Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 72
Текст из файла (страница 72)
~ В111(Г. о Из (И.58) и (И.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматриваемого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от — оо до +со или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам от — оо до +ос. Формулы (И.58) и (И.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье.
Однако зти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (И.58) можно представить в виде + - г Г, 1 Г 11ш зг 2 ) ~ г (1о1)1 г(1з Вш 2г ) (х(1)) П1. (И.60) Ф -т 318 случайные пгоцессы В скоте»1лх РегулиРОВАния багз. ы Величина Я (в) или Я (2я)) носит название спектральной плотноспш.
Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по всем частотам от — оо до + со дает средний квадрат исходной функции времени х (1). По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от в до в+йо. В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при атом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть записана в виде г ) ~»(в)'(в 2 1 Я(в) в=-х', о (11.64) (11.66) где Я» (в) = 28 (в) — спектральная плотность для положительных частот.
Однако в дальнейшем иалоя енин будет рассматриваться спектральная плотность, соответствующая всему диапазону частот от — сю до +со, так как при атом формулы получают более симметричный характер. Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаим- ные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями типа (11.54) и (11.55). Это свойство приводится без доказательств (108, 120). Таким образом, могут быть записаны следующие формулы: 8 (в) = ~ )г (т) е-~е' от, (11.65).
Л (т) —" — Я (в) е!"" Ив 1 Г Так как спектральная плотность и корреляционная функция представ- ляют собой четные вещественные функпни, то иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде: Я(в) =-2 ~ Л(т) созвтИт, (11.67) о В(т):=.— ~ Я (в) созвт дв.
(11.68). Это вытекает нз того, что имеют место равенства: ен'» = —. соз ел — , ') з1п вт, е ~"' = соз ел — ! з1п вт, и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66), так как слева стоят вещественные функции. Связь между спектральной плотностью Я (в) и видом функции времени х (1) заключается в том, что чем куже» график спектральной плотности (рис. 11.16, а), т, е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плот- ности, тем медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем «шире» график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т. е. чем большие час- тоты представлены в спектральной плотности, тем тоныне структура функции х (г) н тем быстрее происходят изменения х во времени.
Как видно из етого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со з ы.»1 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ З19 связью между корреляционной функцией и самим процессом (рис.
И.14). Отсюда вытекает, что более «широкому» графику спектральной плотности должен соответствовать более «узкий» график корреляционной функции и наоборот. Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотношению (И .61), так как это связано с трудностью предельного перехода. Обычно спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции Рнс. И.16.
при по»ющи формул (И.65) или (11,67). Эти формулы соответствуют так называемому двустороннему преобразованию Фурье четной функции времени Ат (т). В табл. И.З даны некоторые функции Л (т) и их изображении Фурье О (ю) в соответствии с (И.65) н (И.67). В таблице используются импульсные Т а б л и ц а 11. 3 Даустороннее ваображенне Фурье четных фуннцвй 320 слгчхкнык пгоцкссы в систвмхх гвгхлигования 1ю. 1г функции 6 (т) и 6 (ег).
Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает, что функция 6 (т) расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом: 6 (т) = О при т Ф 0 и ~ 6 (т) ггт = о о 6 (т) о1т =- —, для всех з ) О.
1 — Е Аналогичное определение относится к функции 6 (ю). Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52): о(оэ) = + (11.69) 1' 2 40 где спектральная плотность яо(ог) соответствует процессу (х — х) и, следовательно, со(„) Д ( х)г Р— Ю (11.70) где Р— дисперсия.
Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции (11.53) могут рассматриваться взаимные спектральные плотности Я,„ (ог) и Яо„(ог), являющиеся изображения- А ! о/ ми Фурье В„„(т) н Во„(т). Вааимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя г случайными величинами.
При отсутр е' ствин связи взаимные спектральные плотности равны нулго. рассмотрим некоторые примеры. 1. Для постоянной величины х (1):-- Ао корреляционная функция равна В (т) = А,'. Эта функция иаображепа па рис. 11.17, а жирной линией. Соответствующее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет Я (ог) .--- 2лА,'6 (ег) или, в другом виде Я (2яД =- А',6 (7). Спектр процесса состоит из единственного пика тип» импульсной функции, расположенной в начало координат (рис. 11.17, б).
Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на нулевой частоте, что н следовало ожидать. 2. Для гармонической функции х — — А, з1п (ог~1+ гР) была получена ,гг корреляционная функция Л (т) = — ' соз ю,т. Эта функция изображена 2 на рис. 11.18, а. В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет Агг Ь ( ) = 2л 4 (6(ог — огг)+ 6 (ю., ог~)1 или 1 11.Я СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 321 График спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис. 11.18, б), расположенные симметрично относительно начала координат при а =- +а1 к а =- — а,. Следовательно,мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах: а, и — а, (нли соответственно ~1 и — г1). 'о)то-аА Рис. !1,18.
'Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мощность гармонического сигнала будет сосредоточена ка одной фиксированной частоте: +а, или +~1. 3. Для периодической фуякцнн, разлагаемой в ряд Фурье х (1) — А о + ~п АА з(п (асг+ фс), С-.1 спектральпая плотность может быть представлена в виде Авв )+Х 41 ( ~) ( + 1 З=-1 или Ав б (1) (об (1) + ~~~ 4 (б(1 1А) чгб (1+ 6)1. А=1 Этой снектральной плотности соответствует лиыейчатый спектр (рис.
11,19) с импульсными функциями, располоя1енными на положительных Рио. 11.20. Рис. 11.10. и отрицательных частотах гармоник. На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показаны пропорциональными Авв коэффициентам прн единичной импульсной функции, т. е. величинам 4 и Ав. Если функция времени х (1) кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рнс.
11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей. 21 В. А. Бссопврсвва, Е. П. Попов 322 случАйные пРОцессы В системАЕ РегулиРОВАния 1ьс 11 Если функция времени х (1) не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков. Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем регулирования и следящих систем. Будем рассматривать только центрированные процессы, т.
е. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю: х =- О, а дисперсия 1) Ф О. При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии: х' = П =. и» а Л (т) Л«(т) Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае х ~= 0 учет постоянного смещения в системе регулирования является элементарным. 1. Б е л ы й ш у м. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий «белый» спектр, т. е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от — со до +ос (рис. 11.21, а): Я(ю) =Х. (11.71) Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряясеяия иа этом сопротивлении Л' =-4Л)«7, где Л вЂ” сопротивление, й = 1,37 х «» лл с«л х 10 . — постоянная Больцма- 1' на, Т вЂ” абсолютная температура.
Па основании (11.88) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция ОО Л(т) = — ~ 1«" созе»тйо= ХЬ(т). г л (11.72). Таким обрааом, корреляционная Я(со)=Л' пРи (о»( с «1« ) Я(се)=0 при )с»1)со„~' (11.73) где 2з я — полоса частот для спектральной плотности. функция представляет импульсную. Рис.
11.21. функцию, расположенную в начале координат (рис. 11.21). Этот процесс является чисто случайным процессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любом т Ф 0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими аначениями случайной величины х. Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины: 1) = х» =-. Л (0) -» со, а следовательно, бесконечно больп«ая мощность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
