Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Это может быть сделано посредством интегрирования по всем Интегралы такого вида вычислены до и =- 7 и сведены в таблицы (см. Приложение 2). Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 2 формул представляет собой п„1 — определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этот определитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности. В заключение рассмотрим два важных случая прохождения случайного сигнала через лияейнук1 систему.
Статистическое дифференцирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное днфференцирующее устройство с передаточной функцией )р (р) ==- р спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена узшожением спектральной плотности входной величины на еэ1 РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ ОШИБОК 8 11.8] частотам спектральной плотности ошибки или через корреляционную функцию ошибки х ((). В простейшем случае, когда управляющее воздействие и (г) представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью Ьз (ээ), а помеха отсутствует: Г' (8) = О, расчет ) можно свести к рассмотренной выше схеме (рис.
11.25). Тогда спектральная плотность ошибки будет У Я„ (о)) = / Ф„ (ю) !8 Я (ю). (11„119) Частотная передаточная функция по ошибРис. (1.26. ке Ф„()ю) связана с частотными передаточными функциями разомкнутой И' (Рм) н замкнутой Ф Ца) системы соотношением Фи ()Хэ) =- ( ж ( м) — — 1 — Ф (утэ). Такич образом, для спектральной плотности ошибки получаем 8 (и) Я*(")-= ~(+И(,.)~ . (11.120) Интегрирование этого выражения по всем частотам позволяет определить дисперсию и среднеквадратичное значение ошибки: / -~-а и,и.— )' Л .= ~)à — ') я,(о) йо, (11.121) Вычисление дисперсии и среднеквадратичной ошибки через корреляционные функции может производиться на основании формулы (11.107).
В качестве функции веса в рассматриваемом случае должна использоваться функция веса для ошибки ю„(г), связанная с частотной передаточной функцией по ошибке преобразованием Фурье Ф„()ю) = ~ ю„(8)е '"'~И. 'о После нахождения корреляционной функции ошибки В„(т) дисперсия определяется подстановкой т =- О, т. е. Р = 81„(0). Однако нахождение среднеквадратичной ошибки посредством использования спектральных плотностей оказывается обычно более простым и поэтому применяется чаще.
В другом простейшем случае, когда задающее воздействие л (г) = О, а помеха представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью Яг (ю), аналогичным образом можно найти спектральную плотность ошибки: Я*(а) ==- (Фг Ою) Р8г(ю) ° (11.122) В этом выражении Фг (Ао) представляет собой частотную передаточную функцию: Ф~() )'= — ~ Х(Р) ) ХОи) г (Р) )8=~и и Ом) связывающую изображения Фурье ошибки х (Г) и помехи 7' (8). В частном случае, когда помеха )' (8) действует на входе системы в месте прило8кения задающего воздействии, в формуле (11.101) должна исполь- 334 случАЙ11ые ПРОЦГссы В системАХ РЯГулиРОВАния [гл.
11 зоваться частотная передаточная функция замкнутой системы Я,. (в) =-!Ф(ув) /131(в) =-! ) — ~ Яу(е1). (11 123) Рассмотрим теперь общее выражение спектральной плотности ошибки для случая, когда аадающее воздействие у; (у) н помеха у (у) действуют одновременно (рис. 11.26).
Обозначим через й, (у) весовую функцию для ошибки по задаюгцему воадействню и через иоу (у) весовую функцию для ошибки по помехе. Тогда ошибку моионо представить в виде (у) = 1 д(у — у) ~„(л) уу.+ ', у(~ — ).) ~у(л) (у. о о (11.124) где Лот(т) и Луз (т) — взаимные корреляционные функции. Для нахождения спектральной плотности ошибки левую и правую части (11.125) умножим на е-1 ' и проинтегрируем по т от — оо до +со.
В результате выкладок, аналогичных тем, которые были проделаны прн выводе формулы (11.111), получим Я (в) = ~ Ф, (ув) Р Яз (в) + ! Фу ()о1) Р 31 (в) Н + Ф (Уго) Яуз (в) Фу (Ув)+ Ф' (Ув) Я,у (в) Фу (Ув) (11 126) В атом выражении Язу (в) и Яуз (в) представляют собой взаимные скектральные плотности полезного сигнала н помехи, а Ф„(ув) и Фу (ув)— частотные передаточные функции для ошибки по задающему воздействин1 и помехе. Звездочкой обозначен сопряженный комплекс.
При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой формула (11 126) упрощается: 3. (в) = !Ф. (ув) !' ~в (в) + !Фу (ув) !' ~у (в). Подставим зто выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51). В результате получим т СФ уу„(т) =)!ш —, ~ ~ гуу ~ и(у+т — г)) ш (1)) гуо) ') и(8 — Х) ш„(уо) гууо+ -т Ь о т + ~ г(У ~ У' (у+ т — 1)) йу(г)) г(1) ~ У'(У вЂ” У) шу(л) г(У + -т о Ъ г -г1«)гог.— ю .мгг1и -г) (г)гг~ -т о т сю Ог + 1 гуг ) К(у — у) ш (уо) г(А ) у(у+ — Ч) шу(о)) г(Ч1 ° -т о о Отсюда находим ',» +В уу.()=- ~ ). ~ (.(л)уу,(+у — ц) .(ц)+ ~())л~(+у — ц) у(ч) —, +йу(уо) у(уз(т+1 — 1)) й,(ц)+й (уг) Хзу(т+уо — гу) шу(Ч)) гуц, (11.125)1 1 11 Ы РАСЧЕТЫ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ ЗЗЬ В частном случае, когда помеха действует на входе в месте приложения управляющего воздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена в следующем виде: Я„(ю) = — ( Ф„(1со) !е Яе (ю) + ( Ф ()ю) 1э 81 (ю) = ~ Я (ю) — , '/ ' ) ~ 81(ю), (11.128) так как для этого случая частотная передаточная функция Фг Цю) совпадает с частотной передаточной функцией аамкнутой системы Ф Цв), Все приведенные выше формулы для спектральной плотности ошибки х (1) могут быть легко переписаны для спектральной плотности выходной величины у (1), если в ких заменить частотную передаточную функцию для ошибки Ф,, ()ю) па частотную передаточную функцию замкнутой системы Ф ()ю) = — — 1 — Ф„()ю).
5 11.9. Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки т — 1 хэ = 11ш —,, ~ хэ (1) дг т -т (11.129) практически во всех случаях является наиболее просто вычисляемой величиной, что к определило использование этого критерия. Возможны несколько формулировок задачи. Наиболее просто задача может быть сформулирована так. Коли имеется какая-то система автоматического регулирования заданной структуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки при заданных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи.
Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигнала, помехи и параметров системы. Затем вщутся условия, которые должны быть Коли на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача оптимального расчета системы с тем, чтобы получить наименьшую результирующую ошибку. С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система доляена иметь возможно большую полосу пропускания, а с точки зрения наилучшего подавления помехи система, наоборот, доля~на иметь возная<но меньшую полосу пропускания.
Критерием получения оптимального решения здесь будет - минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой. Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтому ее и используют для оценки точности автоматической системы. Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратичной оиеибки при одновременном действии полезного сигнала и помехи.
Согласно атому критерию нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины. Такая постановка является часто логичной, но она не может, конечно, претендовать на полную универсальность. В некоторых случаях, например при стрельбе по какой-либо цели, все ошибки, ббльшие некоторого значения, являются одинаково нежелательными. Однако средний квадрат ошибки системы регулирования 336 СЛУЧАЙПЫР ПРОЦВССЫ В СИСГКМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ 1вь 1' 1. (й (С)1 -- Н (р) Ь (д (1)), где Н (р) — преобразующий оператор. 1 Так, например, прн Н (р) .-= — получится задача интегрирования входного сигнала, при Н (р) = р — задача дифференцирования, при Н (р) =-1— задача простого воспроизведения со сглаживанием помехи (обычная следящая система прн наличии помех), при Н (р) = е'Р— статистическое упреждение (предсказание) и т.
и, На основании изложенного опгибку системы можно представить в виде * (1) = й (1) — у (1). (11 130) Выходная величина системы регулирования у(1)= ) гр(1 — т)и1(х) от, (11.131) где 1р(1) ==у(1)+1(1), а и~(1) — весовая функция аамкнутой системы. Подставляя (11.130) н (11.131) в формулу (11.129), получаем 1 г г г ~з хз.--. 11ш —,— ) ~ й (1) — ) ср (Р— т) и1 (т) дх ! Ж. т (11.132) Задача заключается в том, чтобы найти частотную передаточную функцнк1 замкнутой системы, связанную с весовой функцией преобразованием Фурье 111(11О) = ~ Ш(1) Е-Рл1 а1 а таким образом, чтобы минимизировать значение хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
