popovEP1 (950645), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для этого производится лянеаРизация характеристик и уравнений для реальных звеньев системы (см. т ФЛ). Болыпое практическое значение имеют, конечно, и существенно нелинейные системы. Они рассматриваются отдельно в другом учебном пособии. Итак, обратимся к линейным системам, рассматривая их как результат лияеаризацни реальных систем, т. е. к линеариеованнын системам. Малого сказать, что линейная система является идеализированной (приближенной)' математической моделью реальной системы. Рассмотрим сначала идеально линейную систему. Под Устойчивостью линейной системы понимают свойство затухания переходного процесса с течением времени, иначе говоря,— следующее свойство собственного (свободного) двилвения системы: я„е(Г) — 0 при й— '(4.Ц Из формул (3.5) для случая равных корней и (3.6) при наличии кратньгх корней характеристического уравнения системы видно, что свойство '(4Л) имеет место тогда и только тогда, когда все корни Х~ ($ $, 2, ..., н),' обладают отрицательными вещественными частями.
Это иллюстрируется графиками для составляющих ревтевня, соответствующих вещественному корню и паре комплексньтх корней (рис. 4Л). Если же хотя бы один вещественный корень Х~ характеристического уравнения будет положительным, или если хотя бы одна пара комплексных корней будет иметь иессен %тесе Рис. 4Л исае ж~аи Рас. 4.2 положительную вещественную часть, то переходный процесс будет расходящимся (рис.
4.2). Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень (Х, =0) или хоти бы одна пара чисто мнимых корней (А,,+1 — ~ум), а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части, то будем говорить, что система находится на границе устойчивости. Это следует иэ того, что нулевой корень можно рассматривать как границу между отрицательным и положительным, а чисто мнимый корень— как границу мен1ду комплексными корнями с отрицательной и положительной вещественными частями. Поведением вамнутой системы на границе устойчивости пока интересоваться не будем, так как работоспособная система автоматического регулирования должна быть устойчивой с вапасом и не приближаться к атон границе.
Условие устойчивости линейной системы выражается, следовательно, в том, что все корни характеристического уравнения Л; должны располагаться в левой полуплоскости комплексного переменного Л (рис. 4.3) . Мнимая ось ю плоскости корней служит границей устойчивости. Можно выделить три типа границ устойчивости линейной системы, которые характеризуются соответственновенпо: 1) нулевым корнем Л~ =О; 2) парой чисто ьгпимых корней Льг = =ьую; 3) бесконечно удалешгьпн корнем Л1 = Заметим,что бесконечность па комплексной плоскости рассматривается как бесконечно удаленная точка, противоположная нулевой. Поэтому она тоже является границей между положительной (правой) и отрицательной (левой) полуплоскостями. В первом случае (Л1 = О) граница устойчивости называется апериодической, а во втором случае (Л1г = = ~ую) — колебательной, причем значение мнимой части еЛ н корня ю равно частоте незатуй/ хающих колебаний системы на ® грашще устойчивости, так как Лг при Л1л = ~ую имеем решение л, х„„= А з1п(юг+ б), д а где А и р определяются начальпымн условиями.
Перейдем теперь к реаль- "Л ным системам, которые исследуются в линеариэовапном виде. Прежде всего, надо дать общее определение понятия устойчивости и определить, как может влиять па устойчивость небольшое отличие реальной системы от ее линейной математической модели. Надо быть уверенным, что исследование устойчивости проектируемой линейной системы обеспечит затем устойчивость и системы реальной с малыми пелипейпостями. Общее определение понятия устойчивости любой динамической системы по Ляпунову выглядит следующим образом.
Запишем уравпепия динамики нелинейной системы и-го порядка в пормальпой форме Ноши Ь=Гг(у„ую ...,у„) (1=1,2,...,и) (4.2) при отсутствии возмущающих воздействий. Устойчивость рассматривается как свойство свободного двинеепия системы после начального отклопепия ее, вызванного любыми причинами. Пусть у*(1) обозначает некоторый установившийся процесс работы системы или, как говорят, невозмущенное двизхение.
Отклонение возмущенного движения у(1), определяемого уравнениями (4.2) при начальных условиях у(1о), обозначим через х(1): хг(1) =уе٠— у; (1) (1=1, 2, ..., н). (4.3) Тогда можно написать уравнения воэмущеппого движенил в отклонениях в виде вх; — „' =. Ф;(х, х„..., х ) (1 = 1, 2,, н), (4.4) а невоэмущенпое движение будет х*=О. Перемеппьте х~ являются координатами состояпия системы (см.
$2.3). В общем случае конкретное выракгение уравнений (4.4) зависит от вида установившегося процесса ув(1), так как опи получаются из (4.2) подстановкой (4.3). Поэтому, исследуя уравнения (4.4), вообще говоря, необходимо указывать, об устойчивости какого установившегося режима или певоэмущенного дэнн<елин у*(1) идет речь. Невозмущеппое (установившееся) движение у ~ (г) системы и-го порядка можно представить геометрически условно в п-мерном пространстве (с добавлением еще оси времени 1) в виде некоторой кривой (рис. 4.4).
Возмущенное двигкепие у(8), вызванное начальным отклонением при 1=1г изобраэится другой кривой (рис. 4.4). В отклонениях х(1), т. е. в пространстве координат состояния системы, зта кривая возмущенного движения будет выглядеть как показано па рис. 4.5. При атом невоэмущенное движение хв = О иэобразится прямой линией, совпадающей с осью й Невоэмущенное движение системы х*= О называется устойчивым, если, задав трубку сколь угодно малого ч-мерного сечения е (рис. 4.5), можно подобрать в начальный момент го такую область начальных условий б, зависящую от з, что в дальнейшем с увеличением 1 возмущенное движение х(~) не выйдет из заданной трубки з.
Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову формулируется следующим образом. Невозмущенное движение системы х* = О называется устойчивым, если при заданном з ~ О, сколь бы оно мало Рас. 4.4 Рвс. 4.5 ни было, существует такое 6) О, зависящее от е, что при начальных условиях !х~(1о)! (б (1=1, 2, ..., и)' в дальнейшем движении (8о (г < ) будет все время соблюдаться условие lхс(4)1(е (1 1, 2, ..., и). Заметим, что в этом аналитическом определении области з и б, в отличие от рис.
4.5, выглядят «прямоугольнымиз (в и-мерном пространстве), что не имеет принципиального значения. Невозмущенное движение х*=О будет неустойчивым, если указанное условие не выполняется хотя бы для одного из хе Если в рамках указанного выше условия имеем х(г)- — О при й-, то невозмущенное движение хо — О шьзывается асимптотичеели устойчивым. Если же х(г)- О при 4- после любых больших начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом (или «в больпюмэ). Обратимся теперь к линеариеованной системе. Урав- нения (4.4) в процессе липеаризации (рааложением в >яд Тейлора)' получают вид »е е» вЂ” = а»,х + а«зх + ...
+ а»„х + «р»(х,х,...,х ), (4.5) де через»р» обозначены члены высокого порядка, начитан со второго. Получаемая отсюда линейная система путем отбрасы»ания малых пелинейностей»р» называется первъъм при5лихеениез»: Ие» вЂ” = а»,х + а«,х + ...+а»„х (1=4,2, ...,и). Для него можно написать характеристическое уравнение "11 12 " ' »в а а — Х ... а Р(Х) = Для нелинейных систем, к которым применимо раалон«ение вида (4.5), существуют следующие три теоремы Ляпунова об исследовании устойчивости по первому приближению: » ) невозмущенное дзин«ение ха О устойчиво независимо от вида малых нелинейностей «рь если все корни характеристического уравнения Р(Ц=О имеют отрицательные вещественные части; 2) невозмущенное движение х* = О неустойчиво независимо от вида малых нелинейностен «рь если хотя бы один корень характеристического уравнения Р(Х) О имеет положительную вещественную часть; 3) в случае наличия в каких-либо корнях характеристического уравнения Р(Х) О нулевой вещественной части при всех остальных отрицательных, ничего нельзя сказать об устойчивости невозмущенного движения х* О по первому приближению без специального исследования полного уравнения (4.5) с малыми нелинейное'гями «р».
Третий случай для линейной теории автоматического управления не представляет интереса, так как наличие нулевого корня или чисто мнимых корпей характеристического уравнения будет означать просто границу устойчивости линейной системы. А система не должна нахо- диться пе только на границе устоичивости, по даже и вблизи нее. Поэтому для наших целей достаточно использовать первые две теоремы, которые и явлшотся обоснованием всей налагаемой пияге теории устойчивости линеаризоваппых систем, основанной па требовании к корням характеристического уравнения, указанном в начале данного параграфа. Заметим, что поскольку требование к корням обеспечивает свойство хчм(г)- О при ~- х при лгобых начальных условиях, то линейная система оказывается всегда при этом устойчивой асимптотинески и в целом (ев большомг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
