражении (11.132) скобки и изменим порядок интегрирования: т т т 1'1ш вт ~ ЬвЯе)1 — 2 1 в(Л) с1Л11ш.ет р) й(1) р(2' Л) 11+ --г — т г ~ в(Л) НЛ ~ в(т) е(т 1пп ~„~ ер(Š— Л) ер(1 — и) й. (11.134) Введеле коррс,1ационные функции: г 2Т ~ (+ (11.
135) -г Т Лт(т) =-11П1 —,, ~ ер(1+т) ср(е) ей=Во(т)+Ле(т)+Лое(т)+Лгз(т), (11.136) 1 -т Леер(т) =-1пп вт ~ й(1+т) 1р(1) Ю вЂ” --Лез(т) РЛлг(т) (11 137) Этим корреляционным функциям соответствуют спектральные плотПОСтн 8А (В), О, (В), Яо (В), Я1 (В), 8З1 (О1), Яер (В), ЛАЗ (В) И ЬАГ(В).
Кроме того, 1пл —, ~ Ьв (1) о11 = Лл (0) . 1 т,„гт В розультате выражение (11И34) можно преобразовать к виду ео хе:- Лл (0) — 2 ~ и (Л) Лис (Л) е(Л+ ~ и1 (Л) ОЛ ) 1Р (т) Ле (Л вЂ” т) е(т. (11.138) Так кзк в реальных системах 1Р(1) ==-0 при 1~0, то нижние пределы нптогрирования в (11.138) надо положить равными нулю. В результате получим хе::=. Лл(0) — 2 ~ и1(Л) Ле„(Л) е(Л+ ~ и:(Л) егЛ ) в(т) Лт(Л вЂ” т) сот. е о (11.139) Лрпр(т) — ~ Л„(т — Л) 1Р(Л) е(Л="О,, (11340) о Оптимальная передаточная функция (11.133), соответствующая оптимальной весовой функции, являеощейся решением уравнения (11.140), может быть представлена в виде ока (в) о т>0 22 в. А. Гесеперсвеа, е, и.
попов Из последнего выражения видно, что оптимальная весовая функция, соответствующая минимуму среднего квадрата ошибки, определяется только видом корреляционных функций полезного сигнала и помехи. Можно показать (120), что яеобходимое и достаточное условие минимизации выражения (11.139), которое должно быть наловлено на весовую функцию, заключается в том, чтобы она была решением интегрального уравнения Винера — Хопфа 338 (га.
11 СЛУЧАИИЫВ ПРОЦРССЫ В СИСТЕМАХ РКГУЛИРОВАИИЯ где Ч' Пь) Ч" (уь) =- ( Ч' (уь) 11 =- Я„(в). (11.142у В частном случае, когда преобразующий оператор Н (р) =- 1, т. е. в так называемом случае оптимального сглаживания, имеем л (у) =.. (у ((), 3 ( )=-3 (ь)+3 (ь)+3 (ь)+3у (в), 3А,(ь) =За.(ь) =- Уа(ь)+3ау(ь). В атом случае решение (11.141) может быть представлено в более простом виде: Ф(уь) = (11.143) (11.145) или, в другом виде, ха?!а= —,, ~ (~а(ь) — Ау!(ув)!') ?(о?. (11.147) Рассмотрим иллюстративный пример.
Предположим, что полезному сигналу и помехе на входе системы регулирования соответствуют спектраль- НЫР ПЛОТНОСТИ: 2ИУ? Яу (в) .= Л~, причем корреляция между ними отсутствует и Яау(ь) =Я!а(ь) =(). Найдем спектральную плотность, соответствующук? (11Л36): 2??У?-!- У???1 -?- Мь? или, в другом виде, (1+ уаь) (( — ?аь) (?! —, у!о) ()? — ?ь) Я (ь) — —. А где у?',у А = 2цу) + Ут')?1, аа =- 2!?У?.'.
У!)?а А Числитель этого выражения определяется следующим образом. Рассмотрим следующее выражение: Я а а (11Л44) х= — 1 ™ 1=-1 1-...1 Здесь Ч? — полюсы Яза (в), расположенные в верхней полуплоскости, ( — а!)— полюсы Яа (ь), Расположенные в нижней полУплоскостн, пРичем колюсь? предполагаются простыми, а у! — нули Ч'*(ув). Тогда В(уо?) = ~~ — ' ! -1 При реализации в системе оптимальной передаточной функции получится теоретический минимум среднего квадрата ошибки. Этот минимум определяется выражением + х';„= — ~ (Я.
(о?) — !Ф(уь) /13, (ь)) ?Уь (11Л46) Ю 339 1 11.9) РАсчетьг по минимуму сРеднекВАдРАГИЧНОЙ ОшиБки Отсюда знаменатель искомой передаточной функции (11 143) Ч' (усу) = ) у А Р+УАУ Кроме того, получаем а аа (ы) а а (99) 2рУУ 1 (1 — Уа91) (Р+ УАУ) 2р(У ( а 1 1 1 )уУЛ 1 1+Ра 1 — УАУА+ 1+Ра Р+УАУ) ' 'Уа (У9У) т*(У19) ),У,( Отбросив первый член в скобках, соответствующий полюсу в нижней полуплоскости, находим числитель искомой передаточной функции (11.143): В(ую) ==— 2рВ 1 1 ),уЛ 1+ра р+ууа ' Окончательно получаем 'тт' (ууа) А (1+ ра) 1+ уаау 2ро 1 А(1+ра) 1+ар Нахождение оптимальной передаточной функции еще не означает, что реальная автоматическая система может быть выполнена оптимальной, так как реализация ее молует быть сопряжена с большими трудностями.
Оптимальную передаточную функцию, за исключением простейших случаев, следует считать идеальной функцией, к которой по возможности надо стремиться при выполнении реальной автоматической системы. Теория оптимальных систем излагается в работах [26, 108, 120, 121). ГЛАВА 12 МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ $12.1. Общие соображения Под синтезом системы автоматического регулирования понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. По отношению к основе синтеза в настоящее время имеются разные точки зрения. Синтез можно трактовать ьак пример вариапиопной задачи и рассматривать такое построение системы автоматического регулирования, при котором для данных условий работы (управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по времени работы и т.
п.) обеспечивается теоретический минимум ошибки. Синтез также можно трактовать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению системы автоматического регулирования, при котором обеспечивается выполнение технических требований к ней. Подразумевается, что из многих возможных решений инженер, проектирующий систему, будет выбирать те, которые являются оптимальными с точки зрения существующих конкретных условий и требований к габаритам, весу, простоте, надеэкиостк и т. п.
Иногда в понятие ишконерпого синтеза вкладывается еще более узкий смысл и рассматривается синтез, имеющий целью определение вида и параметров корректирующих средств, которые необходимо добавить к некоторой неизменяемой части системы регулирования (объект с регулятором), чтобы обеспечить требуемые дияамическио качества. При инженерном синтезе системы автоматического регулирования необходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов. Решение первой задачи в больпшнстве случаев сводится к определению требуемого общего коэффициента усиления системы и, в случае необходимости,— вида корректирующих сродств, повынаювтих точность системы (регулирование по управляннцему и возмущающемувоздействиям,изодромныо механизмы и т.
п.). Ота задача может решаться при помощи определения ошибок в типовых режимах на основе тех критериев точности, которые были изложены в главе Я.!'ешенио этой задачи, как правило, не сопряжено с трудностями принципиального или вычислительного характера, так как критерии точности достаточно просты для их практического использования.
В сложных случаях можно прибегать к помощи моделирования. Решение оказываетсн сравянтельно простым вследствие необходимости установления значений относительно неболыпого числа параметров. В простеишем случае необходимо найти только общий коэффициент усиления системы. Рензение второй задачи — обеспеченно нриомлемых переходных про цессов — оказывается почти всегда более трудным вследствие большого 341 когнкной мвтод в >2з! числа варьируемых параметров и многозначности решения задачи демпфированин системы. Поэтому существующие инженерные методы часто ограничиваются решением только второй задачи, так как их авторы считают, что обеспечение требуемой точности может быть достаточно просто сделано на основании использования существующих критериев точности и совершенствования их практически не требуется.
В настоящее время для целей синтоза систем автоматического регулирования широко используются электронные и электромеханичесние нычислительные машины, позволяющие производить полное или частичное моделирование проектируемой системы. При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влинние РазличныхтафактоРов нелинейности, зависимость параметров от времени и т.
п. Однако моделирование на вычислительных машинах не может заменить расчетных методов проектировании, которые во многих случаях позволяют исследовать вопрос н общем виде и среди многих решений найти оптимальное. Поэтому, несмотря на развитие н распространение машинных методов синтеза, теория дол>г>на располагать собственными методами, которые дополняли бы моделирование и являлись бы теоретической базой при отыскании оптимального решения. 5 12.2. Корневой метод Наиболее простой корневой метод разработан Т. Н.
Соколовым [117!. Сущность его сводится к следующему '). Пусть имеется характеристическое уравнение системы р" +А,р"- +... — А„=--О. (12.1) С точки зрения скорейшего затухания переходного процесса важно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были наибольшими. Сумма вещественных частей всех корней численно равна первому коэффициенту характеристического уравнения (12.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
