Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 71
Текст из файла (страница 71)
При ~1 = Г корреляционная функция Л (ц ~1) дает средний квадрат случайной величины, а В' (Ц 11) — дисперсию: Л (д 1) = М [хз (()] = х~ ((), Лэ (ц с) =- М [(х (() — х (с))т] = П (1). 3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционные моментов и дисперсии. Поэтому корреляционная функция Лэ (Ц 11) не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию.
Это свойство не относится к функции Л (Ц ~1), так как добавление неслучайные величин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной н неслучайной функций. Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функция Р (г (1) = (11.49) ') 0(1)й(1,) Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайные величин х(т) и у(1): Л„„(ц г,)=М[х(г) у(г,)[, Л Р (ц 11) ™ [(х (1) — х (г)) (х(11) — х (11))].[ (11.50) В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции х (8) и у (1) называют некоррелированными 313 $ м.ы КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Если взаимная корреляционная фуикция отлична от нуля, то х ~8) и у (О носят название коррелированных случайных функций.
[3 случае стационарности процесса корреляционные функции Л (ц г,) и Лз (г, ~,) не будут зависеть от текущего значения времени г и будут определяться только временным сдвигом т = Г1 — г. С учетом зргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведевия х (г) и х (~ + т) или х (Π— х и х (8 + т) — х.' г Л(т) =х([) х(~+т) = 1[ш —,', ~ х(8) х(1+т) Й, -г [ (11.51) Л'(т) =-[х(й) — х[[х(ю+т) — х[= [пи —, 11 [х(Π— х[[х(г+т) — х] юй. 3 -т Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины х в последующий момент времени г + т от предшествующего значения в момент б Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного процесса применительно к величиве Л (т), 1.
Корреляционная функция является четной функцией, т. е. Л ( — т) = =- Л (т). Это вытекает из самого определения корреляционной функции. 2. При т = 0 корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины: Л(0) =х(т)х(Г) =хз. 3. При т -~- со корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины. Докажем зто. На осяовании эргодической гипотезы Л(т)=х([)х(~+т)= ) ) х,х,и,(х„хю т) Нх,ях,. При т-ч со величины х, и хз можно считать независимыми.
Отсюда, принимая во вкимание формулу (11.39) для независимых случайных величия, получим +Ш + Л (оо) = — ) хг (х~) Ых~ ) хт~> (хт) Нхт = (х) = (х) 4. Значение корреляционной функции при т =- 0 является ее наибольшим значением, т. е. имеет место неравенство Л (0) )~ Л (т). Докажем ато.
Рассмотрим очевидное неравенство [х (г) — х (8+ т)[з) О. Сделаем преобразование хз (О + хз (т + т) ) 2х (Г) х (1 + т). Возьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей, В результате получим: х' (О + хз (г + т) =- 2х' == 2Л (0), 2х (г) х (8 + т) = 2Л (т), откуда и вытекает следующее неравепство: Л (0) )~ Л (т). 314 случАйныв пРоцкссы в систкмАх РкгулнРОКАнпя !ас 11 5. Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени т, так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее. 6.
Чем менее инерционен (болев подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает Л (т) с увеличением т. Например, у самолета, как подвиж- ной цели, связь между по- Я х слодующими и предыдущими положениями (при задана) ном т) будет тем меньше, чем он легче н маневреннее. Отсюда следует. что, чвм Р и Р быстрее убьгвает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут прил х сутствовать в случайном процессе. На рнс. 11.14 в качестве Р) примера приведены две корреляционные функции и две Р Р к соответствующие им реализации процесса при одинаковых среднеквадратичных знаРис. 1!.14.
чениях случайной величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет болев топкую структуру, т. е. в нем присутствуют более высокие частоты. Таким образом, прн иавестной корреляционной функции легко опреде,ляются следующие вероятностные характеристики: а) среднее значение (момент первого порядка) х =- х .—. у' Л (со); б) среднеквадратичное значение (момвнт второго порядка) хз == хз =- Л (О); в) дисперсия Аз -.=- Л (О) — Л (оо); г) среднеквадратичное отклонение о-: )' Л(0) — Л(оо). Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при за' ''р" " -а=юг (рис.
11.15). Обработка имеющейся осцил- ~ ~"„41, К=„РР ~~ лограммы производится следующим образом. Весь интервал записи осциллограммы Т делится на 1У равных частей, дли- Р г тельность которых составляет Т М вЂ” д.. Рис. 11.15. Затем для различных значений т= вз 1А1 находятся средние значения произведений ординат: к — т 1 Л(т) =- У х„х„„ с=1 315 Ч 11,М КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала т или времеки т == т гъг.
Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента также при помощи специальных приборов — корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние т. Если найденная корреляционная функция В (т) содержит постоянную составляющую х = )~ В (1ю), то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функции В«(т) в соответствии с (11.48), т. е. В«(т) =- В (т) — (х)'.
Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию В«(т) К (т) — Д («) р() В д(0) л( ) (11.52) которая удобна тем, что всегда р (0) = 1. Корреляционная функция В«(т) для неслучайных (регулярных) функций времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция В (т) может вычисляться и для неслучайных функций времени. рассмотрим несколько примеров. 1.
Для постоянной величины х (г) = А«(например, дляпостоянного тока) корреляционная функция +г В(т)= 1нп — ( А«А«1Ы:-=- 4; «Г, ««1 -т 2. Для гармонической функции т(1) =.А,Я1п(«11~+ 1Р1) +т В(т) =-Пш — ~ А, з1Н(«11Г+ф1) А, зш(«11С+ ФП+1)11) 111=- — 1созю1т. -.г Появление в корреляционной функции члена вида — ' соз Ф1т указы- 2 пает на наличие в случайном процессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса. 3.
Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье: *(О=А«+ Х ААЯ1п(ю«г+$«) «=1 имеет на основании изложенного выше корреляционную фуницию вида Ат В (т) = Ао+,.~ 2" соз ю«т. 1=1 Типичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при х =- О, а следовательно В (т) = В«(т), и при отсутствии скрытых периодичностей имеет вид В (т) = В (О) е '" ! '! = Ре '!1 Е Иногда встречается корреляционная функция вида В (т) = В (0) Е « ~ т ~ СОЗ рт = 1)Е ' ! т1 СОЗ рт. Эти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных. 616 СЛУЧАЙНЫК ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ 1КР Ц Для стациопаряых случайных процессов используется такя~е понятие взаимной корреляциопной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов х (г) и р (г): г )цп 'т ~ х(Г) р(г+т) й (11.53) -Т Для взаимной корреляционной функции существует следующео соотногпение: .Охг (т) =- )7гх ( — т).
Проме того, можно показать, что (лхл(т) ) <1/"л„(0) р"~~„(о). Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов меягду собой в разные моменты времени, отстоя- ЩИЕ ДРУГ От ДРУГа На ПРОМЕжУтОК ВРЕМЕНИ т. ЗпаЧЕНИЕ Вхз (О) ХаРаКтЕРИЗУЕт эту связь в один и тот же момент времени. Примером такйх двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты пространственного положения подвижной цели. Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех т справедливо равенство )тха (т) — -- О. В связи с этим говорят, что процессы коррелированы или не коррелированы.
Это означает наличие или отсутствие между ними статистической связи. Аналогично предыдущему можно таин<э ввести понятие нормированной взаимной корреляционной фупкции. 3 11.5. Спектральная плотность стационарных процессов Р' (рв): —. ~ х (г) е-э"" ИС (11.54) т. (Г) = — ~ Р (рп) еям йе, т 2я х Возьмем квадрат модуля изобрах<ения Фурье (Р(7ю) ~' и проинтегрируем по всем частотам от — оо до + оо с делением результата на йл: -~- о 2я э ~ (7 )~ 2я Г 1 Г (11.56) (11.55) В последнем выраягенни квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов Р" (7ю) и Р( — 7в). Изображение Фурье Р(ую) заменим выражением (11.54): Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье В главе 7 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображени|о Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времеви х (г), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде 1 11М СПБКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦВССОВ 317 (И.59) Правая часть (И.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины х(1).
Вводя Обозначение — )~'=~( ) можно переписать формулу (И.60) в виде +во 1 à — Я (а) йо -"= х' (И.61) (И.62) или в виде Я (2ЛГ) 1(У = хз. Ф (И.63) В последней формуле изменим порядок интегрирования: + Ф +Ф +СΠ— „~ ~г'(71о)~*с11е= ~ х(1)М( — ~ Г( — ую)е-1"'1Ь(. (И 57) — В Ю Величина, находящаяся в квадратных скобках (И.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (И.55).
Поэтому в результате получается так называемая формула Релея, которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье: + .~-СО 2 (И.58) В Подставляя 1е-- 2П1', получим + -1- в ~ ~)Р(72П/) Р 11~=- ~ [х(г)!'м. 0О Правая часть (И.58) и (И.59) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому сопротивлению В, то энергия, выделившаяся в этом сопротивлении за время ц будет А.=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
