popovEP1 (950645), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Речь идет, конечно, об обыкновенных линейных системах с постоянными параметрами. 5 4.2. Алгебраические критерии устойчивости Выше было сформулировано условие устойчивости липойпой системы в виде требования к корням характеристического уравнения. Однако вычисление корпей уравнения высокой степени затруднительно. Поэтому были выведены критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости или неустойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней. Различные формы таких критериев рассматрнвзготся в курсах высшей алгебры. В теории автоматического регулирования наибольшее примепение ив алгебраических критериев устойчивости получили критерий Рауса и критерий Гурвнца. Мы ограничимся одним последним. Предварительно рассмотрим необходимое условие устойчивости.
Пусть характеристическое уравнение линейной системы Р(Х) = О в развернутой форме имеет вид аеХ" + а1Х" '+... + а,,Х+ а. = О. (4.6) Докажем, гго необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т. е. а, ) О, аз ) О, ..., а 1 -. О, а ) О, осли аа ~ О (4.7) (этому условию удовлетворяет и случая всех отрицатсльпых коэффициентов, если аа ~ О, так как можпо поменять все знаки на обратные). аз 5 а а„а а, а, О О О О О О а„о (а О). О О О О О О а а з *) Доказательство см.
в [15) алв [171. Для доказательства разложим левую часть характеристического уравпсвия (4.6) на мнолгитсли: ас Р— Лг) (Л вЂ” Лз)... (Л вЂ” Л ) =- О, ас ) О. Пусть все корпи ого имшот отрицатсльпыс всщсстввняыв части Л! = — 1ггг1, Лзз = 1па1 ~/сэр..., Л = 1и 1 ° Подставив их в уравншп|о, получим тс(Л + 1Я! 1) (Л + 1я21 !газ) (Л + 1и21 + 1ю2) ... (Л + )с! 1) = О.
Поскольку срвдпис два сомножитсля дают [(Л+ 1из1)'+ ыз) го видно, что после переклон!спин всех скобок получим з уравнопни только полонгитсльныв коэффициенты. Это я требовалось доказать. Однако в общем случае положительность коэффици:птов уравнении недостаточна для устойчивости системы. В самом дслс, положитсльныс коэффициенты уравнспия могут получиться и при полон!игольных вещественных частях комплексных корней. Но все вещественные корни ари положительных коэффициентах уравнении будут обязательно отргщатсльпыми.
Только з частных случаях, когда вместся уравнение червой или второй степени, положительность коэффици.птов оказывается необходимым и достаточным условием устойчивости (это легко проворить). А при и~3 это условие лишь необходимо, по недостаточно, ибо оно обсспсчиваст отрицательность только ввщостввпных корней. Приводом таперь критерий устойчивости Гррвиг1а без чоказатсльства *). Он формулируется слвдующим образом. Для устойчивости линейной системы нообходимо и достаточно, чтобы были положительными и елавных определителей следующей мату!ицы коэффициовтов характсристичсского уравнения (4.6) данной системы: В первой строке матрицы пишутсн коэффициенты с зечетными индексами, во второй — с четными.
Концы :трок заполняются нулями, так чтобы матрица имела и >толбцов, где и — порядок уравнения системы. Третья г четвертая строки получаются сдвигом первых двух на >дно место вправо и т. д. Указанные главные определители имеют вид аз аз аз 1а а ;>ни называются определителямн Гурвица. Последний определитель Гурвица, как видно из призеденпой выше матрицы, равен Поэтому его положительность сводится при Ь„> ~0 п условию а„О. НаиГюлее валзным, как увидим далее, является предпоследний определитель Гурвица Л Для систем первого и второго порядка критерий Гур>ица сводится просто к положительности коэффициентов >з, а>, аз.
Для системы третьего порядка характеристиче>кое уравнение имеет вид аэ»з+ а>)Р+ азХ+ аз = О, з условие устойчивости по Гурвнцу будет Ь > = а>аз — а>з>з ~ О (и = 3), (4.9) причем остальные неравенства сводятся к требованию полон>ительности коэффициентов аэ„а>, аз,аз. Условие (4.9) записывается е>це в виде а>аз ) азаз (4ЛО) (произведение средних коэффициентов уравнения должно >ыть больше произведения крайних). Этот критерий для >истам третьего порядка ранее Г>ыл получен И. А. Вышпеградским. Аналогично для системы четвертого порядка азиз + а>2.з+ аз3Р + азХ + аз О условием устойчивости по Гурвицу будет положительность всех коэффициентов характеристического уравнения и выполнение неравенства Л„г = а, (а а, — а,а ) — а а') О (и = 4).
(4 11) Для устойчивости систем пятого и шестого порядков требуется, кроме положителыюсти коэффициентов, выполнение двух неравенств типа (4.9), (4.11), но более сложной формы. Для систем седьмого и восьмого порядков — трех неравенств и т. д. Сложность этих неравепств быстро возрастает с увеличением порядка системы п. Поэтому для общих исследований особенно удобен критерий Гурвица при п ( 4.
Но при числовом задании всех коэффициентов легко проверить устойчивость системы, конечно, и при любом и. Найдем границы устойчивости. Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет согласно уравнению (4.6) в том случае, когда а„О, но при условии положительности всех определителей Гурвица (кроме последнего). Пара чисто мнимых корней в характеристическом уравнении (колебательная граница устойчивости) появляется при Ь„1= О, (4.12) если при этом все остальные определители Гурвица полож1ггельны (для систем 'третьего и четвертого порядка это последнее означает просто положительность коэффициентов уравнения). Наконец, граница устойчивости, соответствующая бесконечному корню, будет, согласно уравнению (4.6), при ао — О. В самом деле, если все уравнение разделить на А", то получим 1 аг + аг — + ...
+ ав г — + ао — — О. Х" г Х" 4 Отсюда видно, что при ао = О имеем — = О, а значит Х = го. Пр мер. Передаточная функция разомкнутой цепи системы задана в виде (см. рис. 3.5): К (')= г(тгг+1) (т~+1)' Характеристическое уравнение замкнутой системы согласно т 2.3 будет Т ТИ+ (Т + Т )) г + 7 + К = О. Коэффициенты ого положительны, Условие устойчивости по критерию Гурвица (4 10) получит вид Т„+ Тг)КТ Тг или К с ~ — + — ~. (4.13) С 1 (т, т~ Границы устойчивости: 1) а =О, К-0; 2) Л„г=О, К„р — —,+ 1 г 3) аэ = — О, Т~Тг = О. Эти три грашщы устойчивости можно иэобраэить графически в пространстве параметров К, Ти Тг и найти области устойчивости системы.
Найдем сначала область устойчивости системы по одному параметру К (общий коэффициент усиления равомкпутой цепи). Пространство параметров эдесь одна 1рапоцс рронсио устссй асбеста усжсй ~исоссуо г 1нг Р т1 Тг ! Рис. 4.С прямая линия, а границы устойчипости — топги на неи: К = 0 и К = К,„(рис.
4.6). Область устойчивости согласно (4.13) лежит между этими точками. Те же границы устойчивости системы можно построить па плоскости двух параметров, например". К, Ть Первая граница (К = 0) лежит па оси Т~ (рис. 4.7). Вто- 1 эая граница — = — К вЂ” — имеет вид гиперболы с асимп- Т 1 готами Т1 =0 и К= —. Третья граница (Т1 ==-0) совпа- Т тает с осью К. Область устойчивости, определяемая неравенством (4.13), обоэначена па рис. 4.7. Штриховка границ делагтсл в сторону области устойчивости. г»ак видим, при увеличении ностонпных времени Тп Тэ область устойчивости сужается.
Отрицательно влияет на устойчивость также и увеличение коэффициента усиления К. При любых эаданпых Т1 и Тэ существует свое К»» (рис. 4.6), после чего система становится неустойчивой. Это очень ваяшое обстоятельство, так как мы внаем Рис. 4.8 Ряс. 4.7 (см. главу 3), что для повышеппя точности регулирования необходимо увеличивать К. Тут выявляется противоречио между требованием точности (увеличение К) и устойчивости (ограничение К) . Далее можно построить область устойчивости и в пространстве трех параметров К, Ть Тт (рис.
4.8). Там жирной линией обоэначспа граница устойчивости, перенесенная с рис. 4.7. Границами устойчивости эдесь явлн»отея три координатные плоскости и криволинейная поверхность, сечениями которой в вертикальных плоскостях, параллельных КОТ~ и в горичоптальных, параллельных КОТЯ, будут гиперболы. $4.3. Критерий устойчивости Михайлова.
Построение областей устойчивости Воэьмем характеристический мпагочлеп линейной системы п-го порядка Й(Х)= и»Х" + а1Х' '+... + а„11+ а„(4Л4) ; положительными коэффициентами (необходимое услоэие устойчивости). Подставив в пего чисто мнимое впатепне 7» = 7'ю, получим В(уы)= К(и)+!У( ), где Х о н — 2 ге + Г = о„,го — ыи згз'+ .. (4Л6) Изобразим годограф етого выражения на комплексной плоскости (Х, У). Прежде всего заметим следующее: при в=О имеем Х а„, У=О; зри в= о будет Х=+со или —, У=+ нли Предельные значения + или — зависят от показатели степени и.
Из формул (4Л6), где все ас положительны, видно, что при гз =- для п 3 будет Х вЂ”, У = —; а для и = 5 получим Х +, У =+ а т. д. Поэтому годографы зти имеют для различных и и-Ю у примерно такие формы как показано на рис. и = 4.9. Эти годографы называются кривыми Михайлова. Рис. 4.9 Рис. 4.Ю Практически кривая Михайлова строится по точкам. Задают несколько равных значений го в интервале между О и (достаточно по одной точке в каждом квадранте). По формулам (4Л6) вычисляют для пих координаты точек кривой Михайлова Х и У (рис. 4ЛО). Поэтому вдоль кривой Михайлова обычно имеются отметки конкретных значений ге.
Сформулируем теперь критерий устойчивости Михайлова, а затем докажем его. Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы и-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции Х)(ага) при изменении в от 0 до равнялось бы и —, т. е. Л ~9Х) (ув) = ~ при 0~ (со( со. (4 17) Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова (рис. 4.9) проходила последовательно в квадрантов против часовой стрелки (все время окружая начало координат). Например, видно, что кривые на рис.
4.9 Рвс. 442 Рве. *14 соответствуют устойчивым системам, а на рис. 4.И =- неустойчивой системе при и = 5. Доказательство этого критерия следующее. Возьмем на комплексной плоскости корней Х много- глена Р(Ц (4.14) контур, показанный на рис. 4.12. При обходе этого контура А функция Р(Х) согласно принципу аргумента, известному из теории функций комплексного переменного, должна получить приращение аргумента Ь агйХ)(А) т ° 2и, (4.18) где т — число корней внутри контура, т. е. в правой полуплоскости (полюса функции здесь отсутствуют).
Представив 0(Х) в виде )9 Р) - Х" аз + †' + ... + Р , (4.19) получим на первой (пунктирной) части контура, где й - , приращение Л~агй Х = и, а для многочлена О(Х) Ь~ агой(Ц= Л агя Х" вя, гак как внутри скобки в (4.19) все дроби обращаются в нули. Поэтому для выполнения равенства (4ЛЬ) па второй засти контура (мнимая ось на рвс.
4Л2), т. е. при Х =)ы, +-~> ~ ы ~ — сю должно согласно (4.18) получиться Ьэ ага Р Я =-(2т — в) я. (4.20) Но из (4ЛО) видно, что Х(ы) четная, а У(«э) нечетная фупкдии в, т. е. Р ( — 1ы) = Р()ы). ЛагйР(у«э) (и — 2т) — при О(в(оо. (4.21) Дчя устойчивости системы надо потрервс 41З бовать, чтобы все корпи Х; многочлена Р(Х) лежали в левой я«лупа«скости, т. е. чтобы т.= О, а значит, чтобы ЛагяР(ув) =и — при О~а(со что и требовалось доказать.
Формулу (4.21) можно использовать для подсчета числа корней т, лежждих справа, когда система неустойчива, а имоппо и Ь ага«'Ом) 2 (4 22) Например, если для системы пятого порядка (в = 5) получепа кривая Михайлова в виде рис. 4Л1, то, подсчитывая обороты вектора Р(1в) по чертежу, получаем ЬагйР(ув) = ~ 2 и по формуле (4.22) находим т = 2. Следовательно, дан пая система неустойчива за счет наличия в характеристи- Поэтому можно проходить лишь полон~ительпую часть мнимой оси и полученный результат удвоить. Используя этот факт и меняя направление изменения ы, для положительной части мнимой оси (ряс. 4ЛЗ), вместо (4.20) мы должны по- лучить ческом уравнении Р(л)=0 двух корней с положительной вещественной частью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
