popovEP1 (950645), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Введем относительные координаты ~',~оР и а~/со. Получаем ограничепие на длительность переходного процесса ограничение на демпфирование системы Проводим получепные липни ограничений 4)з и 2',)4 (рис. 7.8). Они пересекаются в точке с абсциосой И,И. Эти два ограничения определили множество 2,'24 = Сз 0;24. Найдем ограничения на ошибку системы по фаае. Через точки И; О) и (И,И; 1) проводим прямую 0ь поскольку при этом условии множество ~24 не уменьшается. Дл ОЖ =йол Из подобия треугольников (рпс.
7.8) определяем величину С = — 0,094, откуда, принимая т = 184р = — 0,0087, что соответствует ошибке по фаае — 30', получим при 4Э = 1 = 10— с аТе =: = 0,086, Те = 0,0086 с. В результате запишем выражение для линни ограничения по фазе Линиями ограничения на ошибки системы по модулю 4)2 = (1,05 ~ ! Ф (ую) ! < 1,08) являются эллипсы 64 62 (~2 — 0,144 — '+ 2 —' ,— 4 —' ,(1 2 0,0975 — '+ 2+ — 4+3.1, авнепия которых вытекают иа выражения желаемой арактеристики Ф*()ю) при указанных вьппе данных. Реультаты всех построений представлены на рис.
7.8, где Д" — область допустимого решения. Минимизируя рь получим допустимое граничное решение в области ()'" в виде пйп — = И И; — =10. рз Я э В з 1 В результате, учитывая, что ю= 10 — „будем иметь следующие численные значения домипирующих полюсов: а =-.10 —, ю = ) [)г — а,=31,8 —. Подобный расчет можно повторить для определения численных значений всех остальных полюсов. 5 7.3. Примеры прямого корневого метода синтеза другого тип» Характеристическое уравнение системы имеет вид Р(Х)=7" +а1ь '+...+а 1 +а,=О. (720) Каждый коэффициент а, (1=1, ..., и) является функ- цией от некоторых параметров объекта управления и параметров корректирующих цепей, т.
е. а, = а, (ц), 1' = 1, ..., и, (7.21)' где ц [дп дв ...)' — искомый параметрический коррек- 'тирующий вектор. Для решения аадачи модального синтеза введем в соответствии с (7.20) и (7.21) желаемый характеристиче- ский многочлен Р*())'='() — )*,)() 7',) ...
() )*„). После раскрытия скобок получим Р*(Х)=7 +Ь17" '+...+Ь„~А+ Ь =О, (7.22)' где ь1 — желаемые значения корней характеристического многочлепа, лежащие в заданных пределах: Х;().,'(Х~, 7=1,2, „и, Ьа=Ь" (Х~ Э~ ... ) ), Приравнивая соответствующие коэффициенты (7.2т)' и (7.23), получим ат(ц) = Ът(Лт, ..., Л~), (7.24) а„(о) = Ъ ()ч, ..., Л„).
Здесь имеем в уравнений с в неизвестными, решая которые непосредственно или численными итерационными методами, можно определить все п численных значений параметров корректирующего вектора ц =(дь ..., д )". Очевидно, что полная коррекция, т. е. независимое назначение всех коэффициентов характеристического уравнения а, (с= т, ..., и) возможно толы~о при числе корректирувпцих параметров не меньше п. Зто обстоятельство дает возможность предписанного назначения желаемых корней Л~ (ю = 1, ..., н). Приведем пример. Для следящей системы, рассмотренной в $7Л, собственная скорректированная параметрическая матрица имеет вид — У, +Чт ~ +Уз 1 Р'„ $ О где ь,ь ь, с, ь,ьт ь, Характеристическое уравнение системы будет 1 зк Л+ т„+ т1 ь„+ чз тз ь 1 — — Л+ — О У т„ 0 1 Л После раскрытия определителя получаем Лз+ щЛз+ о Л ( оз П где 1 аз = — + — + Ч1~ г„ т„ ьм аз =~ ~з.
Задаемся спектром матрицы Я: '"1.2 м1 ~ Уо'1~ 1"з сзз После подстановки зтих значений в уравнение В (Ц = (Л вЂ” Л,') (Х вЂ” Х, ) (1 — Х ) = О получим желаемое характеристическое уравнение Юз (Ц = У+ Ь1Х2+ Ь21 + Ьз = О, где 2 2 2 21 Ь, = 2а, + сз„Ьз = а1 + в1 + йазсзз, Ьз = (и, + ез,) аз. В реаультате приравнивання козффициентов характеристических уравнений проектируемой и желаемой систем будем иметь следующие фуннции реалиаации: 1 1 С1 а = — + — + — =Ь, г„т„г,„ .=Гт+Г +Х Ь+Г =Ь2, ь„ с, Отсюда следует возможность непосредственного ретепия аадачи модального синтеза в виде 1Ь вЂ” 1 — 1) Е„, Ь .И„ Сз = где С1, Сз, Сз — определяемые при синтезе коэффициенты передачи от измеряемых координат пространства состояний системы, т. е.
от тока в цепи якоря, от скорости вращения, от угла поворота исполнительного двигателя до входного напряжения цепи якоря. Наконец, приведем еще простой пример арлмого метода синтеза корректирующей обратной солги следящей системы по желаемому расположени|о корней характеристического уравпепия замкнутой системы. Рис. 7.9 Рзс. 7.10 Схема системы показана на рис. 7.9. Заданы в Требуется найти значения козффициентов йз и Й4 дополкительной обратной свнзи, приводящие к желаемому расположению корней (рис.
7.10), и козффициент усиления прямой цепи системы Ь = й~йз. Согласно схеме имеем ~~ ь (в) ~ в (в) 'ув (в) ЬУ() 1+1т ( 1Р (ь +ьв) ' Следовательно, в (~) а (~) з (~) в(Т в+1) (Тазв +Т в+1) +з(азв + звв+ 1) Отсюда характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид ТЬТз + Тг з Тъ + Тв+ Цвз 1+И ь в з + — О, (7.25) а желаемому расположению корней (рис. 7ЛО) соответствует уравнение с заданными коэффициентами (Р + а з + а,') (з + аз) (з + а ) = О, ЭЭ+ (а1 + а, + а ) ээ + (а, + агаэ + а,а4+ аэа4) зз„+ + (а,а а + а,'а + аэа ) з + аэа,а = О. Приравнивая коэффициенты этого уравнения и уравяения (7.25)', получаем соотношепне =ТТ+Т: а+а+а1э (7.26) Т,Т,' и значения искомых коэффициентов з з Й = а,аза, ТЭТ„ Т +ТЭ ~з у„.
(аз+ а1аэ+ а1 4+ аз 4) й4 = — (а,а,а + аэа + аэ а4) — —. Условие (7.26)' накладывает одну связь на произвол выбора расположения корней — условие физической реализуемости в данной системе. 5 7.4. Программа корневого метода синтеза корректируюзцих цепей где х есть и-мерный вектор состояния системы. Запишем характеристическое уравнение а — Х а, ...
а„, аы аэз — й .. аав а1 а э ... аээ 1 Ю(Х) — ~А — ХЕ) = (7.28) 41(Х) Х" + а1 ™+... + а„~Х+ а„= О, (7.29) Рассматривается класс линейных стационарных систем управления, находятцихся в свободном состоянии х =Ах, '(7.27) коэффициенты которого а, (~=1, ..., и) являются функциями от параметров объекта и параметров вводимых корректирующих цепей.
Составим желаемое характеристическое уравнение В* (Л) = й Р. — Х ) = Х" + Ь 7," ' + ... + Ь,Х + Ь = О, г=т (7.30) а*.(уь . ° ., д ) — Ь~(Хь ..., Х )=О, ю'=1, ..., и, (731)' где дь ..., д„— параметры корректирующих цепей. Таким образом, задача состоит в построении алгоритма, позволяющего по ааданной матрице А, содержащей иавестные значения параметров системы и неизвестные параметры корректирующих цепей, получить функцкональную зависимость коэффициентов уравнения (7.29)' от параметров корректирующих цепей. Такие функциональные аависимости позволяют, задаваясь желаемыми значениями корней характеристического уравнения, из системы уравнений (7.31) определить параметры корректирующих цепей.
Неизвестным параметрам корректирующих цепей или их обратным величинам присвоим символические буквенно-цифровые имена и будем нааывать их символическими множителями. Тогда каждый элемент матрипы А можно представить в виде целого рационального алгебраического выражения зы ччп а;; = см, + ~ со~ П 4ум, в=в з г (7.32) где ко — чвгло слагаемых у элемента ао," сц, — действительное число, 1= 1, ..., !со; т„, — число символических мпоткителей у 1-го слагаемого; где )ч (1=1, ..., и) — заданные желаемые значения корней, а коэффициенты уравнения Ь,= Ь;(4, Хз, ..., Х„). Приравнивая соотвотствугощие коэффициенты уравне ий (7.29) и (7.30), получим в общем случае систему нелинейных алгебраических уравнений, устанавливающую соответствие между;келаемыми корнями характеристического уравнения и нонзвостными пока параметрами корректирующих цепей, де„— г-й символический множитель у 1-го слагаемого.
При раскрытии определителя (7.28) требуется выполнять операции с мпогочленами от Х и алгебраическими выражениями вида (7.32). Поэтому реалиаован алгоритм раскрытия определителя, в основу которого положено определеннее): е)еФА =~.",( — 1)" аы ам ... а е„ч (7.33) о! где сумма должна быть распространена на н! различных упорядоченных множеств 10 1е, ..., 1„, полученных попарно перестановками элементов из множества 1, 2,...,и. Для получения всех перестановок иа и чисел 1, 2, ...
..., и использован алгоритм 115б *е) с наибольшим быстродействием, который получает попеременно четные или нечетные перестановки, что облегчает вычисление анака в выражении (733). Матрица А является, как правило, разреженной, поэтому для повьнпения быстродействия перед вычислением каждого слагаемого (7.33) проиаводится проверка на наличие нулевых элементов и исключение слагаемых, содержащих нулевые сомножители. За счет этого раскрытие определителя по выражению (7.33) является вполне приемлемьпв по затратам машинного времени для п ~ 10, что достаточно двя болыпияства практических задач теории управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
