Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Для того чтобы знать связь между возможными значениями случайной функции х («) в последующие моменты времени со значениями в предыдущие моменты, вводится понятие двумерной плотности вероятности йг (х! «»' хг. «г) (и!г ~0), смысл которого можно пояснить следующим образом. Вероятность того, что в момент времени «, величина х находится в интервале (хг,х, + Нх!), а в момент времени «г — в интервале (хг, хг + «)х)„будет йг (х), «!', хю «г) ««хг««хгг Это есть вероятность того, что кривая х («) пройдет вблизи двух заданных точек (х» «,) и (х„«,). Вводится также н в-мерная плотность вероятности й!! (х» «!) хг~ «2) хи~ «в) Воли ее умножить на «)хг, !«хг, ..., ««х„, то зто будет вероятность того, что кривая пройдет вблизи заданных и точек. Случайный процесс полностью определяется видом функций й» йг, й„..., й„и связью между ними.
Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные моменты времени (х, в момент «!', хг в момент «г и т. д.) не зависят друг от друга. Тогда появления значений (х» «,), (хг, «г), (хг, «г) и т. д. будут независимыми случайными событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности.
Следовательно, для чисто случайного процесса йг (хг, «г, хг, «г) = й (хг, «!) и! (хг, «г) (И.39) и вообще и„(х), «), хг, «г,'..., 'х„, «„) = и! (хг, «!) й (хг, «г);...; й(х, «„). (И,40) Это — самые простые соотношения в теории случайных процессов. Они могут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи). Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих систем соотношения (И.39) и (И.40) практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени. Так,например, если речь идет о слежении за самолетом, то он не может как угодно быстро менять свое положение и скорость. Поэтому если он в момент времени «! занял положение хг, то этим самым его возможное положение хг в следующий момент «г ограничено, т.
е. события (хг, «г) и (хг, «,) пе будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем болыпе эта взаимозависимость, или корреляция. В таких случаях вместо формулы (И.39) необходимо записать й (хг, «!', хг, «г) = й (х), «,) и!гл (хг, «г), (И.41) З1() случАиные КРОцкссы В снсткмАх Ркгусп1РОВАния !оо 11 где и1м1 (хю 11) с)х — условная вероятность того, что случайный процесс пройдет вблизи точки (х„с,), если он уже прошел через точку (х„Г1).
Следовательно, зная плотности вероятности и1 (х„г1) и 1сз (х1, г,; хю гД, можно найти такнсе и условную плотность вероятности (11.42) о(л1 11) Кроме того. имеет место следующая связь между основными плотностями веронтности: и1 (Х1 11) ~ и'- '(Х1' 11 Хз ь) 11Х2, (11.43) так как и1 (х„11) есть плотность вероятности случайной величины (Х„11) безотносительно к тому, какое потом будет значение (хе, 11). т. е.
допускается — оо ~ хз ( + оо. Аналогичным обРазом лк1баа плотность веРоЯтности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т. е. высшие плотности вероятностей содержат наиболыпее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины х в различные моменты времени). Написаяные соотношения справедливы для случайных процессов любых типов. В зависимости же от того, до какого порядка принимаются во внимание плотности вероятности, а такясе от разных дополнительных гипотез о формах связи между 1с„и1„..., и1„рассматриваются разные типы случайных процессов в отличие от чисто случайных. Другая классификация всех случайных процессов состоит в разделении их на стационарные и нестацнонарные. Теория стационарных случайных процессов наиболее разработана и чаще всего применяется на практике.
й 11.3. Стационарные случайные процессы Стаиионарнмм случайным нро1)ессом называется такой процесс, веронтностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей и11, и1„..., и1„не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т. е. при -г — сохранении постоянной разности. Можно сказать, что стационарный У 1 случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным стационарным или а установившимся процессам в автома- С/ г, тических системах.
Например, при рассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какую-нибудь величину. Прн этом сохраяят свои значения такие характеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение н т. п. В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е. плотность вероятности не зависит от времени: 1с (х, 1) = и1 (х).
Отсюда получаем х = сопз1 и и =- сопзь вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от обгцего случая (см. рис. 11.12), будет прямая х =- сопз$ (рис. 11 13), подобно постоянному смещению средней линии обычных периодических И 11.21 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое а = сопз2, также будет все время одинаковым, подобно постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии. Аналогичным образом н двумерная плотность вероятности также будет одна и та же для одного и того же промежутка времени т = 12 — 11 между любыми 11 н 82 (рис.
11.13), т. е. (11.44) иР2 (х11 21', х2, 12) = и'2 (х1, х2, т), х= ) хи1(х) 11Х вЂ”.— х=11ш — 1 х(1) 212. т 2Т (11.45) Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков — дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. и. Эргоднческая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения х, В, о и т. и., вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой х (1), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.
Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает Никакой другой тип случайного процесса. и также для и-мерной плотности вероятности. Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненнымн н характеристиками процесса. Прежде чем перейти к ннм, отметим два важных для практики свойства.
1. Ограничиваясь только стационарными случайными процессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее прн рассмотрении регулярных воадействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибок в установившемся периодическом режиме.
2. Стационарные случайные процессы обладают аамечательным свойством, которое известно под названием эргодической гипотезы. Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е. практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности х = х, х' = хэ и т.
д. В самом дело, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются (например, х = сопз$), то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству). Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства.
Тогда оно сводится к эргодической теореме. Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного х1роцесса будет 312 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ РЕГУЛНРОВАННЯ (гл 11 $11.4. Корреляционная функции Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции х (() и х (11), взятых в моменты времени г н г„носит название корреляционной (автокорреляциояной) функции.
Она может быть найдена аналогично (11.31) из выражения Л (д 11) =. М [х (~) х (~1)] = ) ~ х (~) х (11) из(х, ~; х,. 11) 1[х 1(х„(11.46) где 1РА(х, ц хн 11) — двумерная плотность вероятности. Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент х(з) и х(11), т. е. Л~(1, 11) ™ [(х (1) — х (1)) (х (11) — х (11))] =— В Ф [х(() — х(Ф)][х((1) — х(11)] юз (х, ц хо (1) 1]х1[х1. (11.47) — В В этом случае корреляционная функция (11,46) может быть представлена в виде суммы Л (ц 11) =- [х (~)]э+ Л' (1, 11).
(11.48) Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени х (~1) от предюествующего значения х (1) в момент времени й. Это есть мера связи между ними. Рассмотрим основные свойства корреляционных функций. 1. Из определения корреляционной функции (11.46) и (11.47) следует свойство симметрии: Л (Ц 11) =- В (11, () и Л' (Ц 11) =- Лэ((1, Х), 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
