Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 68
Текст из файла (страница 68)
п. Этот закон записывается следующим образом для целых значений числа х: 298 с:!учАйные пРопессы В системАХ РегулпРОВАния [га. 11 Аналогичным образом можно показать, что вероятность одной перемены знака на интервале Т будет Р (1) .= [А Те Рг. вероятность двух перемен (,Т1! знака Р (2) = — „е Рг и т. д. Следовательно, вероятность х перемен знака на интервале времени Т будет определяться выражением (Р')" а- т х[ которое совпадает с формулой (11.3), если положить в ней /> =- [>Т, где [АТ— среднее число перемен знака на интервале времени Т, которое будет наблюдаться при многократном повторении наблюдения. Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, для практики нужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.
Одной из таких характеристик является среднее значение, или математическое ожидание, случайной величины. Оно определяется из выражения х =/*'>/ [х[ =- ~~„'х!Р;. (11.5) >=-. 1 Так, например, для случая бросания игральной кости > / ! ! 1 1 - ! 1! == 1>' х; Р; --. (1 ° —; + 2 —, -[- 3 — + 4 — + 5 —, + б — ) = 6 6 6 6 6 6) 1=1 = — (1+ 2+ 3-;- 4+ 5-.'- 6) — — =-3.5.
6 ' ' ' ' ' 6 Вообще для равновероятного закона распределения (11.5) превращается в формулу х -- — ~~~" х;. Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, среднее значение, подсчитанное по формуле (11.5), дает х = А. Основные свойства среднего значения случайной величины следующие. 1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин: х+ у+э--' ...
—.=. х+ у+ з+... 2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых /!руг от друга. равно произведению средних значений этих величин: х!/з... =-.хуз... Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин. В виде обоощепия понятия среднего значения (11.5) отметим, что выражение х"'-.=/>/" [х ).= ~~ х; Р! (11.6) 1=1 называотся мол/енп!ом и-го порядка случайной величины х.
В частности. момент нулевого порядка выражаот свойство (11.2), и он всегда равен 299 т !!Я1 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ единице: ~~: х'гР; = ~~~~ Р! =- 1. (=! г=! Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины (11.5). Момент второго порядка хе=. У, хгР; !== ! есть средний квадрат случайной величины. Часто используется так нааываемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины: хе а — Г' Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины хз =- х — х, где х — среднее аначение.
Тогда аналогично формуле (11,6) можно ввести понятие центрального момента т-го порядка М[(х — х) ]=- ~' (х! — х) Р!. !-.! (11.7) Л .:.—. М [ [ х — х [ ) = [ х — х [ = ~~ [ х; — х [ Р;. !=! (11.8) Заметны, что без знака абсолютного значения было бы х — х =х — х=О. Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости Л-= ~'[х; — х[Р;= †[[6 в,5[+[5 †,5[+[4 †,5[+[3 †,5[-[- +[2 †,5[+[1 †,5[[= †,'(2,5+1,5+9,5+9,5+1,5+2,5)=.1,5. Среднее отклонение случайной величины является уже не случайной величиной, а обычным числом. Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения.
Она совпадает с центральным моментом второго порядка Й= М[(х — х)г]=(х — х)з= ~ (х! — х)'Р!. г=-! (11.9) Из формулы (11.7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины. Если х — случайная величина, а х — среднее значение атой величиньг, то величина х — х есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина х. Средним отклонением Л называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т.
е. 3ОО слтчлинык пгоцвссы в систкмлх гнгтлиговлнпя ьл, ы Дисперсия может быть легко вычислена на основании свойства среднего значения: Р =. (х--х)з = (х' — 2хх-(- (х)э) =-. х' — 2хх-(- (х)' = х' — 2 (х)'+ (х)з.— — х~ — (з)', т. е. ока равна разности среднего квадрата и квадрата среднего значения случайной величины.
Так как всегда выполняется неравенство л' ) (х), то дисперсия моя,"ет быть только положительным числом: Р ~~ О. Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины от среднего значения: и =. )ГР =- ~/ х-' — (х)з. Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости Р =- ~"„(х~ — х)' Р~ = — ((6 — 3,5)з+ (5 — 3 5)'+ (4 — 3,5)з + л. (3 — 3,5)'+ (2 — 3,5)' — (1 — 3 5)') = —,' =- 2 —.
Среднеквадратичное отклонение — Газ и =- у Р =.= ~: — ', = 1,7. -~/ 1>— Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений. 1. При сложении независимых случайных величин и — -х+у+3+ дисперсии складываются: Р. =Р„+Р„+Р,+... Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин с, -= (~'с*, + па+ а', -~-... Эта формула часто применяется в измерительной технике и в автоматике для вычисления среднеквадратичных огпибок.
2. Пусть имеется и случайных величин хы хм хз хм ~ хд с одинаковыми средними значениями х и с одинаковыми законами распреде- ления. Тогда их среднее арифметическое Х1 ь х2+ ° ° ° + хп тоже будет случайяой величиной с тем к<е самым средним значением у = з но среднеквадратичное отклонение его будет в 1Ги раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин); Например, если производится п измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя тоже является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меныпее среднеквадратичное отклонение), 361 зыы ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ чем каждое измерение в отдельности.
Здесь случайные ошибки измереквя в известной мере компенсируются. Но надо помнить, по систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут. 3. Для и случайных величин, независимых и имеющих одно и то же среднее значение х, среднее арифметическое будет при достаточно большом и как угодно мало отличаться от среднего зна- чения х (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина. Таким образом, прн большом п и указанных усло- виях х1+ ха '- +ха '''+ —" -а.х при л-а.
со а О Этот гоков болыиих чисел, доказанный ф гг П. Л. Чебышевым, имеет первостепенное значение для обработки экспериментальных данных н для учетной статистики. 4" Введем теперь понятие интегрального /7 закона ратрсделения. Интегральным законом l г д Э г д 7 распределения или функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого значения х.
Математически эта формулировка записывается в виде Г (х) =- Р ($ ~ х), где $ — текущее значение случайной величины х. Например, если график закона распределения дискретной случайной величины х имеет вид, показанный на рис. 11.5, а, то график функции распределения г" (х) для нее будет иметь вид, показанный на рис. 11.5, б. Он покааывает, что вероятность того, что величина х получит значение меньше единицы, равна нулю; меньше трех — равна 0,2; ! а~'~'~~~! меньше четырех — равна О 6 и т.
д. Функция распределения г" (х) всегда возрастает с увеличением х, причем г" (х) = 1 р л, ~ г /а и х при наибольшем возможном значении х„„, и остается равной единице при всех анаРаг, Н.б. ЧЕНИЯХ Х ) Ха ах' Например, для закона Пуассона (11.3), когда дискретная случайная величина может принимать значения х =- О, 1, 2, 3,..., функция распределения х' (х) '= ла Р (х) о (11 10) будет иметь вид бесконечной лестьпщы (рис. 11.6), по не заходящей выше единицы, т.
е. г" (х) -а-1 прн х -~ оо. Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина может принимать все значения в каком- либо заданном ограниченном интервале (а ~ х Ь) или все аначения от — оо зог сг!учхйнын пеоцкссы В снствмьх Рвгулнвовхния (ге !! до +сю. Следовательно, функция распределения (интегральный закон распределения) для непрерывной случайной величины будет изображаться непрерывной кривой.
На рнс. 11.7 показаны оба упомянутых вышо варианта. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное числовое значение х, бесконечно мала (например, вероятность попадания центра тяжести снаряда в определенную точку цели). Вероятность же того, что непрерывная случайная нелнчина окажется в некотором промежутке х, < х ( хю будет а иметь конечное значение, а именно: Р (х, ( а ( т!) '-'- К (хз) — Р (х,). Вероятность того, что непрерывная случайная величина содержится в промежутке между х и х + Ых, будет .се) Р (х ( с ( х + пх) =- пг (х) ==' — Их.
сс (с) с'с Величина ( ~ =ю(х) (11.11) Ряс. 11.7. называется плотностью вероятности. Закон распределения для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной задается не в виде значений вероятности, а в виде плогппости еероягпносгпи и! (х), называемой также дифференциальным законом распределения. На рис, 11.8 показаны дифференциальные заковы распределения для а) Рнс. 11.8. двух вариантов функции распроделения Р (х), показанных на рис. 11.7. Еслгг бы здесь использовалось то >ке понятие закона распределения, что и для дискретной случайной величины, то получились бы бесконечно малые ордннаты Р (х). Выражение !о (х) с!х означает вероятность того, что случайная величина содержится мел<ду х и х + дх: Р (х ( с ( х+ Их) = ю (х) дх. Вероятность того, что случайная величина содержится между значениями х, и х, определяется формулой ( -=~~ ) ~ () е! что геометрически выражается защтрихованной площадью на рис.
И.8. 1 11.13 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Кроме того, имеет место зависимость х г" (х) = ) к1(х)ох. (11.18) Вся площадь под кривой и1(х) равна единице: ~ о1(х) 1)х=-1, (11 14) так как Р (оо) = 1. Формула (11,14) соответствует моменту..нулевого порядка. Среднее значение (метематическое ожидание) соОтветствует моменту первого порядка: х = ) хи (х) дх, (11 15) что вытекает из формулы (11.5) как предел суммы. 51оменты высших порядков по аналогии с (11.6) будут х = ~ х и1(х)дх. (11.16) Такиа1 я1е образом можно вычислить центральный момент т-го порядка М((х — х) ]= ~ (х — х) к1(х)11х.
(11.17) Как и в случае дискретных случайных величин, центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Рассеяние непрерывной случайной величины можно оценивать одним из следующих значений, словесные формулировки которых остаются прежними. Среднее отклонение (мало удобная для вычислений величина) Л=-- ~ (х — х(и1(х) дх. (11.18) Дисперсия (наиболее удобная для вычислений величина) й --. ') (х — х)зо1 (х) ох=--хз — (х)з. (11.19) Среднеквадратичное отклонение и -.:-. )1 Ъ = $/ хз — (х)з. (11.20) Средневероятным отклонением Л, называется такая величина, при которой отклонения ~ х — х ~ = Ь, и ~ х — х ~ ~ Ь„НА1еют одинаковую вероятность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
