popovEP1 (950645), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассмотрим теперь определение границ устойчивости по критерию Михайлова. Очевидно, что все три типа гра- а 5 Рис, 414 янц устойчивости (з 41) можно объединить равенством )и = )юс, включан сов = О и сво= Если характеристическое уравнение системы Р(л)= 0 имеет корень )с~ =уыс, то удовлетворяется равенство Р()ас) = О, откуда согласно (4.10) получаем Х(соо) = О, У(сес) = 0 (4 23) Графически это означает попадание одной точки кривой Михайлова (св = вс) в начало координат, как показало, например, на рис. 4.14.
Физический смысл величины ю = ссс — частота колебаний системы па границе устойчивости (см. 4 4.1). Валспо отметить следующее. На границе устойчивости системы все остальные корни, кроне л = ~угор, должны лежать сле- А- за от мнимой оси плоскости л. Иначе система будет пеустойчн- < у зой. Поэтому, кроме условия (4.23), требуется, чтобы кривая Михайлова проходила бы все остальные квадранты, кроме пропущенного из-за прохождопия через пачзло координат, как показано, Рис.
4.15 например, для п = 5, на рис. 4.14. Следовательно, например, рис. 4.15 соответствует пе границе устойчивости, а неустойчивой системе. Другими словами, очертание кривой Михайлова на границе устойчивости долвсяо быть таким, чтобы малой деформауией ее в начале координат можно было удовлетворить критерию Михайлова. Это пэнжо сделать на рис. 4.14, но не на рис. 4.15. Аналитически зто означает, что в дополнение к равенствам (4.23) должен удовлетворяться критерий устойчивости для многочлена ВхР,) = ~(Х)„ Х' + ео,' (4.24) в котором исключена пара чисто мнимых корней, а в случае нулевого корни В (Л) = —. й (л) х Заметим, что условие (4.24) надо проверять только при и ~ 5, так как при и < 4 оно сводится просто к положительности коэффициентов уравнении В(Ц= 0 (которая предполагается с самого начала).
Выражения (4.23) используются для построения областей устойчивости системы на плоскости любых двух параметров А и В, выбираемых при проектировании системы (зто могут быть, например, коэффициент усиления и постоянная времени). Тогда (4.23) можно записать в виде Х(соо, А, В)=0, У(соо, А, В)=0, (425) Тогда для В()'ю) = Х(ю1+1У(ю) причем параметры А и В входят в коэффициенты этих выражений (коэффициенты характеристического уравнения системы). Таким образом, выражения (4.25) представляют собой уравнения границ устойчивости, изображаемых в виде некоторых кривых па плоскости параметров А, В. Путем задания разных значеяий величины соо (О ~ юо ~ ' ) каждый раз из уравнений (4.25) определяются значения параметров А и В.
В результате по точкам строятся границы устойчивости на плоскости А, В. Пример. Рассмотрим определение границ и области устойчивости системы по критерию Михайлова для простого случая. Пусть, как и в прежнем примере (4 4.2), В р) = Т!Т2).3+(Т1 + Т2) р+ й+ к. получим выражения Х = К вЂ” (Т! + Т2) вт, У = в — Т~тивз.
Отсюда для границы устойчивости согласно (4.25) имеем К вЂ” (Т + Т,)~~ = О, в (1 — Т Т,в') О. Из второго уравнения получаем два значения а 1 в О и во т,т, ° Тогда из первого находим соответственно К О и К вЂ” + —. 1 1 т, т, Для бесконечно удаленного корин (во= ) из предыдутцего выражения получаем Т1Тз = О. Зги результаты совпадают с тем, что было сделано в примере по критерию Гурвица, где были изображены и области устойчивости, которые получаются, естественно, такими же (рис.
4.6, 4.7 и 4.8) и по критерию устойчивости Михайлова. Если, как мы говорили выше, критерий Гурвица для определения границ устойчивости удобен лишь прн и-" 4, то здесь по критерию Михайлова удобно определять области устойчивости для систем любого порядка. Достоинством критерия Михайлова является то, что он проще и нагляднее для определения устойчивости системы, чем критерий Гурвица, особенно для систем высокого порядка. Другая Яорма критерия Михайлова состоит в использовании свойства перемежае мости корней многочле нов Х(в) и У(в). В самом деле, из рис.
4.9 видно, что, идя вдоль кривой Михайлова от точки в=О в направлении возрастания в, мы сначала выходим с оси Х, затем пересекаем ось У, потом снова Х и т. д. Зто значит, что корни уравнений Х(в) О, У(в) = О должны следовать поочередно друг за другом. Кривые Х(в) и У(в) имеют вид, как примерно показано на рис. 4.16. Итак, условием устойчивости системы является пере- межаемость корней этих уравне- Х ний. Нарушение данного условия говорит о неустойчивости системы. Для прежнего примера уравне, ния принимают вид Х=К вЂ” (Т~+ Тз)а~=О, у= — т т =о. Перемежаться долясны корпи этих уравнений, а именно: з К ~=Т +Т ° 1 2 Следовательно, здесь должно быть т. е.
$ К т Т, Т,+Т,' откуда вытекает прежнее условие устойчивости т 4 К< — + —, Т, Т,' которое было получено вьппе другими способами. 5 4.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) базируется па частотных характеристиках разомкаутой цепи системы автоматического управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы. Рассмотрим разные случаи. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии. Пероцаточпая функция разомкнутой цепи .(, кл () к(ь, +"-+~) Ь (з) . зз + ... + ~ а Этот случай соответствует системам автоматического управления бев астатиаиа.
Введем вспомогательную функцию Е (л) + КУ7 (г) УУ (л) И л (в) = 1 + И (в) у ( ) у (л) э где Р(в) — характеристический мпогочлеп замкнутой системы, а Р(в) — характеристический многочлоп разомкнутой цепи этой системьп Подставим в = ув, получим И' (ув) =— уу Ув) У Пв)" По критерию Михайлова изменение аргумента Л(ув) при 0 ~ в «равно н —, так как предполагается, что разомкнутая цепь устойчива.
С другой стороны, требуется, Рве. 4А7 Рас. 4.18 чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии. Для этого нунсио потребовать, чтобы измепение аргумента .Р(ув) при О»" в < такиге равнялось и —. 2' Отсюда следует, тго изменение аргумента И'~(ув) должно быть: Ь аг8 И"~ (ув) = Л агя Р(ув) — Л агб Р(ув) =- 0 Это значит, что годограф И'~(ув) не должен охватывать начало координат (рис. 4.17 и 4.18). Вернемся теперь к функции И'(ув) = И'у (ув) — 1, которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой цепи (рис. 4 19 и 4.20)'.
Отсюда получаем следующую Яорлгулировку частот- ного критерия Пайквиста. Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку ( — 1) (см. рис.
4.19 и 4.20). График на рис. 4.19 соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушится только с увеличением общего козффициента усиления разомкнутой цепи Х, Рис. 4Л9 а график на рис. 4.20 — случаю, когда и при уменьпюяии К система может стать неустойчивой (пропорционально величине Х, согласно (4.26)', меняются радиус- векторы, всех точек характеристики). Неустойчивость замкнутой системы иллюстрируется иа рис. 4.21 и 4.22. Рис. 4.24 Имея в виду сложные очертания амплитудно-фазовых характеристик (клювообразного вида как на рис. 4.20 и более сложнью), к записанной выше формулировке частотного критерия добавляется разъяснение, что надо понимать под термином «неохват точки ( — 1)». Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки ( — 1), но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки ( — 1)' должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх). Система, нейтральная в разомкнутом состоянии.
Характеристический многочлен разомкнутой цепи Е(г) имеет нулевые корни, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой цепи И'(г) имеет соответственно нулевые полюса: И Ко (г) К( о~ + "'+~) Ь(81 гм(с с и+ +$) Это соответствует асгагичгсяим системам, причем ив порядок астатизма. Рассмотрим сначала случай т = 1, т. е.
г. (г) = г(с,г"-'+... + 4)'. Плоскость корней для Е(г) имеет вид, примерно как показано на рис. 4.23. Подстановка г=ув при 0 ~ со ~ означает перемещение вдоль оси в от точки 0 вверх Рис. 4.М Рис. 4.23 (рис. 4.23). При атом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окру~внести малого радиуса, т. е. г=рФ', 0(~р 2.
Тогда при г — 0 получим И'(г) ~ = = Ле-и К К 8 ргали К где Л вЂ” — большая величина, причем В - < при р — О. Следовательно, точке ю 0 плоскости корней соответствует на характеристике И'()в) четверть окружности бесконечного радиуса (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
