popovEP1 (950645), страница 16
Текст из файла (страница 16)
полюса, но также и пули передаточной функции замкнутой систомы Ф(з). В самом деле, как мы знаем, Ф(з) = ' = — ', Х)(з) = Х (з) + КР(з). 1 + И7 (ю) В (а) 3 Воспользуемся формулой (ЗЛО), разлоькив ми ого член У(з;) на множители кп (о) дь,(8; — ~т,) (,— и,) "-(з — д' ) (5Л4) где з,=Х; полюса Ф(з), т. е. корни характеристического уравпопил В(Л)=-О; через Уь ~, ..., У обозначены нулн (корнн) мпогочлопа У(з). Отсюда видно, что амплитуды отклопепий в переходном процессе, стоящие под знаком суммы, будут тем меньше, чем ближе расположены нули )У, к полюсам зе т. е. корни многочлена У(з) к корням характеристического уравнения. Именно в этом случае величины (г, — У,) будут малы. Зто соответствует, например, схеме рис. 5Л4, где нули обозна- А челы кружочками. Заметим, что нули для замкнутой системы совпадают с пу- т лами разомкнутой цепи И'(г), так как ( ( КЛ (г) И ( ) КЛ (з) Р() ' ~й) ' а полюса Ф (з) и И'(я) существепно отличаются друг от друга.
Итак, длв уменьшения амплитуд от- Рзс. 5Л4 клоненвй в переходном процессе желательно, чтобы пули передаточной функции замкнутой системы Ф(з) располагались вблизи ее полюсов. Примером корневых оцепок качества переходного процесса в системах третьего порядка являетсл диаграмма Иьикнсградского (дана в ого работе 1876 г., положившей начало развитию теории автоматического регулирования). Характеристическое уравнение системы третьего порядка а,У+ а1)Р+ атХ+ аз — — О (5Л5) приводится к нормированному виду да+Аз'+ В~+1=-О, (5ЛО) где Параметры Вьпппеградского А и В представляют, следовательно, определепныо комбинации реальных параметуов системы, входящих в коэффициенты характеристичептого уравпенив.
На плоскости параметров А, В граница устойчивости эыразится зависимостью АВ = 1 (гипербола). Область устойчивости АВ ) 1 разбивается на три подобласти (рис. 5Л5) с различньпм расположением корней характеристического уравнения и соответственно — очертаний переходного процесса. При атом граничные линии СЕ и г й В й й А Рвс. ЬЛБ СР находятся приравниванием нулпо дискримннанта формулы Кардена (решения кубического уравнения) в виде А'В' — 4(Аз+ Вг)+ 18А — 27 = О, а линия СП вЂ” из равенства вещественных частей всех корней— 2Аз ОАВ+27 О А < 3 В точке С (3; 3) все три корня вещественны и равны — 1.
Позднее на диаграмму Вышнеградского были нанесены липин равных значений степени устойчивости ц и пинии равных значений колебательности д. При определении степени устойчивости смещенное ~равнение для нормированного характеристического уравпения (5Л6) будет гз+А~гп+Атг+Аз=О, пде согласно формулам (5Л2) Аз — т~з+Ацт — Вт~+ 1, Аг=ЗО -2А„+В, А,=-Зц+А. Два условия (5ЛЗ) принимают соответственно вид — т~з+Ат)г Вт|+1= 0 (5Л81 ( — Зт1+ А) (Зт~г — 2Ат1+ В)+ т~з — Ат~г+ Вт~ — 1 = О. (5.19) Полагая тт = сопзФ, нанесем линии равных значений и на плоскость параметров Вышнеградского А, В. При атом Р 777 77 г З В В И 7ВА Рвс. 5ЛС согласно уравнению (5ЛЗ) получим для разных конкретных значений т) прямые линии, а согласно уравнениям (5Л9) — кривые (рис.
5.16). Для определения линий равных значений величины колебательности р системы третьего порядка (5Л6), когда корни его дат= — сз~~7~1ь дз= — сзз (сз1~0, сзг)0), имея в виду, что д= рз/ап по формулам Виета запишем 2х + аз = А, 2атсз + а',"(1+ рг) =В, азат(1+ Рг) = 1. Исключая а~ и сзг, обозначив х = 1+ д~, получим уравнение 4хг (Аз + В') — хзАгВг+ (2хз — 4хз — 16х) АВ— — хз + 12хг — 48х + 64 = О, '(5.20) которое позволяет построить яа поле диаграммы Вышнеградского ЛВ линии равных значений р = Ух — 1 (рис. 5Л7) в областях, где имеются комплекспые корни. Если пам требуется в системе третьего порядка выбрать параметры так, чтобы получить заданное качество ф 5А.
Интегральные оценки, качества Иптегральпыми оцопками качества называются такие, которые одпим числом оценивают и воличипы отклонеяий, и время затухапия яореходпого процесса. Будем отклонение л в переходном процессе отсчитывать от пового устаповившегося состояния, так что л- О при 1- Для мопотонпого процесса (рис. 5.18) иптегральпой оценкой может служить площадь под кривой переходпого процесса, т. е. Хг= )л(1)Ф, е (5.21) переходного процесса по показателлм ц и р, мы выбираем па рис. 5ЛО и 5Л7 соответствующую точку. Найдя таким образом значепия Л и В, пользуемся затем формулами (5.17) для подбора параметров системы (5Л5). Этот интеграл имеет конечное значение для любого решении к(1) линейного уравнепия.
Здесь процесс будет считаться тем лучше, чем меньше число Хь Одпако такая оценка не годится для колебательного процесса, так как нижние площади при вычислении интеграла (5.21) будут вычитаться иэ верхних (рис. 5Л9). 0 Рвс. 8.18 Рвс. 8.19 Поэтому по минимуму величины Х~ наилучшим оказался бы процесс с незатухающими колебаниями, что недопустимо. В связи с этим в общем случае принимают квадратичную интегральную оценку качества в виде 1г= ) тг(1)дФ (5.22) В литературе имеются формулы, выражающие вели- пину Хг непосредственно через коэффициенты дифференциального уравнения замкнутой системы. Очевидно, что стремление оценки Хг к нулю приблимает кривую процесса к скачку (рис. 5.20), ибо именпо при лом уменьшается квадратичная ~лощадь, ограниченная кривой.
однако это, в свою очередь, вы~ывает значительное увеличетие скорости (рывок скорости) в тачальной части процесса. Что)ы получить быстрозатухающий, Рис. 8.20 ю достаточно плавный процесс, вводят улучшенную квадратичную интегральную оценку качества 1„= ) (аэ + Тгхг) а1, (5.23) а де Т назначается в соответствии с заданием желаемых гвойств переходного процесса. В самом деле, покажем, что при стремлении уменьшить величину этой оценки кривая переходного процесса приближается к экспоненте с желаемой постоянной времени Т.
Для этого проделаем следующие преобраэования: Хк = ) (хо + .Т'х') ~Ц = ~ (х + Тх)о Щ— о о ОО 4Ю вЂ” ~ 2Тхх ой = ) (х + Тх)' д8+ Ти~. о о Наименьшее воэможное аначение Х„будет при х+ Тх= О. Решение этого дифференциального уравнения х х = хое-я* и будет той экспонентой (пунктирная кривая на рис. 5.2(), к которой приближается переходи т ный процесс при стремлении уменьшить эначение интегральной оценки 1„. Применяются и другие виды интегральных оценок качества 1 = ) (хэ + аохо + йохо) ой, о 1 = ~ (аох'+ а,'х', + ... + а,',т,',) ой, о где хь ..., х„— переменные, характериэующие состояние системы. В общем случае о Х = ) ~ амх;х ай о ~о=о В качестве интегральных критериев испольэуются и функционалы более общего вида. Иногда в выражение интегральной оценки вводится время 1 в явном виде.
Интегральные критерии применяются в теории оптимальных систем автоматического управления. ГЛАВА 6 КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА И МЕТОДЫ ИХ СИНТЕЗА 5 6.1. Последовательные корректирующие устройства Для того, чтобы добиться желаемого качества процесса управления или регулирования, т. е. требуемой точности системы и качества переходного процесса, есть дэа способа. Первый состоит в том, чтобы достигнуть этого путем изменения параметров данной системы, так как с изменением параметров меняются соответственно коэффициенты уравнения и частотные характеристики, а значит, и качество процесса.
Если же путем изменения параметров не удается получить желаемый результат, то надо применить второй способ — изменить структуру системы, введя дополнитсльнь1е звенья — корректирующие устройства. Основная задача корректирующих устройств состоит в улучшении точности системы и качества переходных процессов.
Однако наряду с этим путем введении коррека,а ' к,см иун л тирующих устройств можно решать н более общую задачу — сделать систему устойчивой, если опа была без Я пих пеустойчивой, а затем л добиться и желаемого качества процесса регулнрова- Иоа яия. Различают четыре основных вида корректирующих Рис. 6.1 устройств.
1. Последовательные корректирующие устройства или, как их еще называют, корректирующие фильтры, которые могут описываться различными передаточными функциями Ита(г) (рис. 6.1). Тогда общая передаточная функция разомкнутой цепи системы будет уу(з) = К~„(8) уус(3) (6.1) причем во втором варианте (рис. 6.1, б) имеем И н(в) И 01(в)+ И и (в) ф ."де нуликами отмечены передаточные функции заданных частей системы.
2. Лараллельные корректирующие устройства, осуще:твляемые в виде дополнительных местных обратных связей И'!к(в) '(рис. 6.2), когда о! (~) о (*) И(8)т+й()Ж() (6.2) 3. Корректиррчощие устройства ко внешнему возрействшо. 4, Леединичная ачавяая обратная связь. Передаточная функция корректирующего устройства И"„(з) или И'о,(з) может иметь, вообще говоря, произвольный ввд. Но наиболее часто применяются определенпые типы корректирующих устройств, которые мы и рассмотрим.
Н этом параграфе изучим некоторые типовые последовательнью корректирующие устройства (фильтры). Рис. 6.3 Введение производной от ошибки — простейпчий метод улучшения качества переходного процесса. Структурно введение производной представлено на рис. 6.3. Технически это может быть осуществлено различными устройствами, причем производная может осучцествляться не в чистом виде, а с инерционностью, например, в виде '!'в /,8+ 1' Передаточная функция разомкнутой цепи (рис. 6.3) с идеальной производной будет %(в) =(Тз+ 4) Ите(з). Заменив г=)со, получим амплитуду и фазу в виде А(чз) = Аз(!з) ут'е!'+ $, 1Р(в) = !Рв(е!)+ агс$3теь ущественным здесь является то, что при введении возтействия по производной добавляется положительная фа~а.
Вследствие этото радиус-векторы амплитудно-фаэоэой характеристики (рис. 6.4, а) тюворачнваются против часовой стрелки, увеличивая запас устойчивости и улучшая качество переходного процесса. То же самое легко Рис. 6.4 проследить и на логарифмических характеристиках (рис. 6.4, б)'. В случае неидеального дифференцирования (с иверционностью) этот аффект несколько уменьшается количественно, по качественно оп сохраняется. Заметим, что введение производной от ошибки может служить и стабилизирующим средством, т. е. превращать неустойчивую замкнутую систему в устойчивую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
