popovEP1 (950645), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Найдем эначелие установившейся ошибки в замкнутой системе автоматического управления при постоянной величине внешнего задающего воздействия д Я = совэг = яа. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи И~ (б) =— ,КЖ (а) а Х,(а) а где Ха'(з) и Х(з) не содержит множителя з (свободные члены их равны единице). Тогда передаточная функция замкнутой системы для ошибки будет равна ( ь(а) Фа (з) = а + и, ( ) = ь «а) ( я(а ( ) а (З и) а дифференциальное уравнение- (Х (р) + КЯ(р)) е = Х (р) д(8) (р = — ).
(ЗЛ2) Согласно теореме о конечном значении, выражение установившейся ошибки принимает вид э, 1(ше(Г) = 1нвФ,(з) 6(з) з, $-аале а"~Я где в данном случае а(«=+ По этой формуле с учетом (З,Щ получаем га эта =— $+Ка так как свободные члены многочленов )а'(з) и Х,(ю) равны единице. Это значение ошибки называется статической олаибкой; Ее можно столь же просто получить из днфференци альп ого уравнения (3.12) как частное решение при КЯ йь Если же подавать на вход системы задающее воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью, К(Ц= до+ УсГ, (ЗЛ5) то и установившаяся ошибка е как частное решение уравнения (ЗЛ2) тоже будет изменяться с постоянной скоростью. При достаточно длительном воздействии такое нарастание ошибки недопустимо. Для ликвидации этого явления нужно изменитьструктуру системы так, чтобы многочлен Х(з) не имел свободного члена, т.
е. чтобы Х (з)= зХо(з); (ЗЛ6) другими словами, передаточная функция разомкнутой цепи этой системы И'(з) должна иметь нулевой полюс. В самом деле, при воздействии я(Ц до + бсг, изображение которого ~(з)= + о го по формуле (ЗЛЗ) с учетом (З.Щ и (3.16) получим Кс его К гг есв = — ° К' (ЗЛ7) То же самое легко можно получить из дифференциального уравнения системы (ЗЛ2) при условии Х(р) рХч(р), как частное решение, учитывая, что при воздействии (3.15) имеем и(г1= а ° При постоянном же задающем воадействии б(Г) сопзФ до в такой системе установившаяся ошибка будет равна нулю (е =0).
Итак, система, обладающая свойством (ЗЛ6)', т. е. нулевым полюсом в передаточной фушсции разомкнутой цепи И'(г), не будет иметь статической ошибки и даст постоянное значение скоростной ошибки. Следовательно, в такой системе при задающем воздействии с постоянной скоростью не будет нарастающей ошибки. Это постоянное значение ошибки называется скоростной ошибкой Такая система, отличагощаяся отсутствием статической ошибки, называется астогичсской системой в отличие от системы, пе имеющей пулевого полюса в разомкнутом состоянии и обладающей вследствие этого статической ошибкой( Относительно технических средств, с помощью которых достигается астатизм системы, речь будет ниже в глазе 6.
Здесь можпо только, вспоминая передаточные функции типовых звеньев (глава 1), сказать, что для этого необходимо присутствие интегрирующего звена. Очевидно, что все следящие системы и системы программного управления, имеющие дело с переменным задающим воздействием, должны проектироваться как астатические. В системах же автоматического регулирования, настраиваемых па гюддержание постоянного значения регулируемой величины, допустимо иметь и статические ошибки (астатизма не требуется). В следящей системе (рис. 3.2) интегрируклцим звеном, создающим астатизм, является сам исполнительный Рис, 3.2 злектродвигатель.
В самом деле, угловая скорость вала авигателя в установившемся рея<име пропорциональна величине управляющего напряжения па входе. Поэтому ггол поворота вала (выходная величина системы) будет пропорционален интегралу от входного управляющего аапряжепия. 1Сак видно из формул ошибок (3 14) и (3.17), для гмепьшепия величины ошибки нужно добиваться достагочпо большого значения общего коэффициента усилетия Х разомкнутой цепи проектируемой системы. Поэгому величина К именуется добротностью системы. Можно строить системы автоматического управления гакже с астатизмом второго и более высокого т-го порядка, когда мпогочлеп Е(з) имеет вид соответствеппо г (з)= зЧ1(з), Е(з)= з'хо(з), (3 18) т. е. с двойным пулевым полюсом или пулевым полюсом т-го порядка в передаточной функции И'(з) разомкнутой цепи. Тогда, если мы возьмем задающее воздействие в виде к(~)= Ко+УФ+ ...
+б.-~ т" '+к.т", (ЗЛ9) для которого имеем изображепие за (т — П! х,, "!х, то по формуле (ЗЛЗ) с учетом (ЗЛ1) и (ЗЛЗ) в системе с аставизмом т-го порядка получим постоянную ошибку таях (3.20) а все первые т членов задающего воздействия (ЗЛ9) будут иметь нулевую установившуюся ошибку. Здесь рассматривалось свойство астатизма системы автоматического управления по отношению к задающему воздействию. Может идти речь и об астатизме системы по отношению к возмущающему воздействию. Если возмущающее воздействие ~(8) приложеяо в отличном от задающего д(г) месте, то условие астатизма при этом будет другим.
Поскольку в этом случае отклонение регулируемой величины я обусловлепо возмущающим воздействием, то надо будет пользоваться передаточной функцией замкнутой системы по возмущению причем согласно (2.20) при д (г) = 0 получаем или же дифференциальным уравнением Кзк зиппо, для астатизма системь1 1ю отпошепию к возмущающему воздействюо потребуется валичие пулевых корней в многочлене Л(г). 5 3.3. Точность при гармоническом воздействии Установившиеся ошибки при гармоническом воздействии определяются частотными характеристиками замкнутой системы, которые были получены выше в з 2.4. Частотные характеристики замкнутой системы, построенные для регулируемой величины к по возмущающему воздействию (см.
в конце $2.4), будут целиком определять установившуюся синусоидальную ошибку по амплитуде и по фазе А. (а)'= А (а) = !Ф~(уа) !, ~р. (а) -~р„(а) = -агу Ф,(уа), зде а — частота колебаний возмущающего воздействия ~(с) = вш а8 (с единичной амплитудой) . Что касается основных частотных характеристик А,(а) )Ф()а) $, чр.(а) агу Ф()а), построенных в $2.4 по главной передаточной функции замкнутой системы, то они включазот в себя всю информацию об установившемся слежении за синусоидальным задающим воздействием у(~) = вш ай (3.21)' Позтому, как показано на рис.
З.З,а и б (соответственно для систем с астатизмом и без него), установив- юв "' д юп б Рвс. 3.3 шаяся ошибка воспроизведения амплитуды гармонического задающего воздействия определится заштрихованными частями ординат. Заметим„что ошибка в а кплитуде при а = О представляет собой статическую ошибку системы, так как нулевая частота соответствует постоянной величине входного сигнала. Фазовая частотная характеристика ~р,(ю) (рис. 3.3, в) представляет собой установившуюся ошибку, выражающуюся в сдвиге фазы на выходе х = А,(ю)з4п(юФ+ ср,(ю)) по отношению к входному воздействию (3.24).
Амплитудная частотная характеристика А,(а) обычно падает при дальнейшем увеличении частоты, причем А,(а)- О при ю- В результате получается ограниченный диапазон частот ю, (см. рис. 3.3), в котором ошибка воспроизведения амплитуды ЛА, = $ — А,(ю) не превышает допустимого значения. Этот диапазон частот О( ю < а, определяет полосу пропуслания данной системы.
Полоса пропускания является важным показателем точности системы. Она характеризует ограничение возможностей системы в воспроизведении быстро меняющихся сигналов. Это связано со степенью инерционности системы. При необходимости для снижения инерционности Ряс. 3.4 в систему вводятся корректирующие устройсхва, рассматриваемые ниже в главе 6. Для эстетических систем существует приближенная формула вычисления ошибки при гармоническом воздействии на рабочих частотах.
Рабочие частоты систем управления ю лежат обычно ниже (левее) первой сопрягающей частоты ю1 (рис. ЗА)„где !И~(ую,)! х 1 и само значение ез сравнительно невелико. Поэтому для астатической системы с передаточной функцией разомкнутой цепи ру( ) КУ(8) а'Ъ (э) где Л1(г)- — мяогочлен по степеням а со свободным членом 1, будем иметь Оаа) Г,Нм) (l '„) а для ошибки з в замкнутой системе (гм )' Фа()ы) = 1+ и'Оо) к т.
е. при воздействии (3.21) амплитуда опшбки будет равна еУ А, — (Ф,(усэ) (ж — ". (3.22) Следовательно, дааа=асз, д .=па. э Отсюда вычисляются частота ээ и амплитуда а сипусоидального задающего воздействия, при котором получаются требуемые максимальные скорость и ускорение, а именно: а агах Л п1ах се= —. а= —,. а ахах Ьмах (3.23) Тогда эти значения ээ и а принимахотся за расчетные рабочие значения частоты и амплитуды для данной си- Здесь паглядпо видно, что и при гармоническом воздействии ошибка в первом приближении обратно прапор* циональпа общему коэффициенту усиления разомкнутой цепи К, т. е.
добротности системы, как это было и для всех постояппых ошибок (з 3.2). Наконец, необходимо отметить, что часто при проектировании и испытании систем управления пользуются сипусоидальпым задающим сигналом и в том случае, когда требования к системе поставлены по величинам максимальной скорости и максимального ускорения входного воздействия, которые доляапы воспроизводиться следящей системой.
В этом случае, при подаче сипусоидальпого сигнала д =- а э1п эя скорость и ускорение будут д = аээ соэ ээ1, д = --аээа гйп ый стемы. Ошибка па этой частоте при данной амплитуде определится по формуле А, — а !Ф. У )! = ), ~ ~ (,„)) = ~и,(. П. (3.24) Пиксе в главе б мы воспользуемся этими соотношениями при решении задачи синтеза в процессе просити рования системы. э 3.4. установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициенты ошибок) В общем случае иэображение ошибки з(~) воспроиз ведения задающего воздействия я(с) выраясается мулой Е(г) =Фо(г)6(г) Ф (г) = 1 + И~(г). Передаточную функцию можно (см. Э т г) опр как преобразование Лапласа весовой функции Ф, (г) = Ы (Ус, (С)) = ~ й, (т) е-*'сй, р 33) о где о,(г) — весовая функция для ошибки, т. е, реакция замкнутой системы в точке измерения ошибки (рассогласования) ка мгновенный единичный импульс внешнего задакпцего воздействия д(~)= 6(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
