Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие. белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б): $ ЗЬ$1 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 323 Этому процессу соответствует корреляционная функция 60 и Л (т) = — ) Я (в) соз вт йо = — соз вт йо = — з1п впт. (И.74) г А! г А' о Корреляционная функция такх<е изображена на рис.
И.21, б. Для этого процесса н "П Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному нз полосы частот: О=) й =)ГЛг)г Л1. (И.76) Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (И.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, испольаовать выражение (И.77) где р = — — коэффициент, определяющий ширину полосы частот. График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис. И.21, в. Для частот — р ~ в ( р процесс приближается к белому шуму, так как для этих частот я (в) ж Лг. Интегрированна П1.77) по всем частотам дает возможкость определить дисперсию: г л«ь л. 1)=— 2л .) Г -'~- взгз 2Т Поэтому спектральная плотность (И.77) моязет быть записана в другом виде: т-'взгз з-~-вз ' (И.76) Корреляционная функция для этого процесса +ю л (т) = —, ', е3~ ЙО = Оа-яв! (И.79) 2ч,! !!з-', вз Ф Корреляционная функция также изображена на рис.
И.21, в. 2. Типовой входной сигнал следящей системы..9 В качестве типового сигнала для ! следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости ! на входе в соответствии с рис. И.22. г,-!--г -~-г-!-г — ! Скорость сохраняет постоянное зна- л чение в течение некоторых интер! ! валов времени (г„ гв г„ ...). Переход от одного значения к другому совершается мгновенно.
Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (И.4). В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание 12 = О, а среднеквадратичное аначение скорости равно дисперсии, т. е. Йз =.0О4= О. Ряс. П.22 21~ случАйные НРоцкссы в систвмАх Ркгу:!ИРОВАнпя !ко 11 График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует двилгению цели по прямой.
Псремона знака или величины скорости соответствует маневру цели. Обозначим р среднее число перемен скорости за одну секунду. Тогда Т =- 1 = — будет средним значением интервала времени, в течение которого угло. 1г вая скорость сохраняет постоянное значение. Применитольно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой.
Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения В (т) = П (1) П (1 + т). Прн нахождении этого произведения могут быть два случая. 1. Моменты времени 1и1 -1с т относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии: В () 11(1)гг(1 .) Пг Р 2.
Моменты времени 1 и 1+ т относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю: Л, (т) = П (1) Й (1 —,' т) = О, так как произведения с положительным и отрицательнылг знаками будут равновероятнымн. Корреляционная функция будет равна В (т) = Р1В1 (т) + РгВг (т) = Р1Л1 (т) где Р, — вероятность нахождения моментов времени 1 и 1 + т в одном интервале, а Р, .= 1 — Р, — вероятность нахождения их в разных интервалах. Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке вреАт мени Лт пропорциональна этому промежутку н равна )г Лт или —.
ВероятТ Ат ность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка будет 1 — —. Т ' Для интервала времени т вероятность отсутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов времени 1 и 1+ т в одном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Лт, так как эти события независимые. В результате для конечного промежутка Лт получаем Р— (1 ) Устремив Лт — + О н переходя к пределу, получим 1 ат 1ьг Р, -:: 1пп ( 1 — —, 1 =- е лг ог 'Г и окончательно П1 1с~ В(т):-- Пае т =-1)ге 1' . (11.ВО) % Н.$1 спектРАльнАя плОтнОсть стАцггОнАРных пРОцессов 325 Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78): 2ТРО 2рРО 8О('4= 1+ ыт Р +сгз (11.81) Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана для угловой скорости процесса (рис.
11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки сз у следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, У относительно которых процесс стационарен.
Это дает возможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибки следящей системы. 3. Нерегулярная качРис. 11.23. к а. Некоторые объекты, например корабли, самолеты и другие, находясь под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. и.), движутся по случайному закону.
Так как сами объекты имеют определенную, им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчеркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение. Типичный график нерегулярной качки изображен на рис. 11.23. Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это движение довольно близко к периодическому.
В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением (11.82) В (т) = Ве-и~'! соз рт, где (1 — резонансная частота, (г — параметр затухания,  — дисперсия. Значения Ю, р и р находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний). Корреляционной функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см. табл.
11.3) 8(ю)=Ф~ .. ' + —. „э (а мг) г (а м)з ~' (11.83) Неудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения). В этом случае величина В будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения. Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная качка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся к бесконечности, т. е. зто будет физически нереальный процесс. Зйб слу'1Айные пРОцессы В систвмАЕ РегулиРОВАния Гг.ь 1! Более удобная формула для аппроксимации угла качки ?? (т) = ??зе ж!1 (Сов[)т+ — "з1вр [т[) .
(11.84) Соответствуюпзая спектральная плотность 2Р+и р ' ~ Р!+ Гр — м)' + в!+ Гр+«')! .)" Здесь ?7е — дисперсия для угла. При такои аппроксимации дисперсия для угловой скорости получается конечной: ?7а =- (р' + РА!) А)в. Однако и эта аппроксимация соответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности. Для получения конечной дисперсии углового ускорения требуются еще более сложные формулы аппроксимации, которые здесь не приводятся. (11.85) Ркс. 1!.24. Типичныо кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки приведены на рис.
11.24. й 11.6. Канонические разложения случайнык функций Элементарной случайной функцией называется функция, которая может быть представлона в виде х (?) =- х<Г(?), (11.86) где 1р (?) — некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т. и.). Если математическое ожидание величины х равно нулю, то и математическое ожидание случайной функция М [х ГГ)) =- О.
Корреляционная функция в этом случае ?? (?, ?1) = М !х р (!) хр (?!)[ =- ??Ч (г) р (?1), (11.87) где дисперсия В .= М [х!). 1'ассмотрим случайную функцию х (!), которая может быть представлена а виде суммы математического ожидания х (?) и элементарных случайных функций: х (?)--=х(Ф)+ ~ ~у,х,(?).
(11.88) Здесь [г, — случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожидапием. Представление случайной функции в виде суммы ее математического ожидания и взаимно некоррелировакных элементарных случайных функций называется каноническим разложением. Случайные коэффициенты носят название коэффициентов канонического разлох!ения, а функции х, (1)— координатных функций. ч ы.з) кАнонические РАзложения случАЙных Функций 327 При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т.
и.). Так, например, производная от (И.88) будет +'~ ~ух ех (й) ех я Ех~ (М) (И.89) Аналогичным образом интегрирование (И.88) дает ~ х (Ф) ЙЪ = ') х (Е) й + у'„Ъ~„~ хт (() сй. (И.9О) Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют различные методы [108], Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция В (~, е1) =: М (х (е) х (е1)) =- (х (е))з+ ~ Р х, (() х, (г1). (И.91) Ю )7(т)=- "Я Р,е' "=(х)'+~' 2Р,сова,т, а, — — ~~, (И.92) где у — целые числа. Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайной функции Ф~ х (1) ==х-)- 2,' У',е'~~'=-х+ 2,' (Х,сова„1+ А,в1па,г), (И.93) х —.0 где Х, и )', — взаимно некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиями О,ЪР,.
В разложении (И.92) должны отсутствовать нечетные гармоники. Тогда ряд (И.93) будет содержать только четные гармоники, что соответствует периоду 2Т (Интервалу — Т ( 1( Т). Если разность между двумя соседними гармониками Ьа = а„а— — а, = — устремить к нулю, что соответствует Т -~- оо, то формулу (И.92) можно представить в виде 00 х) (т) = 11п1 ~~)' — е'"т'Аа = — ~ Я (а) е' ' Йо. (И.94) х- —,ю СО Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. $ И.б) Б (а) =- Иш — ' = ) 1ш 4ТР„, 2к0„, ах- З Аа т являющаяся изображением Фурье корреляционной функции В (т).
.Здесь Р, — - М (Р;) — дисперсии коэффициентов канонического разложения. Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции. Для стационарной случайной функции, заданной в интервале — Т -С Т, разность т = ~, — ~ изменяется в интервале — 2Т ( т ( 2Т и рааложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье: 328 слтчлнныв пгоцкссы в спсткмлх гвгэлнж>влияя Гг.1. 11 з 11.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
