Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Прохождение случайного сигнала через линейную систему Рассмотрим линейную систему (рис. 11.25) с передаточной функцией И'(р) и функцией веса иэ (т). Пусть на входе действует случайный сигнал х, (1) с корреляционной функцией Я, (1, г,). Выходпой сигнал хо (г) на основании формулы свертки (7.44) хо Я = ) и'(т) х, (й — т) гН вЂ”. ~ и (à — -т) х,(т) о(т.
Рассматривая в этой формуле математические ожидания, имеем с М [хо (1)) = хз (1) =- ~ и (У вЂ” т) х, (т) дт. о (11.95) Для получения корреляционной функции па выходе запишем исходную формулу для центрнрованныл значений х',(э) =-х,(1) — х, (1) и х',(1) =-.хэ(э)— — хо(1) для двух моментов времени: х",(1) =- ~ ю(т)) х',(1-8) оц, 1 и ! *, оо = ) о) .,'о, — ч л1. ~ о (11.!Н~) После перемножения получим н хо(т) х'(1,) = ) ) иэ(т)) и~(Х) х~(э — ц) х',(1, — Ц с(т) ИХ.
(11.97) о о о и А,'(1, Ю,)=- ~ ю(т)) о(э) ) иэ().) )то,(~ — э), г,— Х) с().. (11,98) 0 о Для определения дисперсии на выходе 1)з(т) в формуле (11.98) следует положить 1 = 1п Тогда Р, (1) =. Ао (1, 1) —.— ~ и (т() дэ) ~ ю ().) Ло, (г — т(, г — л) о() . (11.99) о О В случае использования канонического разложения случайной функции х,(1) = — х,(т) + Ч 'г',.х,(т) (11.1ОО) ч выходная величина может быть пречставлена в виде х, (1) =- х, (1) + ~' 1;,у,. И), (11.101) Далее, переходя к математнчесьому ожиданию, можно найти корреляционную функцию 1 11Л1 НРохождение случАйнОГО си1'нАЛА чеРез систему 329 где хз(7) определяется формулой (11.95), а координатные функции у,(7) — -- ) ю(à — т) х,(т) Ыт. о (11 102) Корреляционная функция выходного сигнала К,'(6 г1) =',~, Л,У„(Г) У,(71), т (11.108) а дисперсия л (1) = Х л.! у.
(Г)) 7. (11.104) Для нахонгдения математического ожидания хз (~) и координатных функций у„(г) в соответствии с выражениями (11.95) и (11.102) могут использоваться различные методы построения переходных процессов (см. главу 7). В случае, когда на входе (рис. 11.25) действует случайный стационарный процесс, корреляционная функция Л1 (ц 11) — "- Л, (т) зависит только от сдвига т = — 11 — й Однако на выходе линейной системы процесс некоторое время после включения будет устанавливаться и не будет стационарным. Корреляционная функция на выходе может быть получена из общего выражения (11. 98): Л; (Ц 77) =- ~ ю (ц) й7 ~ ю ® Л; ( — ц+ Л) 1Л, (11.
105) а дисперсия — из (11 99): 1 1 В,(1)--=- ~ (ч) й1 ~ ю()) Л,'Р.— 7)) в. (11 106) Если рассматриваемая система устойчива, то Л", (1, 11) и Лз (г) стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Они могут быть найдены из (11.105) и (11.106), еслиположить г'-+. Оо и 11 — оо. Тогда Ю Л',(т)=- ~ ю(7))й7 ') ю(й)Л;(т — т~+Л)гУ., (11.107) о о 17, —. Л,, '(О) =- ) н7 (70 й7 ') и (А) Л", (Л вЂ” 7)) й .
(11.108) о о Пусть, например, на входе интегрирующего звена с передаточной функцией И' (р) —. кlр и функцией веса ю (1) =- й действует белый шум с корреляционной функцией Л, (т) =- Л', (т) =- Х 6 (т). Тогда в соответствии с (11.106) дисперсия на выходе будет 17з (1) --. ~ й й1 ') (гМ 6 (А — Ц)д) -.=: ~ к й7 к77'-.-. 61Л'1, 'о О о т. е. днсперсня растет пропорционально времени. Нетрудно видеть, что 777 (оо) -~. ОО, так как звено не является устойчивым, а оно находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчиво). .ззо С11УЧАЙНЫК ПРОЦЕССЫ В СИСТРМАХ РКГУЛИРОВАНИЯ 52А. !1 Для расчета установившегося стационарного процесса на выходе системы (рнс.
11.25) более удобно исходить из известной спектральной плотности на входе Л1 (ю). Тогда можно легко найти спектральную плотность О'2 (ю) выходного сигнала. Действительно, по определению спектральная плотность на входе связана с изображением Фурье г"1 (5ю) случайной величины х1 (5) соотношением (11.61): Л ( ) =. 11 ,~ ( Л (5 ) (-'. 5 т Это же соотношение имеет место и для выходного сигнала: 82 (1о) =- 1ЦП вЂ” ( г"2 (5е1) 52. 5 т В линейной системе изображения Фурье г1 (5ю) и Р2 (5ю) связаны между собой посредством частотной передаточной функции: '~ 2 (/ю) 11 (5е1) р1 (5ю)' Отсюда можно найти ~2( ) 11п'эг 5~1(5")55И (5хе)5' И:1И 8~ (ю) = ( И' (5ю) 5' 8~ (ю). (11.109) Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотной передаточной функции линейной системы.
Отметим, что приведенное выше доказательство, вообще говоря, не является ст|1огнм, так как существование стационарного случайного процесса на выходе не доказано. При известной спектральной плотности О'2 (ю) выходной величины может быть найдена корреляционная функция Л,(т) по преобразовани1о Фурье (11.66) или (11.68).
Получим выражение (11 109) более строго. Для этого используем формулу (11 107). Так как в реальяых системах весовая функция тождественно равна нул1о прн 5 - О, то нижние пределы интегрирования можно положить равными — оо. Полагая, что на входе действует центрированный процесс (х, =- 0) и Л, (т) =- Л', (т), имеем Л ( ) =- ~ (25) 112) ) (л) Л1(т+А — 25) в,. (11.110) Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана с корреляционяой функцией соотношением (11.65): ОЭ 8 (Е1) = ~ Л (т) Е-5вт 15т.. Подставляя в последн1ою формулу значение корреляционной функции из (11.110), получаем ОО 52(1э) —.- ) 15т ~ гй ~ е 5ьяи1(ц) и(Х) Л,(т+1 — 25)1525.= С вЂ”.» Ю вЂ” 15т ~ 25)~ ~ е-1"1' т-ч1е5""'е 5езЛ1(т+1 — 2)) и(А) ю(25) 1525=-.- $11 1) НРОХОждение случАйнОГО сигнАНА чеРез систему ЗЗ1 — ~ и (1)) е уа'ус(т) ) иу(Л) еу'"Ас(Л ~ Лс(т+Л вЂ” т))е )асс+~ чу сух= »» — »» »» +»» = ИУ (ув) И'( — усо) ~ Лс(т) е ухн с(т =.
(И'(ув) )181 (в). »» (11.111) Последнее выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать. Для нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины, необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плот- ностьс х', == Ро = —, ') 81 (со) йо = ~ Яо(2яу) с(у. (11.112) Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении ее через линейную систему. Однако в случае, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины х, (1), то на выходе для случайной величины х, (1) также будет иметь место нормальное распределение. При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выраженном вида ) В (уа) )о ) А(уа) р ) В (уа) )о 6 (уа) ),1 (усе) р А (усе) А ( — усо) где А (ув) = ао (ув)" + а, (ув)о 1 +...
+ а„, с(ув) = (уо (ув)са '+ (ус (ув)ео '+... + (у Полинам 6 (ув) содержит только четные степени ув. Полинам А (ув) для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка р = ув, а множитель у оаначает поворот комплексного числа на угол — , 2 ' Таким образом, вычисление дисперсии (11.112) можно свести к нахождению интеграла Ча »» б (уа) йо 1 Г с» (усо) суа 2а,) А(уа) А (-уос) 2И Д ) А(уа) )о ' (11.118) В общем случае при любом и для устойчивой системы интеграл 1„ может быть представлен в виде (38] м„ 2оо где А (ув) и В (ув) представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной ув.
Наивысшую степень знаменателя обозначим 2п. Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть не выше 2я — 2. Для удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде случлйпые пРОцессы в снстемлх РетулиРОВлния О1 11 а, аз а, ... О аэ аэ а, ...
О О а, аа ... О О О О ... а„ (11,1! 5) совпадает со старшим определителем Гурвица, а числитель определяется выра.некием ~ Ь, Ь1 М„-.- О а, О О Ьз ... Ь„1 а, О а, О О .. а„ (11.116) Яз (Се) -= оРЯ1 (в), (11.117) при двойном дифференцировании — на 1»' п т. д. Статистическое интегрирование. Ври поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено с передаточной функ! цией И'(р) ==. — спектральная плотность выходной величины (интеграла Р от входной величины) может быть получена делением интегральной плотности входной величины на с»-: (11.118) при двойноч интегрировании — па в1 и т. д.
5 11.8. Расчет установившихся ошибок в автоматических системах Замкнутая система автоматического регулирования может находиться под воздействием случайного задатощего сигнала а (1) и случайной помехи ~ (1), приложенной в произвольной точке системы (рис. 11.26). Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия и помехи будем считать известными. Конечной целью расчета является нахождение корреляционных функций и спектральных плотностей выходной величины у О) и ошибки х (!). Обычно ограничиваются более узкой задачей и определяют только среднеквадратичную ошибку системы регулирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
