Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Поэтому при заданной величине этого коэффициента наивыгоднейшие результаты получаются при равенстве вещественных частей всех корней. Однако расчеты и исследования построенных систем показывают, что стремление удовлетворить поставленному требованию приводит к совершенно нереальным конструктивным характеристикам отдельных звеньев. Эти расчеты и исследования показывают, что из общего числа корней характеристического уравнения всегда можно выделить два или три корня с меныпей по абсолютному значению вещественной частью, которые и определяют ход основного процесса. Остальные же корни характеризуют быстро затухающие составляющие, оказывающие влияние только на начальной стадии переходного процесса.
Примем, что основной характер переходного процесса определяетсн двумя корнями. Тогда уравнение (12.1) удобно представить в виде (Р" а + С>Р" в +... + С„а) (Ра + В>Р -'; Ва) = — О. (12,2) Второй сомножитель (12.2) и будет определять основной характер процесса. Для уменьшения погрешностей проектируемой системы важно, чтобы коэффициент В, в основном множителе имел возможно ббльшую величину. Однако чрезмерное увеличение В приводит к колебательному характеру переходного процесса. ') В соотвотгппш с наложение>м в ! !2л раеематрнваетгя только задача получения приемлемых динамических качеств прн заданном значении общего ковффицнента усиления, т. е, последнего члена характеристического уравнения.
Оптимальное соотношение между коэффициентами В, и Вз определяется из условия получения затухания за один период $ = 98зз, которому соответствует выражение (см. $8.6) 2я — —. 1п —..--: 1п — = 4, а 1 1 1 — 6 0,02 (12.3) где а н р — вещественная и мнимая части комплексного корня, характериаующего основной процесс. Учитывая соотношения: Вг а ==— / 8=1 Вг-— з из (12.3) можно получить (12.4) Множитель йю определяющий соотношение между коэффициентами основного множителя характеристического уравнения, является критерием переходного режима, зависящим от выбранной степени затухания. Формула (12.4) показывает желаемое соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, к которому надо стремиться при проектировании системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующих средств.
Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение мегкду мнимой и вещественной частями корпя (колебательность): р= — = — = 1,57. й к а 2 (12.6) В ряде случаев для описания основного переходного вается более целесообразным воспользоваться уравнением Рз+ ВР'+ ВР + В Это уравнение можно представить в виде (Р + с„) (Р + в„р + в„) = 6. процесса оказытретьей степени (12.6) (12.7) Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имеют место соотношения: в =с +в, в, =с„в„+вм, в, =- с„в,. Положим, что во втором множителе (12.7) по-прежнему (12.8) Поэтому корни характеристического уравнения (12.6) и (12.7) равны: Рз = Сн> (12.9) Рз,з= — — ~1 — — ° Вм .
Ви . 2 2 2 ' (12.1О) Так как вещественная часть корней должна быть возможно большей, то целесообразно задать Вя 2 (12 11) 342 методы синтезА систкм АвтомАтического РегулиРОВАния 1гз. 1з 343 в !2.21 кОРнеВОЙ метод и, следовательно, 2 В„=- — В,, 3 1 ~11 3В' В =- "'+' В'. 21 33 1' (12.12) (12.13) (12.14) В вол 4 Во 1О3 (12Л6) Эти соотношения доллгны реализоваться при проектировании системы регулирования. Корни основного уравнения 1 Р! В1 (12Л7) 1 3 — Е (12.18) Выбор уравнения для описания основной составляющей переходного процесса зависит от структурной схемы проектируемой системы.
Рассмотрим теперь связь между основной и дополнительной составляющими переходного процесса для заданного затухания $ (8.40). Для этой цели полезно представить характеристическое уравнение (12Л) в таком виде: р" + А1йор" 1+ Азйоор""1+... +. 1)," = О, (12.19) где 1!о — произвольно выбранный среднегеометрический корень, А„... ..., А„, — безразмерные коэффициенты. Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает вид рз+ А1Яоро+ А21оор+ О,' = О. (12.20) Разлагая его на множители, находим (р+ С ) (ро+ Вгр + В ) = О. Соотношения для коэффициентов: А1йо = С1 + В„ Азьзо= В,+С,В„ а03=-С1В . Введем коэффициент а и полол!им В, = аА11)о.
(12.24) Тогда С, =(1 — а) А11оо (12.25) (12.26) 11одставив полученные значения коэффициентов в формулы (12.22) и (12.23), можем записатгя Азй, '= (1 — а (1 — 1оо)] аА11И;, 1),'= йа (1 — а) азА',Я Подставив полученные значения в формулы разложения, находим зависимость меяоду коэффициентами основного уравнения. Если В, задано, то (12.15) 344 метОды синтезА систем АвтОМАтическОРО РегулиРОВАння [гл 12 откуда г г А, (12.
27) А, =-- (1 — а (1 — !'„)) аА',. (12.28) Такиы образом, безразмерные коэффициенты А, и Аг явля1отся функциями критерия переходного процесса А-„, зависящего от желаемой степени затухания и коэффициента разложения а, определяющего соотноп1ение постоянных времени затухания отдельных составля1он1их. При и. =, имсем — = — — т. е. С1 =-.—,, и отношение по- 3 ' гт1 а 2 ' ' ' 2 н, гс в, стоянных времени Тс= —, и Т,=.—,, будет —," — —, = С1 ' . Г„ лп, Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаковой скоростью.
Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициентов характеристического уравневяя четвертой, пятой п более высоких степеней (117). Синтез системы регулирования начинается с того, что для выбранной структурной схемы и введенных корректпру1ощих средств находится характеристическое уравнение. Затем варьпру1отся параметры основного капала регулирования н корректнрукпцпх средств таким образом. чтобы получить требуемые зпачоппя коэффициентов характеристического уравнения (12.1) или (12.20).
Этот метод оказывается достаточно эффективным в случае сравнительно невысокой степени характеристического уравнения (и =. 2 —; 4). В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколько коэффициентов характеристического уравнения, Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректирующих средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытности проектанта. $ 12.3.
Метод корневых годографов Качество системы регулирования с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаыенателя передаточной функции замкнутой систезпг, т. е. распологкением нулей и полюсов поредаточной функции (1 8гб). Зная эти корни, можно изобразить их располоя1епие па козпллексной плоскости корней.
При расчете регулируемой системы целесообразно проследить, ьак меняется общая картина распололзения корней прн изменении отдельных параметров, например общего коэффициента усиления, постоянных вреыени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров. При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут переыещаться па плоскости корней, прочерчивая некоторую криву1о, которую будем называть корневым годографим или траеюпорией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параыетра, которое соответствует наилучп1ему распололгенню корней. Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеется днфферегщиальное уравнение замкнутой системы, записанное 345 | |хз] мвтод корнквых годоггльов для регулируемой величины при наличии задающего воздействия (5.3)| 1'(р) у(Ь) = Л( ) а(Ь) где 0 (р) = с|ар + а|р ' + ... + а„, Л (р) — Ьэр + Ь!р ' + 4 б Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий.
Оно может быть записано также для любого возмущающего воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях. Передаточная функция замкнутой системы Ьэр" гЬ!р~' '4-... +Ь~ аьр» ° . гори-1+ р ад (12,29) И' (Р) = ~Ж (Р). (12.30) Здесь К = ʄ— общий коэффициент усиления разомкнутой системы„имеющий размерность сев ", где г — степень астатнзма; 6, (р) — операторная часть передаточной функции разомкнутой системы. Характеристическое уравнение системы может быть записано в виде 1 ! и (р) ка (р) .|- 1 =- (12.31) Полюсы передаточной функции, т. е. корпи знаменателя, обозначим через р„ра,..., р„, а ее нули (корни числителя) — через р,", р'„..., р' .
Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным обрааом вырая|ены через параметры регулируемого объекта, регулятора и корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра р (постоннная времени, коэффициент усиления и т. п.), входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех осталы|ых параметров, а для искомого параметра )Ь задавать различные числовые значения р„()з,..., ()ь внутри реально возможных пределов изменения этого параметра в данной системе регулирования.
Для каждого из этих вариантов необходимо затем вычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней. Если нужно выбрать два или несколько параметров регулируемой системы, то такого рода вычисления нужно проделать несколько раз, меняя ка'кдый раз один из параметров при ааданных значениях всех остальных. Вычисление корней при этом моя|но производить любым численным методом, возможно более простым, так как ввиду приближенности корневой оценки здесь не требуется большой точности вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
