Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Рассмотрим простейшие типовые законы распределения непрерывных случайных величин. З04 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ !га. 11 1. Равномерное распределение случайной величины на определенном участке характеризуется плотностью вероятности ]а (х) и функцией распределения Р (х), показанными на рис. 11.9. При этом на основании свойства (11.14) имеем 1 с =-— Ь вЂ” а Подсчитаем характерные значения. Среднее значение (математическое ожидание) +М ь е = ~ х]а(х) с(х= ) ха дх= Среднее значение квадрата случайной величины (момент второго порядка) ь — Г, ав.в аЬА-Ь« х'=- л! хзсдх = а Дисперсия — (ь — а)» )7 =х» — (х)'=- 12 Среднеквадратичное отклонение — Ь вЂ” а !/П 2 )/3 Средневероятное отклопение А, = — (Ь вЂ” а) и. 1 в — Ь Рвс, 1!АЬ Максимально воз»южное отклонение случайной величины от среднего значения в данном случае будет Ь вЂ” а Аивв = —.
2 2. Нормальньш" закал распредслспия неп1]ерывных случайных величин (аакоп Гаусса). Этот закон имеет вид !в-х!в к] (х) „с ~~~2 о )/2л (11.21) где и — среднеквадратичное отклонение, а х — математическое ожидание случайной величины. График для этого закона изображен на рис.
11.10. Он имеет типичнук] «колоколообразную» форму. Анализ условий возникновения норРвс. ! !.19. мального распределения показывает, что оно имеет место во всех тех случаях, когда случайная величина характеризует собой суммарный эффект большого числа независимых причин. Поэтому нормальное распределенно весьма часто встречается на практике. Для этого закона средпевероятное отклонение будет А,= ~г — о=-0.674о. / 2 ЗОЗ ВВОДНЫК ЗАМЕЧАНИЯ $ Н.11 За максимальное отклонение, которое может иметь место, обычно принимают величину Ь „= Зо, так как вероятность того, что отклонение ! х — х ) будет балыке Зо, очень мала, а именно: Р (~ х — х ~ ~ Зп) =- 0,003.
Для удобства расчетов составлены таблицы для единичкого нормального закона. Для получения этого закона положим х == 0 и введем новую относительную переменную у =-- †. Тогда вероятность того, что теку1цве значение относительной переменной находится в интервале от — а до +а или сама переменная находится в интервале от — аа до +ап, определится выражением таа +а „в Ф(а) —: ) е зав Их=к ') е з е)у.
-аа -а (11.22) Для функции Ф (а) составлены подробные таблицы. В качестве иллюстрации приводится краткая табл. 11.2. Т и б л в ц а 11.2 Едввмчкый нормальный закон — О, 125 — (+ 0,125. Таким образом, а = 0,125. По табл. 11.2 определяем путем интерполяции вероятность Ф (а) =. 0,1. Произведем более сложный расчет. Пусть для той же случайной величины необходимо определить вероятность нахождения ев в интервале 11 ( х ( 12. Так как кривая нормального распределения является симметричной относительно среднего значения случайной величины, то искомая вероятность может быть найдена как половина разности вероятности нахождения случайной величины в интервале — 12 ( х ( 12 и вероятности нахождения в интервале — 11 ( х ( 11, т.
е. р (11 ( ( 12а Р ( — 12 < х < 12) — Р ( — 11 < х < 11) (х( ).—. 2 или для отклонений Р (11 ( х ( 12) Р ( 2 < А < 2) — Р ( — 1 < Л < 1) 2 20 В. А. Вееекерелив, Е П. Покое Рассмотрим пример пользования таблицей. Пусть имеется некоторая случайная величина х, для которой математическое ожидание х = 10, а среднеквадратичное отклонение составляет и =- 4.
Определим, какова вероятность того, что случайная величина лежит в интервале 9,5 а х 10,5. Это означает, что отклонение от математического ожидания должно лежать в интервале — 0,5 ( Ь ( +0,5. Для относительных величин это соответствует неравенству 398 СЛУЧАЙИЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСтвМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гх. ы Перейдя к относительным величинам, получаем в результате искомую вероятность )о (11 12) Ф [0,3) — Ф (О, о) 0,333 — 0307 2 2 Характеристические функции.
Введем в рассмотрение функцию д(7)), связанную с плотностью вероятности ю (х) взаимным преобрааовакием Фурье: М [еп'[=Р()Ц= ~ ю(х) ехх о[х, (11.23) в(х) = — ~ д())о) е-оххй).. 1 ол Эта функция называется характеристической. Ке основные свойства следующие. Коли случайная величина у =- ах-,'- Ь, то йа (у)„) .= опоя, (72 ) (11.24) (11.25) 3'х(Й) =ах(Й) ао(1)") Для нормального закона распределения (11.21) характеристическая функция будет я(у).)= ~ ехр ~))ох —, 1дххх [ ехр [)) хо — —,'" ) дхо — ехр [ у)ох — —, 1. (11.26) о-Р2 з о 2ао ~ о 2 По характеристической функции могут быть найдены моменты случайной величииы.
Разлагая д(у)о) и М[еохх[ в первой формуле (11.23) в ряд Маклорена, имеем а(7)) =- Х вЂ”, а'0(9)) '+р., ;=о .у [еьтх) "ч ~~"~ М [ л[+,.у [Л ] (11.27) (11.28) г —.о Из сравнения (11.27) и (11.28) можно получить формулу для момента т-го порядка: М [х") =-7 '"~<">(9). (11.29) Лналогичным образом можно получить формулу для момента т-го порядка: М[(х — х) [ — ! [ — е И" д(1))~ центрального (11.30) Формулы (11.29) и (11.30) могут быть испольаовапы для вычисления моментов. Ксли случайпая величина з=х+у, где х и у — независимые вели- чипы, то случАйнык пгоцкссы $ !!.2) Векторные случайные величины. Пусть имеется совокупность случайныл величин х! (! = 1, 2,..., и). Такая совокупность может быть представлена в виде матрицы-столбца.
Если физические размерности всех величин одинаковы, то матрица-столбец мо2кет быть отождествлена с вектором. При разных размерностях переход к вектору может быть сделан после нормирования (введения весовых коэффициентов). Пусть, например, имеются две непрерывные случайные величины х, и х,. Для них может быть введена двумерная плотность вероятности в2 (х„хз), Если величины х, и хз независимы, то к2 (х„хз) =-- ю! (х,) юз (хз). Вводится понятие смешанного момента т-го порядка, где вг = о + з, С М[х~х') = ~ ~ хчх'й(х2, хз) 2[х22(хз (И.31) и смешанного центрального момента Г М [(х,— х,) (х2 — хз)']=- ) [ (х,— х!) (х,— х2) и2(х„хз) 2!х! 22хз. (И.32) — М Если д=а =1, то центральный момент второго порядка имеет особое значение и носит название корреляционного момента: Г„=М[(х,— х,) (х2 — хз)[ = ) ') (х,— х,) (хз — х,) ю(х22 хз) 2[х! Ыхз. (И.33) В случае независимости случайных величин х! и хз можно легко показать, что коРРелЯЦионный момент Г,з =- О.
Иногда употребляется понятие коэффициента корреляции, представляю. щего собой относительное значение корреляционного момента: (И.34) где Р! и Рз — дисперсии величин х, и хз. Для совокупности случайных величин х; (1 =1, ..., и) в приближенныл расчетах часто ограничиваются заданием матрицы-столбца (вектора) математических ожиданий х = [[ х! [[ „! и матрицы корреляционных моментов Г, Г„...Г, Г2! Г22 Г22 Гзп (И.35) Г! Г222 Г! Составляющие корреляционной матрицы показывают степень связи между отДельными слУчайными величинами, пРичем Г2! = Г2п На Диагопали коРРеляционной матрицы находятся собственные центральные моменты второго порядка, т, е.
дисперсии Р! = Гп (! = 1, ..., и). 5 И.2. Случайные процессы Случайная величина х, изменяющаяся во времени д называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая х (!), а является множеством возможных кривых х (!), так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множестзом) возможных значений. Мо2кно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.
йИ' 308 случАЙные НРоцессы В системАх Регул яРОВАния (гл. ы Примерами случайных процессов могут, например, являться: координаты самолета, замеряемые радиолокационной станцией; угол визирования движущейся цели головкой самонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т. п.
Итак, в случайном процессе кет определенной зависимости л (г). Каждая кривая множества (рис. 11.11) является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс. Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками. В каждый отдельный момент времени (го гз, гз,...: рис.
11.11) наблюдаются случайные величины л, = х (8г), хз -— — хйэ), каждая из которых имеет Рис. л1Л1. Рис. 1132. свой закон распределения. Поскольку это — непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности. Обозначим ю (х, г) закон распределения для всех этих отдельных случайных величин. В общем случае он меняется с течением времени. Для каждого данного г в отдельности (1о 1ю 1„...) будет свой закон распределения: ю (хы 1,), ю (хю 8з), ю (х„1з), ..., причем по свойству (11.14) для каждого из них ) ю(т, г) Ох=1. Для каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных величин, определенные в $11.1.
В результате будем иметь среднее по множеству (математическое ожидание) х(1) = ) хю(л, г) г(х — ОО (11.36) и дисперсию (11. 37) Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую (рис. 11.12), около которой группируются все возвюжные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия В (1) или среднеквадратичное отклонение о (Г) характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций процесса около этой средней кривой.
$ )!.2) случаянык пгоцессы Кроме этих осредненных характеристик х («) и О («), которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, введем понятие среднего значения случайной величины х для отдельной реализации случайного процесса х («), которое определяется из выражения +т —,', (.()«~. (И.33) т Переход к пределу здесь необходим для того, чтобы характериаовать не какой-нибудь отдельный участок кривой, а всю воаможную кривую х («) в целом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
