popovEP1 (950645), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим примеры. ХХрипер 1. Дано К (т8+ П .(т, +т)(т;+1)(т, +~ Согласно (6.29) можно написать ХЛФ'(з = — КС (з — Ф ) (з — Р ) (э — Р ) (а — Р ) (а — Р ) где у,т,т,' 1 Р = — —, Уг Р,=О, Изобразим данные нули и полюса (рис. 6.25). Заметим, что согласно (6.25) и (6.24) при К=О все корни з, совпадают с полюсами Рь Далее же легко проверить, что уравнение фаз Ог — (д, + да+ Оз+ 0~) = ~(2т — 1) 180' будет удовлетворяться для норпя зп если он находится па оси между точками Р~ и %6 для корпя за — если оп лежит па оси левее точки Рз. С увеличением К эти корпи движутся как показано па рис. 6.25 стрелками.
Что же касается корней аэ и гм то уравнение фаз удовлетворяется, когда они оба находятся па оси между точяами Рэ и Рз. С увеличением К они движутся навстречу друг другу. При нспоторам значении К опи сливаются, а затем с увеличением К становлтся комплексньвии (сопряженными) и движутся по некоторым кри- вым, точки которых определяются так, чтобы удовлетво рялось уравнение фав. Кривые вти симметричны, поскольку корни сопряженные (рис. 6.25). Рис. 625 Величина К, отвечающая каждому конкретному попожению корней, паходится по уравнению модулей К ьва таз4 т ~о 1 Итак, траектории корпей строятся только по уравнению фав, а уравпепис модулей испольвуется ватем для определения соответствующих впачений К. В укавапном виде процесс построения будет довольно ."ромовдким.
Однако оп очень упрощается при испольвоаапии общих свойств корневого годографа наложенных, тапример в (27). 11ривер 2. На основе аналогичных рассуждений номом построить корневой годограф для системы с поретаточпой функцией равомкпутой цепи Куу(з) = а (уаа + 2~7а + 1) в вкде, изображенном на рис. 6.26 при ~) 1 н на рис. 6.27 при ~~1.
Проиллюстрируем па примерах некоторые злемепты сиитееа корректирующих устройств с помощью метода корневого годографа. Рис. 6.27 Рис. 6.26 Для системы, схема которой изображена на рис. 6.28 задана передаточная функция К у1И'с (е) -, (т,,) (г, +,) ° (6.32) Требуется выбрать козффициент усиления К и параметры последовательного корректирующего устройства П() =„~~~ . (6.33) Рассмотрим два варианта: а) р = 0,1 — устройство близко к дифференцирующему; б) р = 10 — устройство близко к интегрирующему.
Изобразим сначала корневой годограф системы без коррекции. В передаточной функции (6,32) имеем полюса: Корневой годограф показан на рис. 6.29. В случае с коррекцией (6.33) получаем К(те+ 1) к~'($) .(у;+1)(т;+т)(р +1) ' где добавляется еще один полюс и появляется один пулы Р— —, )Уг= — —, (6.34) В первом случае (р = О, 1) выберем т так, чтобы нуль % расположился вблизи доминирующих корней (рис. 6.30) .
Полюс Р4 расположится на десятикратном расстоянии влево, т. е. будет несущественным. Получаем новыи корневой годограф (рис. 6.30). Видно, что «опасные» комплексные корни значительно отодвинуты от мнимой оси, а влияние нового вещественного «3 Рвс. 6.29 Рис. 6.66 сория г, уменьшается наличием близко расположенного нуля )уь Во втором случае (р =10) новый полюс Р4 согласно (6.34) будет в десять раз ближе к началу координат, чем гуль йо Следовательно, Р4 близок н нулю, а система :тановится близкой н дважды астатической, что увеличивает ее точность.
Корневой годограф принимает вид, изображенный на рис. 6.31. Рассмотрим теперь включение интегро-дифферепцирующего устройства с передаточной функцией (т„+ 1) (т,г+ 1) (О т 8 + 1) (р т Б + 1) три значениях ~~ = 10, рз = О, 1. В етом случае имеем два добавочных полюса и два нуля: 1 1 г 1 1 Р = — — Р = — — Л' = — —, Фа= — —. 4 рт1 5 бт~ 1 т ~ а 11 аа 2 Первый из них очень мал 1ночти нулевой), а второй расположен далеко влево (рис. 6.32). Корни з~ и зм имевшие неудовлетворительное расположение ранее 1рис. 6.31), теперь (рис. 6.32), выходя от начала координат, вливаются в нули )У1 и йм Эти корни з1 и аз ближе других к Рис. 6.32 Рис.
6.31 мнимой оси. ~о, во-первых, они уже не могут вызвать неустойчивости и, во-вторых, их влияние нейтрализуется близко расположенными нулями. Корни же зз и зо стремящиеся с увеличением К вправо, располагаются достаточно далеко от мнимой оси. В книге 127) нриведены другие примеры коррекции (нееди~ичпая обратная связь и регулирование но внешнему воздействию). Другие методы снптеза рассматриваются ниже в главах 7 и8. ГЛАВА Ч МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ 5 7Л, Уравнении системы и ее коррекции в пространстве состояний Рис. 7.1 х=Ах+Вд, у=Си, (7Л) где х — вектор состояния системы, у — вектор выходных величин, н — вектор внешних воздействий (задающих и При исследовании динамических свойств систем автоматического управления классическими методами после составления дифференциальных уравнений для отдельных элементов системы обьнно переходят к передаточным функциям этих элементов.
Далее составляют общую структурную схему для всей системы, в которой отдельные элементы представляются блонами с соответствующими передаточными функциями. Затем определяется передаточная функция замкнутой системы, характеризующая связь между изображениями по Лапласу входной н выходной величины. Однако поведение системы во времени можно характеризовать не талька выходной величиной системы, во и промежуточными переменными в цепи системы, число которых равно порядку 9ю системы и. Таким образом, 9 Координаты получается и-мерный вепс тоннин ва тор состояния, множество возможных положений коУт торого образует векторпое пространство, называемое пространством состояний системы.
Будем рассматривать общий случай обыкновенных линенных систем управления (рис. 7.1), описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме в векторно-матричной записи возмущаюших), а именно х= "°, у= "°, д Через А, В, С обозначены: собственная параметрическая матрица системы входная матрица системы выходная матрица системы -[: 1 (7.2) с характеристическим уравнением Ю (Л) = 1А — ЛЕ! = О, (7.3) взи в рааверпутом виде системой дифференциальных уравнений х~ =апх1+адхз+...+аых„, (7А) х =-а,х~+а„~хз+-..+а„„х с характеристическим уравнением а„-Х а„... а,„ Д (') = О. (7.б) а — Л Зги уравнения дают возможность изучить переходные процессы в системе путем решения их численными методами с использованием ЭВМ (при определенных начальных условиях).
Процессы в системе в свободном движении (без внешних воздействий) согласно (7А) описываются векторно- матричным уравнением х=Ах В этой системе введенгл обратные связи по углу поворота, снорости вращения и току в цепи якоря двигателя. Обозначения переменных ясны иа чертежа. Для электродвигателя постоянного тока имеем: уравнение электрической цепи Юд Մ— "+ дтт'„( + ед — — и, (7.6) гравнение механической цепи + ))ус = мд дй дФ (7.7) ."де момент сопротивления М, = гй, момент двигателя У„ = Л„~„, э.
д. с. двигателя е„ = едь1. Через г, й„ и йд обозначены соответствующие коэффициенты. Преобразуя (7.6) и (7.7), получим уравнения двигателя в виде дд лн 1 Т'я Т'я Т'я (7.8) ей ди. г г 1 — =- — 2 — — Й ею у " у ' у ти (7.9) Для входной цепи усилителя папряя~екия УиН имеем и~=йп(дс 6)+Й (йю й) Рассмотрим вывод уравнений состояния для замкну той системы регулирования. В качестве примера возьмем злектромеханическую следящую систему (рис. 7.2). ге ле где исс =Кп1п. Выходное напряжение усилителя мощности с учетом предыдущего будет равно и йс ия т е и йу йспс й й 71 1 После подстановки получим П,=Ус~ Кс(й (бо — О)+й,(йо — й)) — Усумй.сЬ' Кя (7.10) Совместно (7.8) и (7,10) дают уравнение сня 1 пс = ° (ядйум (яп (бо 0) + йт (йо й)) 'я ~н.
'я поопумссш1я ся у'и йп которое может быть представлено в виде с"я с ~~я ууш~ . ц'роост "Е сс Вс ссп сс ссу сс й й Ьп ~я Скорость вращения = й. (7Л 2) Систему иа трех уравпений (7Л1), (7.9) и (7Л2)' запишем в векторно-матричной форме: Я= я оо суюРш < — + ~я ~я 'су'сумусп ь„ т„ 1 сс сс сс Щ~Р~ йя о о % я о о где до, йо — внелуние входные величины; д, й — выходные величины системы. Для входной цепи усилителя мошности ЪуМ аапиупем ИЯ = й1П! йсспасс Введем обозначения с„=хс, 17=хг, О=-хз — коордитаты вектора состояний следящей системы, а такяге обозначим: с3~~ й !с = — си = азз = Ьсг — — — сзм, сск+сс сс Й '= — си=а, „ ~я Вя+ ЛСОСЗтССЛШ с = — — = асз, з'я Тяа В реаультате получим уравнение состояния следящей системы в стандартной векторно-1матричпой форме и=Ах'+Вк, '(7.13) где х — вектор состояния системы, и†входной вектор, причем х= яз— Параметрическая матрица системы А и входная матрица В имеют вид: А= азд я О, В= О О Соответствующая структурная схема представлена на Рис.
7.3 рис. 7.3. Она составлена по уравнениям данной системы Ус = апхс+ амхг+ аихз+ Ьссяс+ Ьсгяг, хг-агзх1+аггхг+О хз, хз О хс+1 ха+О хз. Дополним (7АЗ) выходным уравнением у =Сх. Поскольку в наших обозначениях выходные величины В =хм д= ха, то в этом уравнении координатами выходного вектора системы будут у~ =О, уз=из=П, уз=хз=д, а выходная матри- ца системы Таким образом можно привести к стандартной векторно-матричной форме (7Л) уравнения состояния любой линеаризованной системы автоматического управления (непрерывной и стационарной). При расчете систем управлепия в пространстве состояний надо иметь в виду, что далеко пе все координаты состояния систем могут быть технически измеряемыми. Это часто является или чрезвычайно затруднительным, или технически невозможным.
Пусть Ас обозначает матрицу нескорректированного объекта управления. Положим, что г коордипат вектора хс матрицы Ас технически измеряемы, а Ь коордипат— неизмеряемы. Для коррекции системы гак называемым методом ераспшрения пространства состояний» введем блочную, окаймленную рядами нулей, матрицу (7Л4) Теперь уравнение объекта управления в векторно- матричпой форме будет х=А„х+Рп, у =Сх, где и и у — векторы соответствепно управления и выхо- да, Р и С вЂ” матрицы соответствующих порядков.
Закон управления запишем в таком виде и =(Р„+Р,)у+Ни, где Г„и Р,— матрицы, которые являются функциями параметров последовательных корректирующих устройств (корректирующих фильтров), р = (рь ..., р „) и параметров отрицательных обратных связей т = (ть ..., т,), Н вЂ” входная матрица управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
