Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В настоящее времн имеются электрические устройства, поаволяющие строить на экране траектории корней непосредственно по заданным коэффициентам уравнения. Из простых численных методов определения корней можно рекомендовать, например, метод последовательных делений ! 981. Другой способ построения траекторий корней, разработанный Ивэнсом и Э.
Г. Удерманом [128), в отличие от первого, пригодного для выбора любого параметра системы, специально приспособлен для выбора общего коэффициента усиления передаточной функции разомкнутой системы (5.10), которук| запишем следующим образом: 348 ИГтоды синтгзА снстГм АВтомАтичвскОГО РВГУлиРОВАниЯ 1гл. 12 Обозначкм ш>люсы и нули передаточной функции разомкнутой системы Твенно черео Г7 до ... 172 н 17 до,, ~ Тогда о о о , (1 — Ч1)(1 — Чо) .. (Р— Ч') (Р— щ)(Р— 92)" Ь-чо) (12.32) о о о ~О (~» )' чо) ( оо) ( чоо) Калодый сомножнтель в выражении (12,32) можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 12.1), где р — текущая точка.
Обозначим длину (модуль) каокдого вектора в знаменателе (12.32) через г„г,„..., г„, а в числителе — через го г,',..., г,'„. Соответственно угол между вектором н положительным направлением оси вещественных (аргумент) для анамеиателя обозначим оР1, ГР2,..., 1Р„, а для числителя— 2Ро„оРоо,..., ГР,'„.
По правилу перемножения комплексных чисел согласно формуле (12.32) найдем, что 6 (р) будет представлять собой вектор с длиной г и аргументом ГР, причем С (р) — — геое, (12 33) где ГГ2...22, оо о г .—.- Г1 Г2 Го 1Р '11+ ГР2+ ' ' ' + ГРт (ГР1 Г ГР2+ ' ' ' + ГРо) Подставив (12.33) в выражение (12.31), получим — е-1т = — 1, 1 АКг (12.34) (12.35) (12.36) откуда вытекают два равенства: Лг ' (12.37) 1Р= +" и, (12.38) Траектории корней (рнс. 12.1) строятся таким образом, чтобы они удовлетворяли условию (12.38). После этого по формуле (12.34) для каждой йг х-,-хо — — -х РГ ~$ Уг Р Рг х- Рис.
12.1. конкретной комбинации корней можно вычислить А и величину г, а затем по формуле (12.37) — общий коэффициент усиления К. Для упрощения построения траекторий корней используются следующие свойства. 1. При К = О корни характеристического уравнения аамкнутой системы совпадают с полюсами передаточной функции разомкнутой системы Йг (р) или 6 (р), так как согласно (12.31) при К = О имеем 6 (р) -~ со.
а 1г.г] метОд когнквых ГодогРАФОВ 2. При К -~ оо корни стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, так как при К -ь со из (12.31) получаем 6 (р) -~- О. Но количество нулей равно т, в то время как количество корней п ) и. Поэтому остальные и — лг корней уходят в бесконечность, так как 6 (р) -~. 0 еще при р -~- оо.
Для последних и — т корней можно определить направления асимптот на основании (12.31) и (12.32). При больших р (р — оо) нмеем соответственно (12.39) КА 6(р) =- (12.40) ра' (при р -а со) будет я-).2(я числа р (при р -+ со), т. е. нак- откуда аргумент комплексного числа (1=-1, 2, 3,...) и, значит, аргумент лон искомых асимптот, будет (1=1, 2, 3, ...).
(12.41) 3. На вещественной оси траектории корней представляют собой отрезки прямой, соединяющие нули и полюсы функции 6 (р), расположенные на этой оси. Началом траекторий на вещественной оси служит нуль, расположенный правое всех остальных. 4. Если траектория отклоняется от вещественной оси, то положение ~очки р = а, в которой траектория отходит от этой оси, можно оценить из того условия, что при малом отклонении ЛХ от вещественной оси приращение угла (12.35), обусловленное влиянием полюсов и нулей функции 6 (р), расположенных па оси влево от искомой точки, должно уничтожаться приращением этого же угла, обусловленным влиянием полюсов и нулей 6 (р), расположенных вправо от этой точки.
Так, например, пусть имеется функция 0,001.2.6 (р1-0,001) (р-г2) (р ';6) При К =- 0 траоктории исходят из точек ( — 0,001), ( — 2) и ( — 6), лежащих на вещественной оси. Отрезки траекторий лежат между точками ( — 0,001) и ( — 2) и между ( — 6) и ( — оэ). Применяя правило 4, можем ааписать ЛХ ЛХ ЛХ + — + —,=О. а+0,001 а+2 а+6 Решение этого квадратного уравнения дает а = — 0,904. 5. Положение точки, в которой траектория пересекает мнимую ось при переходе в правую полуплоскость комплексной переменной р, часто можно оценить, пренебрегая влиянием малого по абсолютной величине полюса функции С (р). Рассмотрим в качестве примера опять функцию (12.42). При значительных по модулю величинах комплексной переменной р эту функцию можно с хорошей точностью аппроксимировать функцией 0,001 2.6 р (р -~-2) (р+ 6) ' Тогда ср, = я ) 2 (рис. 12.2) и, следовательно, условие (12.38) сводится к равенству 'р= и= Ч'г — Чз — 2 348 мктоды синткзл систкм лвтомлтнчвского гкгтлиговлния 1сэ.
гз %э+%э= 2 ° Рассматривая график на рнс. 12.2, можно заметить, что р~+~' 4 + откуда следует, что сс ж (1. Это равенство и представляет собой условие для определения точки пересечения В. 6. Направление касательной к траектории при выходе ее нэ какого-либо полюса или при подходе к какому-либо нулю нетрудно определить путем вычислении угла между этой касательной в данном полюсе или нуле и вещественной осью.
При таком вычислении используется зависимость (12.38) Рвс. 42.3. Рвс. 12.2. для аргументов всех нулей и полюсов, расположенных по условию в левой полуплоскости комплексной переменной р. На рис. 12.3 изображены траектории корней передаточной функции 6 (р), имеющей два нуля и два полюса.на вещественной оси и одну пару комплексных сопряженных полюсов. При достаточно малом удалении точки р от полюса эс углы сэ'„~э'„~р,, ~эг и сэ„соответствующие остальным нулям и полюсам, останутся неизменными.
Таким образом, в силу (12.38) угол ~р, найдется из уравнения (% + тг) (% + Чг + Ч'г + %4) = я. Перечисленные правила определяют основные свойства траекторий корней. Траектории вне нулей и полюсов функции 6 (р) находятсн с помощью построения по точкам, после чего можно определить характер изменения К вдоль построенной такилг образом кривой. После того как'выбрано желаемое расположение корней характеристического уравнения, находится соответствующее значение К. Ьолее подробно см. И28). 5 12А, Метод стандартных переходных характеристик Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными переходными характеристиками.
Длн большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени откладывается относительное время т =- Йсг', где 11с — среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы. МЕТОД СТАНДАРТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИН 349 При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения. Ниже приводятся стандартные характеристики и соответствующие передаточные функции [611.
Для систем с астатизмом первого порядка корни приняты веществеипыми, причем оки составляют арифметическую прогрессию. В табл. 12.1 Табл вца 12.1 Стандартные передаточные функцнв разомкнутой сметены е аетатвамом первого порядка прв в==2 — 4 приведены передаточные функции разомкнутой системы для различных порядков характеристического уравнения и =- 2 —; 4, получающиеся при этом зиачения перерегулироваиия о% и добротности по скорости К,. Нормированные переходные характеристики для каждого случая приведены на рис. 12.4, а. Для систем с астатизмом второго порядка корпи также приняты вещественными, причем оип составляют геометрическую прогрессию.
Соответ- Таблица 12.2 Стандартные передаточные функции рааомквутой енетемы е аетатнамом второго порядка прв в= 2 с й ствующие передаточные фуикции приведены в табл. 12.2, а переходные характеристики — иа рис. 12.4, б. В табл. 12.2 для различных порядков характеристического уравнения и = 2 —: 6 приведены передаточные функции разомкнутой системы, перерегулироваиие Фо и добротность по ускореиию К,. 350 методы синтезА систем АвтОмАтнческого РегУДНРОЕАИНЯ 1ьь 1з Использование метода стандартных переходных характеристик для синтеза заключается в том, по для принятой структурной схемы выбирается приемлемый вид переходного процесса.
Это позволяет установить необходимое значение среднегеометрического корня аю Далее оказываются известными все коаффициенты желаемой передаточной функции системы. Введением различных корректирующих средств необходимо добиться того, чтобы аг а! А7г! 70 аб йв 47 бб дб 4Г й! 4'7) /б фу бб 4Ф Яаб д ! б б З Х б 7 8 У В 7)араб г) Рис. 12.4. (12.43) козффициенты реальной передаточной функции были возможно ближе к козффициептам желаемой передаточной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
