Иванов В.А. - Теория оптимальных САУ (955109), страница 3
Текст из файла (страница 3)
,:в Прнвсвем н обюа енлос в очныеуслов ьк ре. мума фуякцвоцзла тЛерше кесбг д л с у о с зк рему» определяем са сюдумшсй т орам О. Теор ма 1,!. пусть Фун цо и л !(у] днффгпгннррем а ой асти 0 в но кривой у ( ] б стю т л юююсе аксгрсмума Г где пер ця вари цыя фу ц шла рюно иулш, г. с. 6! (ут, и) О. тч Донаввтельство.
Пуст~ д я о рьлеаеппостя в ючке балссгогаетсп минимум. Тагла прнрашенне функцпопюн Ы(умй] 1(У+Ы вЂ” ЦУ,) 61(Ро,й)+яйлу>О. ,Пушв ЫЬо В]впй. Прц д ствточно малом В знак рнрашеван Ы Функпнонвла определяется знаюм первой вернмшв. В снлу иннебиос н первой в рнакан имеем .Ы(-й) ' 61(Л),.н, юедоввтельнш прнрашепге Функ. ьцвькапа Ы(рай) Ммнот бМтЬ КаК ПапашптЕЛЬНММ, таа е .а эксг ь з яююз мл Вг р е бом)н.
е услал е зксгрекука связз ю с тотрема г2. Д тою чг бы д мд за ффсг чаше. ммд в об.шши С функц шл т(р) достьго л и+ г р, сока.ьиаео кк мрм (лаксилу а), леобадпло, чюбм а шд точке длл люб со дирсгьлаго арсис~(шш Ьпм. полк ось рс кае Ьг((см Ь)>0 (ф((Ш, Ь)ШОЬ доказательство Саглвсно теареме ш вгике экстремума первая варнзцие Ы(рз,й) функлнокэ. а рш нз нулю, пОэтому прнрашеаие фупкиеоезлз резко Ь(Со. Ь)--,,'6((Ш, Л)+а(ЬР. Знак прнрвшгння функинанзлв ри ш татач о мвзомй соепалзет с знвк и эшпай варнлкзш Ьг((у.ц. Пусть арл нснот ром Ье ЬЧ(рьЬ)ш О.тогвз ЬДрь(з)<О ив точке р, не ониолвясгся )свалке с)шее ооззнн нянн. мума Полученное врыиаоршке «акззмвзет теоршу.
Сформулируе» теперь досгагшнме рсловш лошю. наго эл стрсмдма. Теорема (Я Пдс фв кциплоз ((р) дсамдм двффс- р цьррем е облас С л имея г месю рсммкят в) перо л варе ц л фг» цюпл а е кривой р. 6((рь й) на О, * б) ег рал еариацнч н рмюд ве сильно полюсе. тс ьио, г. е б'((р й)~й((т(Р, где й>0 — неюшрог ч ло. Т сди фуюц нал У(р) д юго иа срье д ш мкнимр а. Дана ветел ьствм Рвсснотрпц прнрзшенне0)ш. иноиэлк д)(ре, Л] т Ьг((Ш, й)+а(йф, прячем Пш а О.
Вмб рам э)0 таяня, чгабц ррн зьз е Ььь е была спрзвезлнво )а)шй/4 тагюд ври )ЬЬ<ь будет ЬГ(рь Ь) з Ь(ОЬ й)+ ЬЛВРВЬЬ)з>О, Стшолв сползет, чю ва кривой ре лштвгэекса вивенди,,' зв ь')(уь в) ~ — зуз П где Ь > 0 — ие о орое чпслы Мы «фор у вр л я о)холвмые е л ста ые условия зкстре ~уа г лля фу сплавала праязвольно евлв. Рассчотря, нз л д т и обх лемье в лостеса выс уелоеи ветре. у е д з и оторык коикрстяых фукс цпеп лов Рассиотрзм опрелслыме зкстремумов яскотары» фувкляан лов и, преыде всею. фулкцвоиека !(у) ~Р(», у, р')д.с, (1.131 причем фуекцпя р(»,р,у') полатев ся кеплеры о-шф.
ферениируеыоб до второго порялк ° включите ьно по всем аргументам Экстр ум фуккцяоиала будем ооределвть среди фу кц з р( ) ~ С, ва [а,Ь) н удавгытв . ряыыкк !слоев и р (о) = д, П,141 Таким образом, зсе расс агрпвзс ~ые кривые проксдм ° чрез дпе фиксяроввеи е тачки (о, А ) н (Ь, В). Тз з задача аазывмтск дл сд се кр ял ° грлвозями Залаяв о заяреплеаямчп гранвцамп для функционала (1.13) восвт пазеакне «расггдысд зпдочя зярпац много ясчмслсльм Первая варкецпя функцз нала лля р стейшяб задачи б)фьВ>-[( —,"Ь+ —,л",Д')дз. Пдй Пркиимав во впзмвява ерво необходимое условпс вястреиумв фупкциоквла и лемму 1.2, и лучим, что длз прмччбыей задачи необходимее уело е эыстремуыс .мизес авд — — — -м О. аг а ву аз Зз Ьз (1.!б) аз« экстгкмзм юпш онмз и ураппекне П.)Г) н си кз в «ке ур е с»ш Эамр Т«кнм братом есз«!ма«» у (г) досгашк' ытр 'Гк (упкпюгзлу (! )3), то сна вэлягтса рю к, )р зас' ноя Эйл ра И гсгрвды е «р вм уршп нш Эй рз н«зывэютсн эшгрендздмд.
Кэк нетруди эшеть. )рав. неш * Эйлера пред гавлкст агб й быкю еш е дэффе. редшгалыое ура«с ш вюрого лоранда. Обшсс зе е. нэе тв ог уравнен ю с дермп две пр зз еа эмс постоянные, эшторые а обо!с« случаю могут быть опраш. лена с учетом гранд ных ус. левей (!.(а). П р п м ар (задач о брак» д сгатроне). Напомним «пэ. вовку задачн. Сред» все«глав. юш нрпвых, проке»яшка чс,б рез лве факснрпвашше точн А (а,ы) н В (Д. Р), крн еы, «> б д Ш р, найт« крнву о, эо кото. рой тяшсда» мвшриэльнав Рэ* )л. то гав переместится под дей.
сгнием силы тншестн пз точкн 4 а гошу В за «р тчвй шее «реня (рнс. )З). Нв ыл ную скорость гошн полз. гаем равной нулю В зшй задаче фуздшюналом явлвет. ся врем» двнмення / = Т(у). Состав«« этот функьпо. нал. Н» всем кутн дэзес»»э выдалннегсэ закон сохра не«на ввергни + шуд = Е = сопз! 3 П.)7) Тот»з Из ((ЛВ) нол чнм у т(р)=-я Ц+»-'- д .
((.)р) О ределям постоянную Е. Прн в д во услпэнш в й, Следовательно, Е шйа н ошнявтшьно юн юн гов г чпс юа пл г (1.21) г В самом леле. еслн . н ГЫ, у') пе занггюгг явно т к, то Умяюнп обе юспг рзаенств» на Е( пол)юпм — е - (à — у уз" ) ю О, аткуда н слеауег (1 21). Для рэгсматрнваемого фтнь. Ню ала нмеем (1+ ум)(» — у)= —,. (1.22) Длз реюенпя уравнения (1.22) введен пнраметр р' = 13 Е. Тесла у а — —,(1+соз2Е), 1 ((ДА) я — (2е+ згп 2е) ")- сь зг , Уравяення (1.23) задают семейства цпклонд, эввпсяшее пт параметров с, а сь Зтн парвчетрм можно опре пенмтыи условна прозождення цнклопдм через тачян д нд,ь ..е Вюроа юсбзю)цяое услааис энстремума функнноялла в простейшей задаче варяацпонного псчеслення он. ределнегса с помощью второй варнацпн фуннцпонвиа (1.13).
Вторсн нарезная фуннппонала (1.13) э. 41(Р,А)-~фй'+ВД'„-аа + а а Л")Ул,(1.24) ((птегрврнг цо частим второе слаюсмое ппдынтеграль. «гй фупвала равенств» (1.24), попутна 3[(В, — „—,„; )Аз р —,, А'~а .((ДА) э,сгьс * ь юи чль ° ьа )ялты зз ю иг !.3 н юопое особою е уююе з.стронг«я фуигыноньлю пол!ам слеп)юн1тю ыор мр Л мпздра Лла гога стобы фу» Кко«ст ((дб! е зздзтс с салрюлсик ыш срз ° 1има дыгпюл лп рюсй у(з) мина уы (пляс«нема), о бы демо, кгоба1 еды эюй кыюлй еа. ло.юл.юс ус,гоаю аг'д--~б ( — "',. ~О).
(!йб) Услоенс (1.йб) пззыэаетсн уюозагм Люгандпп )(в. при ыр, в зэззне о брззнстозроне полапегрзльнья фуненпл фуньюю«вза Дл«нее ныееы дп 1 дп дз ф з)Ч11 Ф у1)Г' вдоль экстре«зло. Снеловвтельно, ныпоннютсз условие Лсжанпра плесну«за инннчучя фу«юсин«ало. Достзтотные услоин» слабого ззстрсиуия лля «ре. стедаей эвлптн нар«э«нонною «смоленое фарп!ли.
рдотся слсауюаин обрэз и. Для юсо стобы кривая у(к) досгеыляла алади! ма. нимум (макс«мни) фу «кно а.у (!.!3), дытагаыо, юобы сылолиллись следующие услоенн: а) крив я была экстремизмы г. а рбюлсгюрмеа ураниыюю Валера (!.1б); б) идоле кр лой у(л] ««ело мсюо гырюаыгва — усиленное уюааиа Лююидра ыюгеююееяла длй ан. илмума (максимума)1 в) уравнение гд — '(ри') б. О= ', —,—..
г=,*, (!.гщ зг г зщ з*г ш' * щог'' яг'щ ' к ь. яю в )(ун у, ..., у ) = ~ р(г уг, г„, у',, „!г )а, (!.29) яввнсяшо от л фгакшгй у ( ) О= 1,2..., ). П л . чв нм условвя уДЩ-Ль уг(Л-О, (Г-!.2...,. «), ЛЩ)) Леркаявврпацввфу шш вла (!.29) гюсс. а Ншбюйвл е угя г астр у а йу н гя а са т нт а брзщенн» в нул щ пер *й вари и н. Учвтмв вя. Заввсвмость прврзш а йг н прши во внвцаинс миму Латраамв, буасм ет — — —,=О (! !. 2... „«). (!.32) ш л вг аз, в* Е', Сащяма урвав кнй (1.32) ввзмвавтщ снс щб ур вчяшл)рйязрп Лырл«мм Слслов тгл на, чтобм функцщ щрф Л ),р,т ., «) ммт» л к кастр«мгц фуякпнт ° в лу (129),.нкобкол мм ч бм Онп Уп Щ Н Р л сц.
; с!яма урввнвннв Эйлсрв-лагранма (!.32). Отмчтмц, ша свстяма уравнян й (1,32) а абшсм случас соснщ„ : аз урявнвн й у.го порялка. Ее общая р шснчя с лсращ йн ароизао ьнвш псстоякнмщ нят рмя могут бмть нвй :асам с ясшщщоя щм гранешм» у внй (139) ен мм ет "'" "р-5(Ы „'"„;,, . „., ~, „а в')" о.звр Обоенаеии ар е,аее н ввевем в раымотремм м иа"рмеы :] ровна второе авраамы намет Омте еамкаие ° вава ртррр, вр- ~Ир„,ю, ар+в<я„р; вр+рр„р; р1~р.
р ° . * м , и. ° . а ш шсищ он е 1Л Втоо«б» нниос у ло ае есшнуив ф) шш оч в (губ) н ст внл (Р„;.32 а2>б Р ф(>б' 1 дн( тб( Дашаимние белове» ссабага мины,тмо фун«н с. аале ((дб) с стает в слснуюш . Л с того чтобы нрн. вш у(л)=(у,( )у,( ] ... у,( )) л вовс слаб Н нввннуи фунснноовву (1 29), и тш о об нели ь леду ш сусловы - 1) «р я долшна б тс вн рс.» с, . е. до шна бип рсюеи еми ур ос н с эо р — я гро ма (122); : 2) лагг ение д огана ение мнл ри а р Ни Рты далшни бсоа строга лол и сл и длл еюб го сш ш[а,б), 3) сш смаур шннб б би Яф„б,— — ~р,,нг)-б (!.33) с 2 -с (3 1, 2...„), юш а ееюорнаб форме Ен-,'2 (Рв')-3. 0 Рю е Ртгч Р Р и, "') ЮШС С . О .3 Р),ос. 1Ш з ) зв з ()-(о об, а).
О (а) - (о о о ... о>, л"(а) (о о о ... оу Оаю>-О О О ...О>, о' (а] (о з о ... о), о"'(а) - (о о о ... (> к для аа рмс лед ~ з) (,> ... з) ( ) 1 д я д к ш (а, )1. Л пино фармуивруютш у лазая слзбюа кекс»- ук фуявкеаевкз (зоб>. Ютмстам, «сл р а орал к с авреяслапль ~ з„'м>,. л,'И ( тот «ел скезмвштсз с лряы л бяаапюшмзвю» татке к = а. П паму условве 3 машел сфармулвравятз с луюш и зараз м: зрсзак (,б) кс дал с к садср Расс штрем всабхслвмсе уславш еистрсаумз функ. к шш а,а кшщ саше рмшшм аадлмк.
а у(О)-) р(л, р, р'..", (у">бе, д бз> Зкатремум ереяея со мл «лассе кривыХ р(к>ЕСа улавзмтз решшя* трезвякам успеваем ркт(е> - д„ бб (б> -' д, (( О. ), ..м в - Ц. ((,бу> в взгкзшшн ° кол нв рл ! П разя резшы функч ш ла (! Зб) в зад ы с граннч.
лмм» усдавнзнн (! 37) н е внд Д+ — "'+ " + —,„!гш)а». (1.33) дппу тн ае нрнрашенае а удовлегварвет гран чным ус. лавпнм бгв(а) О, б!" (Ы О (! О, 1, ..., л — 1), (ЕЩ Праннте рправав па частям требуемое юл честн раз квжд с сласае ое — Л" Э=1, 2...,, ) падынгегаг азм' рзлышй суммы н учнтмвзз прн агам грвннчные условия (1,39),неф р уш (!.33) т н 37(р, 3)- -„---,+... +( ~)...,)..ш ДИВ ()гдр с ар .
с" ар ч ) (аз л дз' л*" азы) у(у)-~-Э-''4" — ! . Ервавчнмз усдовнш р(1) О, р(Ц (1,42) (1.43) Используя первое несбкода ое условне энстремумв про. нашльнога функнпоявда н лемму Лагранжа, получим веабюднмсе услааве зкстремума фун ч онана (!.Зб).
л" лр ,т . + " . + (- 1)" †„ †„ О. (1.41) л аз' " ' е*" ау ! Э асаон . Э Уравневне (1.41) называется урсс смыл Эйлера— квальнае уасаона. Эта урввненне представляет сабпй днффе ен- реншрмпт 2а в пз уравненне парад а 2д Ег обшес решение с ° штшыкм б ронзвольнмк постонннык, длн преаелен «зй 1.37) мшут быть нспальзованм 2л гряннчйыд уела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
